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1、浙江省杭州市富陽區(qū)新登中學(xué)2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬試題一選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1雙曲線=1的漸近線方程為（）Ay=By=xCy=xDy=x2在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB，BB1的中點(diǎn)，則直線BC1與EF所成角的余弦值是（）ABCD3已知a、b、c為三條不重合的直線，下面有三個(gè)結(jié)論：若ab，ac則bc；若ab，ac則bc；若ab，bc則ac其中正確的個(gè)數(shù)為（）A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)4設(shè)點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，且F1PF2=60，則PF1F2的面積為（）ABCD5.對(duì)于曲線：上的任意一點(diǎn)P，如果存在非負(fù)實(shí)
2、數(shù)M和m，使不等式恒成立為坐標(biāo)原點(diǎn)，M的最小值為，m的最大值為，則的值是A. 3 B. 4 C. 5 D. 136已知直線 l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，則“l(fā)1l2”是“a=1”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7已知點(diǎn)F為拋物線y 2=8x的焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上，且|AF|=4，則|PA|+|PO|的最小值為（）ABC6D4+28已知圓O為RtABC的外接圓，AB=AC，BC=4，過圓心O的直線l交圓O于P，Q兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A8，1B8，0C16，1D16，09已知三
3、棱錐DABC，記二面角CABD的平面角為，直線DA與平面ABC所成的角為，直線DA與BC所成的角為，則（）A B C D10如圖，斜線段AB與平面所成的角為60，B為斜足，平面上的動(dòng)點(diǎn)P滿足PAB30，則點(diǎn)P的軌跡是（）A、直線 B、拋物線 C、橢圓 D、雙曲線的一支二填空題（共6小題,雙空每空3分，單空每空4分，共30分）11.直線的斜率為 ；傾斜角大小為_12.已知圓：, 則圓在點(diǎn)處的切線的方程是_；過點(diǎn)（2，2）的切線方程是 .13某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為 cm3，該幾何體的表面積為 cm214已知m，n，s，tR+，m+n=2，其中m、n是常數(shù)，當(dāng)s+
4、t取最小值時(shí)，m、n對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（m，n）是雙曲線一條弦的中點(diǎn)，則此弦所在的直線方程為 15在平面直角坐標(biāo)系xoy中，雙曲線的左支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py（p0）交于M，N兩點(diǎn)若|MF|+|NF|=4|OF|，則該雙曲線的離心率為 16在三棱錐TABC中，TA，TB，TC兩兩垂直，T在底面ABC內(nèi)的正投影為D，下列命題：D一定是ABC的垂心；D一定是ABC的外心；ABC是銳角三角形 其中正確的是 （寫出所有正確的命題的序號(hào)）三、解答題（共4題，50分）17（滿分12分）已知拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），過F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，直線AO，BO分別與直線m：x=2相
5、交于M，N兩點(diǎn)（）求拋物線C的方程；（）證明ABO與MNO的面積之比為定值18.（滿分12分）如圖所示，四棱錐SABCD中，SA底面ABCD，ABC=90SA=2,，BC=1，ACD=60，E為CD的中點(diǎn)（1）求證：BC平面SAE；（2）求直線SD與平面SBC所成角的正弦值19（滿分12分）如圖，在四棱錐PABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱PB上，ADBC，ABAD，PA=PD=2，BC=AD=1，AB=，PC=（1）證明：平面CEF平面PAD；（2）設(shè)=k（0k1），且二面角PCEF的大小為30，求實(shí)數(shù)k的值20（滿分14分）對(duì)于曲線C上一點(diǎn)T，若在曲線C上存在異于T的兩點(diǎn)，滿足|TM|
6、=|TN|，且TMTN，則稱點(diǎn)T為曲線C的“T點(diǎn)”，TMN是點(diǎn)T的一個(gè)“特征三角形”已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，1），A1，A2分別為橢圓G的左、右頂點(diǎn)（ I）證明：BA1A2不是點(diǎn)B的“特征三角形”；（ II）當(dāng)a=2時(shí)，已知點(diǎn)A2是橢圓G的“T點(diǎn)”，且A2MN是點(diǎn)A2的“特征三角形”，求出點(diǎn)M，N的一組坐標(biāo)；（ III）試判斷點(diǎn)B是否為橢圓G的“T點(diǎn)”，若是，求出其“特征三角形”的個(gè)數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)卷答案一選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）題號(hào)12345678910答案CBBACBADAC二填空題（共6小題,雙空每空3分，單空每空4分，共30分）11.； 12
7、.；x=2或y=213 , 14x2y+1=015 16 三、解答題（共4題，50分）17（滿分12分）已知拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），過F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，直線AO，BO分別與直線m：x=2相交于M，N兩點(diǎn)（）求拋物線C的方程；（）證明ABO與MNO的面積之比為定值【解答】解：（）由焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）可知，p=2拋物線C的方程為y2=4x（）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，ABO與MNO相似，當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB方程為y=k（x1），設(shè)M（2，yM），N（2，yN），A（x1，y1），B（x2，y2），由 整理得 k2x2（4+2k2）x+k2=0，A
8、OB=MON，x1x2=1綜上 18.（滿分12分）如圖所示，四棱錐SABCD中，SA底面ABCD，ABC=90，BC=1，ACD=60，E為CD的中點(diǎn)（1）求證：BC平面SAE；（2）求直線SD與平面SBC所成角的正弦值【解答】證明：（1）因?yàn)?，BC=1，ABC=90，所以AC=2，BCA=60，在ACD中，AC=2，ACD=60，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD22ACCDcosACD解得：CD=4所以AC2+AD2=CD2，所以ACD是直角三角形，又E為CD的中點(diǎn)，所以又ACD=60，所以ACE為等邊三角形，所以CAE=60=BCA，所以BCAE，又AE平面SAE，BC平面SAE，所
9、以BC平面SAE（2）由（1）可知BAE=90，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB，AE，AS所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則S（0，0，2），所以，設(shè)為平面SBC的法向量，則，即設(shè)x=1，則y=0，即平面SBC的一個(gè)法向量為，所以所以直線SD與平面SBC所成角的正弦值為19（滿分12分）如圖，在四棱錐PABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱PB上，ADBC，ABAD，PA=PD=2，BC=AD=1，AB=，PC=（1）證明：平面CEF平面PAD；（2）設(shè)=k（0k1），且二面角PCEF的大小為30，求實(shí)數(shù)k的值【解答】（1）證明：由PA=PD=2，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，PAAD，ABCE是
10、矩形，ECAD，平面PAD平面ABCD=AD，PE平面PAD，ECPA平面ABCDEC平面ABCDPAECBC=AD=1，ADBC，ABAD，ECAD，AD平面PAD，平面CEF平面PAD（2）由（1）可得PAAD，ECAD，PAEC，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方形建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyzE（0，0，0），P（0，0，），C（0，0），B（1，0），設(shè)F（x，y，z），則=（x，y，z），=（1，），可得：x=k，y=，z=，即F（k，），設(shè)平面CEF的法向量為（p，q，r），=（k，），=（k，），即，令r=，則q=0，p=，即（，0，），PCE的法向量為
11、=（1，0，0），二面角PCEF的大小為30，即cos30=|=|=，解得：k=，故得實(shí)數(shù)k的值為20（滿分14分）對(duì)于曲線C上一點(diǎn)T，若在曲線C上存在異于T的兩點(diǎn)，滿足|TM|=|TN|，且TMTN，則稱點(diǎn)T為曲線C的“T點(diǎn)”，TMN是點(diǎn)T的一個(gè)“特征三角形”已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，1），A1，A2分別為橢圓G的左、右頂點(diǎn)（ I）證明：BA1A2不是點(diǎn)B的“特征三角形”；（ II）當(dāng)a=2時(shí)，已知點(diǎn)A2是橢圓G的“T點(diǎn)”，且A2MN是點(diǎn)A2的“特征三角形”，求出點(diǎn)M，N的一組坐標(biāo)；（ III）試判斷點(diǎn)B是否為橢圓G的“T點(diǎn)”，若是，求出其“特征三角形”的個(gè)數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由【解答】（
12、本小題滿分14分）解：（ I） 證明：，因?yàn)閍1，所以，即A1B與A2B不垂直所以BA1A2不是點(diǎn)B的“特征三角形”（4分）（ II）當(dāng)a=2時(shí)，橢圓因?yàn)辄c(diǎn)A2是橢圓G的“T點(diǎn)”，且A2MN是點(diǎn)A2的一個(gè)“特征三角形”，不妨設(shè)M（m，n），N（m，n）（2m2）由題意得：解得或（舍）所以（或）（8分）（III）點(diǎn)B是橢圓G的“T點(diǎn)”不妨設(shè)點(diǎn)B的“特征三角形”為BPQ設(shè)直線BP的方程為y=kx+1（k0），則直線BQ的方程為，由得（1+a2k2）x2+2a2kx=0因?yàn)锽（0，1），所以所以=同理可得因?yàn)閨BP|=|BQ|，所以，即（k1）k2+（1a2）k+1=0（1）所以k=1或k2+（1a2）k+1=0（2）由（2）式可得=（1a2）24=（a2+1）（a23）當(dāng)時(shí)，（2）式有兩個(gè)相等的正根1，所以（1）式有三個(gè)相等的正根為k=1；當(dāng)時(shí)，（2）式有兩個(gè)不等于1 的正根，所以（1）式有三個(gè)不相等的正根；當(dāng)時(shí)，（2）式無實(shí)根，所以（1）式只有一個(gè)正根為k=1綜上：當(dāng)時(shí)，滿足條件的“特征三角形”有1個(gè)當(dāng)時(shí)，滿足條件的“特征三角形”有3個(gè)（14分）
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