2020高考數(shù)學一輪復習 第七章 立體幾何 課時作業(yè)42 直線、平面垂直的判定和性質(zhì) 文

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1、課時作業(yè)42　直線、平面垂直的判定和性質(zhì) [基礎達標] 一、選擇題 1．直線a⊥平面α，b∥α，則a與b的關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)⊥b，且a與b相交 B．a(chǎn)⊥b，且a與b不相交 C．a(chǎn)⊥b D．a(chǎn)與b不一定垂直 解析：∵b∥α，∴b平行于α內(nèi)的某一條直線，設為b′， ∵a⊥α，且b′?α，∴a⊥b′， ∴a⊥b，但a與b可能相交，也可能異面． 答案：C 2．PA垂直于正方形ABCD所在平面，連接PB，PC，PD，AC，BD，則下列垂直關(guān)系正確的是(　　) ①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC. A

2、．①② B．①③ C．②③ D．②④ 解析：由PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD得PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，則BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，得平面PAB⊥平面PBC，故①正確，同理可證②正確． 答案：A 3．[2019·成都診斷性檢測]已知m，n是空間中兩條不同的直線，α，β為空間中兩個互相垂直的平面，則下列命題正確的是(　　) A．若m?α，則m⊥β B．若m?α，n?β，則m⊥n C．若m?α，m⊥β，則m∥α D．若α∩β＝m，n⊥m，則n⊥α 解析：選項A中，若m?α，則直線m和平面β可能垂直，也可能平行或相交，故選項A不正確；選項B中

3、，直線m與直線n的關(guān)系不確定，可能平行，也可能相交或異面，故選項B不正確；選項C中，若m⊥β，則m∥α或m?α，又m?α，故m∥α，選項C正確；選項D中，缺少條件n?β，故選項D不正確，故選C. 答案：C 4．[2017·全國卷Ⅲ]在正方體ABCD -A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則(　　) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 解析：∵ A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，∴ B，D錯； ∵ A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1C⊥BC1， ∴ A1E⊥BC1，故C正確； (證明：由條件易

4、知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴ BC1⊥平面CEA1B1.又A1E?平面CEA1B1， ∴ A1E⊥BC1) ∵ A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故A錯． 故選C. 答案：C 5．[2019·惠州調(diào)研]設l，m，n為三條不同的直線，α為一個平面，則下列命題中正確的個數(shù)是(　　) ①若l⊥α，則l與α相交；②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：對于①，若l⊥α，則l與α不可能平行，l也不可

5、能在α內(nèi)，所以l與α相交，①正確；對于②，若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則有可能是l?α，故②錯誤；對于③，若l∥m，m∥n，則l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，故③正確；對于④，因為m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，故④正確．選C. 答案：C 二、填空題 6．如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________． 解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC； ∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C， ∴AB⊥平面PAC， ∴AB⊥AP.與AP

6、垂直的直線是AB. 答案：AB，BC，AC　AB 7．假設平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分別為B，D，如果增加一個條件，就能推出BD⊥EF，現(xiàn)有下面四個條件： ①AC⊥α；②AC∥α；③AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF. 其中能成為增加條件的是________．(把你認為正確的條件序號都填上) 解析：如果AB與CD在一個平面內(nèi)，可以推出EF垂直于該平面，又BD在該平面內(nèi)，所以BD⊥EF.故要得到BD⊥EF，只需AB，CD在一個平面內(nèi)即可，只有①③能保證這一條件． 答案：①③ 8．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，

7、M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認為正確的條件即可)． 解析：∵PC在底面ABCD上的射影為AC，且AC⊥BD， ∴BD⊥PC.∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC) 三、解答題 9．[2019·陜西質(zhì)量檢測]如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，∠ABC＝90°，側(cè)面A1ABB1⊥底面ABC. (1)求證：AB1⊥平面A1BC； (2)若AC＝5，BC＝3，∠A1AB＝60°，求三棱柱ABC－A1B1C1

8、的體積． 解析：(1)證明：在側(cè)面A1ABB1中， ∵A1A＝AB， ∴四邊形A1ABB1為菱形， ∴AB1⊥A1B. ∵側(cè)面A1ABB1⊥底面ABC，∠ABC＝90°， ∴CB⊥平面A1ABB1. ∵AB1?平面A1ABB1， ∴CB⊥AB1. 又A1B∩BC＝B， ∴AB1⊥平面A1BC. (2)解法一　如圖，過A1作A1D⊥AB，垂足為D. ∵平面ABC⊥平面A1ABB1， 平面ABC∩平面A1ABB1＝AB， ∴A1D⊥平面ABC， ∴A1D為三棱柱ABC－A1B1C1的高． ∵BC＝3，AC＝5，∠ABC＝90°， ∴AB＝4，又AA1＝AB，∠

9、A1AB＝60°， ∴△A1AB為等邊三角形， ∴A1D＝×AB＝2. ∴VABC－A1B1C1＝S△ABC·A1D＝×4×3×2＝12. 解法二　在△ABC中，由AC＝5，BC＝3，∠ABC＝90°，可得AB＝4. 又A1A＝AB，∠A1AB＝60°，∴△ABA1是邊長為4的等邊三角形，∴S△ABA1＝×42＝4. 由(1)知BC⊥平面ABA1，∴VC－ABA1＝×S△ABA1×BC＝×4×3＝4. 設三棱柱ABC－A1B1C1的高為h， 則VABC－A1B1C1＝S△ABC·h＝3×＝3VA1－ABC＝3VC－ABA1＝3×4＝12. 10．[2018·北京卷，18]如圖

10、，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點． (1)求證：PE⊥BC； (2)求證：平面PAB⊥平面PCD； (3)求證：EF∥平面PCD. 解析：(1)因為PA＝PD，E為AD的中點， 所以PE⊥AD.因為底面ABCD為矩形， 所以BC∥AD.所以PE⊥BC. (2)因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD. 又因為平面PAD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因為PA⊥PD，AB∩PA＝A， 所以PD⊥平面PAB.PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD. (3)

11、取PC中點G，連接FG，DG. 因為F，G分別為PB，PC的中點， 所以FG∥BC，F(xiàn)G＝BC. 因為ABCD為矩形，且E為AD的中點， 所以DE∥BC，DE＝BC. 所以DE∥FG，DE＝FG. 所以四邊形DEFG為平行四邊形． 所以EF∥DG. 又因為EF?平面PCD，DG?平面PCD， 所以EF∥平面PCD. [能力挑戰(zhàn)] 11．如圖，平面五邊形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝，cos∠EDC＝.將△CDE沿CE折起，使點D到P的位置，且AP＝，得到四棱錐P－ABCE. (1)求證：AP⊥平面ABCE； (2)記平面PAB與平面PCE相交于直線l，求證：AB∥l. 　 證明：(1)在△CDE中，∵CD＝ED＝，cos∠EDC＝，由余弦定理得CE＝2.連接AC，∵AE＝2，∠AEC＝60°，∴AC＝2.又AP＝，∴在△PAE中，PA2＋AE2＝PE2，即AP⊥AE.同理，AP⊥AC.而AC?平面ABCE，AE?平面ABCE，AC∩AE＝A，故AP⊥平面ABCE. (2)∵AB∥CE，且CE?平面PCE，AB?平面PCE， ∴AB∥平面PCE. 又平面PAB∩平面PCE＝l，∴AB∥l. 5