2020版高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓2 三角恒等變換與解三角形 文

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1、專題限時集訓(二)　三角恒等變換與解三角形 [專題通關(guān)練] (建議用時：30分鐘) 1．(2019·成都檢測)若sin＝，則cos＝(　　) A.　　　　B.　　　　C．－　　　　D．－ D　[∵sin＝，∴cos＝， ∴cos＝cos 2＝2cos2－1＝－，故選D.] 2．在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c，若＝，則cos B＝(　　) A．－ B. C．－ D. B　[在△ABC中，由正弦定理，得＝＝1， ∴tan B＝，又B∈(0，π)，∴B＝，cos B＝，故選B.] 3．(2019·開封模擬)已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a

2、，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，則△ABC的面積為(　　) A. B．1 C. D．2 C　[∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，∴cos A＝＝.∵A為△ABC的內(nèi)角，∴A＝60°， ∴S△ABC＝bcsin A＝×4×＝.故選C.] 4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若＜cos A，則△ABC為(　　) A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形 A　[根據(jù)正弦定理得＝＜cos A，即sin C＜sin Bcos A，∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)＜sin Bcos A，整

3、理得sin Acos B＜0，又三角形中sin A＞0，∴cos B＜0，＜B＜π.∴△ABC為鈍角三角形．] 5．為測出所住小區(qū)的面積，某人進行了一些測量工作，所得數(shù)據(jù)如圖所示，則小區(qū)的面積是(　　) A. km2 B. km2 C. km2 D. km2 D　[如圖，連接AC，根據(jù)余弦定理可得AC＝，故△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，故△ADC為等腰三角形，設(shè)AD＝DC＝x，根據(jù)余弦定理得x2＋x2＋x2＝3，即x2＝＝3(2－)．所以所求小區(qū)的面積為×1×＋×3(2－)×＝＝(km2)．] 6．在△ABC中，已知AC＝2，BC＝，∠BAC

4、＝60°，則AB＝________. 3　[在△ABC中，由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，得AB2－2AB－3＝0，又AB＞0，所以AB＝3.] 7．(2019·荊州模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若sin2A－sin2B＝sin Bsin C，sin C＝2sin B，則A＝________. 30°　[根據(jù)正弦定理可得a2－b2＝bc，c＝2b，解得a＝b. 根據(jù)余弦定理cos A＝＝＝，得A＝30°.] 8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b＝4，c＝5，且B＝2C，點D為邊BC上一點，且CD＝3，則

5、△ADC的面積為________． 6　[在△ABC中，由正弦定理得＝，又B＝2C，則＝，又sin C＞0，則cos C＝＝，又C為三角形的內(nèi)角，則sin C＝＝＝，則△ADC的面積為AC·CDsin C＝×4×3×＝6.] [能力提升練] (建議用時：15分鐘) 9．如圖，在△ABC中，C＝，BC＝4，點D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足．若DE＝2，則cos A＝(　　) A.　　　 B. C. D. C　[∵DE＝2，∴BD＝AD＝＝.∵∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得＝，∴＝×＝，∴cos A＝，故選C.] 10．在外接圓半徑為的△ABC中，

6、a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，則b＋c的最大值是(　　) A．1 B. C．3 D. A　[根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，又a2＝b2＋c2－2bccos A，所以cos A＝－，A＝120°.因為△ABC外接圓半徑為，所以由正弦定理得b＋c＝sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)＝cos B＋sin B＝sin(60°＋B)，故當B＝30°時，b＋c取得最大值1.] 11．已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sin2B＝2

7、sin Asin C. (1)若a＝b，求cos B； (2)設(shè)B＝90°，且a＝，求△ABC的面積． [解]　(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2＝2ac. 又a＝b，可得b＝2c，a＝2c. 由余弦定理可得cos B＝＝. (2)由(1)知b2＝2ac. 因為B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2. 故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝. 所以△ABC的面積為1. 12．(2019·蘭州模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b2＋c2－a2＝accos C＋c2cos A. (1)求角A的大小； (2)若△ABC的面積S△ABC＝，且a＝5，求si

8、n B＋sin C. [解]　(1)∵b2＋c2－a2＝accos C＋c2cos A， ∴2bccos A＝accos C＋c2cos A， ∵c＞0，∴2bcos A＝acos C＋ccos A， 由正弦定理得2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A， 即2sin Bcos A＝sin(A＋C)． ∵sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B， ∴2sin Bcos A＝sin B，即sin B(2cos A－1)＝0， ∵0＜B＜π，∴sin B≠0，∴cos A＝， ∵0＜A＜π，∴A＝. (2)∵S△ABC＝bcsin A＝bc＝，∴

9、bc＝25. ∵cos A＝＝＝，∴b2＋c2＝50， ∴(b＋c)2＝50＋2×25＝100，即b＋c＝10(或求出b＝c＝5)， ∴sin B＋sin C＝b·＋c·＝(b＋c)·＝10×＝. 題號 內(nèi)容 押題依據(jù) 1 誘導公式、倍角公式、余弦定理、三角形的面積公式 利用正弦定理、余弦定理求解三角形的面積，在近幾年全國卷中常有涉及，應予以重視．本題將三角恒等變換與余弦定理相結(jié)合，考查學生的數(shù)學運算和邏輯推理的核心素養(yǎng) 2 正弦定理、余弦定理 利用正弦定理、余弦定理解決三角形有關(guān)角、邊長等的運算是每年高考的重點，本題將正、余弦定理與平面幾何的相關(guān)知識綜合考查，很好

10、地考查了學生的數(shù)學運算和邏輯推理核心素養(yǎng) 【押題1】　[新題型]△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，sin 2C＋cos(A＋B)＝0且c＝，a＞c，a＋b＝5.則∠C＝________，△ABC的面積是________． 　　[由sin 2C＋cos(A＋B)＝0且A＋B＋C＝π， 得2sin Ccos C－cos C＝0，所以cos C＝0或sin C＝. 由c＝，a＞c得，cos C＝0不成立，所以sin C＝，所以C＝. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab＝13，所以ab＝4，故S△ABC＝absin C＝×4×＝.

11、] 【押題2】　已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2c＋a＝2bcos A. (1)求角B的大??； (2)若a＝5，c＝3，邊AC的中點為D，求BD的長． [解]　(1)由2c＋a＝2bcos A及正弦定理， 得2sin C＋sin A＝2sin Bcos A， 又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以2sin Acos B＋sin A＝0， 因為sin A≠0，所以cos B＝－， 因為0＜B＜π，所以B＝. (2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos∠ABC＝52＋32＋5×3＝49，所以b＝7，所以AD＝. 因為cos∠BAC＝＝＝， 所以BD2＝AB2＋AD2－2·AB·ADcos∠BAC＝9＋－2×3××＝， 所以BD＝. - 6 -