2020版高考數(shù)學大一輪復習 第九章 計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布 第63講 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布課時達標 理（含解析）新人教A版

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1、第63講 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布 課時達標　 一、選擇題 1．(2019·瑞安中學一模)某種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需要再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望為(　　) A．100 B．200 C．300 D．400 B　解析 將“沒有發(fā)芽的種子數(shù)”記為ξ，則ξ＝0,1,2,3，…，1 000，由題意可知ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，又因為X＝2ξ，所以E(X)＝2E(ξ)＝200，故選B. 2．某運動員投籃命中率為0.6，他重復投籃5次，若他命中一次得10分

2、，沒命中不得分；命中次數(shù)為X，得分為Y，則E(X)，D(Y)分別為(　　) A．0.6,60 B．3,12 C．3,120 D．3,1.2 C　解析 X～B(5,0.6)，Y＝10X，所以E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2，D(Y)＝100D(X)＝120. 3．若離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 P 則X的數(shù)學期望E(X)＝(　　) A．2 B．2或 C. D．1 C　解析 因為分布列中概率和為1，所以＋＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以E(X)＝. 4．(2019·山東濰坊質檢)已知隨機

3、變量X服從正態(tài)分布N(3，σ2)，且P(X<5)＝0.8，則P(13)＝0.5，故P(X>1)＝P(X<5)＝0.8，所以P(X≤1)＝1－P(X>1)＝0.2，P(1

4、)>D(ξ2) C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) A　解析 根據(jù)題意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1,2，因為0

5、X<0，得X>4，即P(X>4)＝＝1－P(X≤4)， 故P(X≤4)＝，所以μ＝4. 二、填空題 7．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，則a的值為________． 解析 由正態(tài)分布的性質知，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，則＝3，解得a＝. 答案 8．(2019·邯鄲一中期末)某種品牌攝像頭的使用壽命(單位：年)服從正態(tài)分布，且使用壽命不少于2年的概率為0.8，使用壽命不少于6年的概率為0.2.某校在大門口同時安裝了兩個該種品牌的攝像頭，則在4年內這兩個攝像頭都能正常工作的概率為________． 解析 由題意知P(ξ≥2

6、)＝0.8，P(ξ≥6)＝0.2，所以P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.2.所以正態(tài)分布曲線的對稱軸為ξ＝4， 即P(ξ≤4)＝，即一個攝像頭在4年內能正常工作的概率為.所以兩個該品牌的攝像頭在4年內都能正常工作的概率為×＝.　 答案 9．(2019·貴州七校第一次聯(lián)考)在某校2015年高三11月月考中理科數(shù)學成績X～N(90，σ2)(σ>0)，統(tǒng)計結果顯示P(60≤X≤120)＝0.8，假設該校參加此次考試的有780人，那么試估計此次考試中，該校成績高于120分的有________人． 解析 因為成績X～N(90，σ2)，所以其正態(tài)曲線關于直線x＝90對稱．又P(60≤X≤120)＝

7、0.8，由對稱性知成績在120分以上的人數(shù)約為總人數(shù)的×(1－0.8)＝0.1，所以估計成績高于120分的有0.1×780＝78人． 答案 78 三、解答題 10．某研究機構準備舉行一次數(shù)學新課程研討會，共邀請50名一線教師參加，使用不同版本教材的教師人數(shù)如表所示. 版本 人教A版 人教B版 蘇教版 北師大版 人數(shù) 20 15 5 10 (1)從這50名教師中隨機選出2名，求2人所使用版本相同的概率； (2)若隨機選出2名使用人教版的教師發(fā)言，設使用人教A版的教師人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望． 解析 (1)從50名教師中隨機選出2名的方法數(shù)為C＝1

8、225. 選出2人使用版本相同的方法數(shù)為C＋C＋C＋C＝350. 故2人使用版本相同的概率為P＝＝. (2)ξ的所有可能取值為0,1,2. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.　 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝. 11．(2019·廣州五校聯(lián)考)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，我國PM2.5標準采用世衛(wèi)組織設定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質量為二級；在75微克/立方米以上空氣

9、質量為超標．某市環(huán)保局從市區(qū)今年9月每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中，按系統(tǒng)抽樣方法抽取了某6天的數(shù)據(jù)作為樣本，其監(jiān)測值如莖葉圖所示. (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計今年9月份該市區(qū)每天PM2.5的平均值和方差； (2)從所抽樣的6天中任意抽取3天，記ξ表示抽取的3天中空氣質量為二級的天數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望． 解析 (1)＝＝41， s2＝×[(26－41)2＋(30－41)2＋(36－41)2＋(44－41)2＋(50－41)2＋(60－41)2]＝137. 根據(jù)樣本估計今年9月份該市區(qū)每天PM 2.5的平均值為41，方差為137. (2)由莖葉圖知，所抽樣的6天中有2天空氣質量為一

10、級，有4天空氣質量為二級，則ξ的可能取值為1,2,3， 其中P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2. 12．[選做題](2019·鄭州一中月考)2016年河南多地遭遇“跨年霾”，很多學校調整元旦放假時間，提前放假讓學生在家躲霾．鄭州市根據(jù)《鄭州市人民政府辦公廳關于將重污染天氣黃色預警升級為紅色預警的通知》(鄭政辦明電[2016]421號)，自12月29日12時將黃色預警升級為紅色預警，12月30日零時啟動1級響應，明確要求“幼兒園、中小學等教育機構停課，停課不停學”．學生

11、和家長對停課這一舉措褒貶不一，有為了健康贊成的，有怕耽誤學習不贊成的．某調查機構為了了解學生和家長對這項舉措的態(tài)度，隨機調查采訪了50人，將調查情況整理匯總成下表： 年齡/歲 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 頻數(shù) 5 10 15 10 5 5 贊成人數(shù) 4 6 9 6 3 4 (1)請在圖中完成被調查人員年齡的頻率分布直方圖； (2)若從年齡在[25,35)，[65,75]兩組的采訪對象中各隨機選取2人進行深度跟蹤調查，選取的4人中不贊成這項舉措的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望． 解析 (1)補全的頻率分布直方圖如圖所示． (2)由題意知，X所有可能的取值為0,1,2,3， P(X＝0)＝·＝＝， P(X＝1)＝·＋·＝＝， P(X＝2)＝·＋·＝＝， P(X＝3)＝·＝＝， 則隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2. 6