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1、專題限時集訓(二) 恒等變換與解三角形
[專題通關(guān)練]
(建議用時:30分鐘)
1.在△ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知c=5,b=3,A=,則=( )
A. B.
C. D.
A [由余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A,得a=7,由正弦定理:==.故選A.]
2.在△ABC中,cos B=,b=2,sin C=2sin A,則△ABC的面積等于( )
A. B.
C. D.
D [由sin C=2sin A及正弦定理得c=2a.
在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
所以22=a2+4a2-4
2、a2×=4a2,解得a=1,所以c=2.
又sin B==,
所以S△ABC=acsin B=×1×2×=.故選D.]
3.(2019·唐山市一模)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=2,b=3,c=4,設AB邊上的高為h,則h=( )
A. B.
C. D.
D [∵a=2,b=3,c=4,
∴cos A====,
則sin A====,
則h=ACsin A=bsin A=3×=,故選D.]
4.(2019·全國卷Ⅱ)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,則sin α=( )
A. B.
C. D.
B [由2sin 2
3、α=cos 2α+1,得4sin αcos α=1-2sin2α+1,即2sin αcos α=1-sin2α.因為α∈,所以cos α=,所以2sin α=1-sin2α,解得sin α=,故選B.]
5.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知cos C+cos A=1,則cos B的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
D [因為cos C+cos A=1,得×+×==1,所以b2=ac,
所以cos B==≥=,當且僅當a=c取等號,且B為三角形內(nèi)角,所以≤cos B<1.故選D.]
6.[易錯題]在△ABC中,acos A=bcos B,則這個
4、三角形的形狀為________.
等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B,
即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=π-2B,
即A=B或A+B=,
所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形.]
7.(2019·大慶市高三第二次模擬)已知α,β為銳角,且(1-tan α)(1-tan β)=4,則α+β=________.
[將(1-tan α)(1-tan β)=4展開得-(tan α+tan β)=3(1-tan α·tan β),即=tan(α+β)=-,由于α,β為銳角,0<α+β<π,故α+β=.]
8.某高一學習
5、小組為測出一綠化區(qū)域的面積,進行了一些測量工作,最后將此綠化區(qū)域近似地看成如圖所示的四邊形,測得的數(shù)據(jù)如圖所示,AB=2 km,BC=1 km,∠BAD=45°,∠B=60°,∠BCD=105°,則該綠化區(qū)域的面積是________km2.
[如圖,連接AC,由余弦定理可知AC==(km),故∠ACB=90°,∠CAB=30°,∠DAC=∠DCA=15°,∠ADC=150°.
由正弦定理得,=,即AD===(km),
故S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=×1×+××=(km2).]
[能力提升練]
(建議用時:20分鐘)
9.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,則
6、log等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
C [因為sin(α+β)=,sin(α-β)=,
所以sin αcos β+cos αsin β=,sin αcos β-cos αsin β=,所以sin αcos β=,cos αsin β=,所以=5,所以log=log52=4.故選C.]
10.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=3,c=2,bsin A=acos,則b=( )
A.1 B.
C. D.
C [因為bsin A=acos ,展開得bsin A=acos B-asin B,由正弦定理化簡得sin Bsin A=sin Ac
7、os B-sin Asin B,整理得sin B=cos B,
即tan B=,而三角形中0<B<π,所以B=.
由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B,代入得b2=32+(2)2-2×3×2cos ,解得b=,所以選C.]
11.(2018·聊城模擬)已知cos=,θ∈,則sin=________.
[由題意可得,cos2==,cos=-sin 2θ=-,
即sin 2θ=.因為cos=>0,θ∈,所以0<θ<,2θ∈,
根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,可得cos 2θ=,
由兩角差的正弦公式,可得
sin=sin 2θcos -cos 2θsin
=×-×=.]
8、
12.(2019·濰坊市一模)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,點D為AC的中點,已知2sin2-sin C=1,a=,b=4.
(1)求角C的大小和BD的長;
(2)設∠ACB的角平分線交BD于E,求△CED的面積.
[解](1)由題意可得:sin C+1-2sin2=0,
∴sin C+cos(A+B)=0,
又A+B=π-C,
∴sin C-cos C=0,可得tan C=,
∵C∈(0,π),∴C=,
∴在△BCD中,由余弦定理可得:BD2=3+4-2××2×cos =1,解得BD=1.
(2)由(1)可知BD2+BC2=4=CD2,
∴∠DB
9、C=,∴S△DBC=BD·BC=,
∵CE是∠BCD的角平分線,
∴∠BCE=∠DCE,
在△CEB和△CED中,S△BCE=BC·CE·sin∠BCE,
S△CED=CD·CE·sin∠DCE,
可得:==,∴S△BCE=S△CED,
∴代入S△BCE+S△CED=S△BCD=,得S△CED=,∴S△CED==(2-)=2-3.
題號
內(nèi)容
押題依據(jù)
1
三角恒等變換
恒等變換求值
2
平面向量、正(余)弦定理解決面積問題,不等式求最值
平面向量、不等式與三角函數(shù)的交匯
【押題1】 已知sin=,則sin=________,sin 2α=________.
10、
?。∵sin=,
∴sin=sin=sin=,
sin 2α=-cos
=-1+2sin2=-1+2×=-.]
【押題2】 在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=b.
(1)若C=2B,求cos B的值;
(2)若·=·,求cos的值.
[解](1)因為c=b,則由正弦定理,得sin C=sin B.
又C=2B,所以sin 2B=sin B,即4sin Bcos B=sin B.
又B是△ABC的內(nèi)角,所以sin B>0,故cos B=.
(2)因為·=·,所以cbcos A=bacos C,則由余弦定理,得b2+c2-a2=b2+a2-c2,得a=c.
從而cos B===,
又0<B<π,所以sin B==.
從而cos=cos Bcos -sin Bsin =×-×=-.
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