2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 第3講 平面向量教案

第3講平面向量自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(2012·重慶)設(shè)x、yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，則|ab|A.B.C2D10解析利用平面向量共線和垂直的條件求解a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，由ac得a·c0，即2x40，x2.由bc，得1×(4)2y0，y2.ab(3，1)，|ab|.答案B2(2012·浙江)在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM3，BC10，則·_.解析利用向量數(shù)量積的運(yùn)算求解如圖所示，·()·()22|2|292516.答案16考題分析近年的新課標(biāo)高考，對于平面向量的考查主要是向量的模、夾角的運(yùn)算以及平行、垂直的判斷及應(yīng)用，重點(diǎn)考查的是平面向量數(shù)量積的運(yùn)算與應(yīng)用，考查形式多樣，且常與其他數(shù)學(xué)知識(shí)交匯命題網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：向量的有關(guān)運(yùn)算問題【例1】(1)(2012·聊城模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，N是線段OD的中點(diǎn)，AN的延長線與CD交于點(diǎn)E，則下列說法錯(cuò)誤的是A. B.C. D.(2)(2012·天水模擬)已知O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且20，則AOC與ABC的面積比值是A.B.C.D1審題導(dǎo)引(1)利用平面向量的加減法及平面向量基本定理逐一判定；(2)把所求面積的比轉(zhuǎn)化為線段的比值規(guī)范解答(1)設(shè)()()，又設(shè)，故，.故選D.(2)如圖所示，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，則2，又20，即O是BM的中點(diǎn)，故AOC的底邊AC上的高是ABC底邊AC上高的，AOC與ABC的面積比值是.答案(1)D(2)A【規(guī)律總結(jié)】平面向量運(yùn)算中的易錯(cuò)點(diǎn)平面向量的線性運(yùn)算包括向量的加法、向量的減法及實(shí)數(shù)與向量的積，在解決這類問題時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：忽視向量的終點(diǎn)與起點(diǎn)，導(dǎo)致加法與減法混淆；錯(cuò)用數(shù)乘公式對此，要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須重合；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件【變式訓(xùn)練】1(2012·密云一模)在ABC中，點(diǎn)P是BC上的點(diǎn).2，則A2，1 B1，2C， D，解析如圖，()，.答案C考點(diǎn)二：平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用【例2】(1)(2012·三明模擬)在邊長為1的正三角形ABC中，若2，3，則·_.(2)(2012·海淀一模)已知向量a(1，x)，b(1，x)，若2ab與b垂直，則|a|A. B.C2 D4審題導(dǎo)引(1)向量與用，或表示計(jì)算其數(shù)量積；(2)利用(2ab)b，求出x，然后計(jì)算|a|.規(guī)范解答(1)·()·()·|2··×1×1×1×1×1××1×1×.(2)(2ab)·b(3，x)·(1，x)x230，x±，|a|2.答案(1)(2)C【規(guī)律總結(jié)】易錯(cuò)提示由于兩向量的數(shù)量積與它們的模和夾角有關(guān)，因此數(shù)量積是解決長度、夾角(尤其是垂直)等問題的重要工具注意在ABC中，向量的夾角與ABC的內(nèi)角之間的關(guān)系，向量與的夾角為角A，而與的夾角為B，這一點(diǎn)不要出錯(cuò)【變式訓(xùn)練】2(2012·皖南八校聯(lián)考)設(shè)向量a、b滿足：|a|2，a·b，|ab|2，則|b|等于A. B1C. D2解析|ab|2(ab)2|a|22a·b|b|243|b|28，|b|1.答案B3(2012·廈門模擬)已知平面向量a、b滿足a·(ab)3，且|a|2，|b|1，則向量a與b的夾角為A. B. C. D.解析a·(ab)|a|2a·b4a·b3，a·b1，cos a，b，a，b.答案C考點(diǎn)三：平面向量的綜合應(yīng)用性問題【例3】已知向量a，b，且x，求：(1)a·b及|ab|；(2)若f(x)a·b2|ab|的最小值是，求的值審題導(dǎo)引應(yīng)用向量的數(shù)量積公式和模的公式，可得f(x)的表達(dá)式，再運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)化簡f(x)，根據(jù)f(x)的表達(dá)式求出的值規(guī)范解答(1)a·bcos cos sin sin cos 2x，|ab|2，x，0cos x1，|ab|2cos x.(2)f(x)a·b2|ab|cos 2x2·2cos x2(cos x)2122，當(dāng)0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos x0時(shí)，f(x)取得最小值1，這與已知矛盾；當(dāng)01時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos x時(shí)，f(x)取得最小值122，由已知，得122，解得；當(dāng)1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos x1時(shí)，f(x)取得最小值14，由已知，得14，解得，與1矛盾綜上所述，.【規(guī)律總結(jié)】平面向量綜合應(yīng)用的技巧例3體現(xiàn)了函數(shù)問題向量化、向量問題函數(shù)化的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，其中，模的平方與向量數(shù)量積之間的關(guān)系|a|2a·ax2y2和a(x，y)是實(shí)現(xiàn)向量與實(shí)數(shù)互化的依據(jù)和橋梁，也是重要的轉(zhuǎn)化方法在近幾年的高考中，經(jīng)常以解答題的形式考查上面所說的這種轉(zhuǎn)化，且常見于以三角函數(shù)為背景的中易檔解答題中【變式訓(xùn)練】4(2012·青島二模)已知向量m(sin x，sin x)，n(sin x，cos x)，設(shè)函數(shù)f(x)m·n，若函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱(1)求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值，并求出此時(shí)x的值；(2)在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，A為銳角，若f(A)g(A)，bc7，ABC的面積為2，求邊a的長解析(1)由題意得：f(x)sin2xsin xcos xsin 2xsin，所以g(x)sin，因?yàn)閤，所以2x，所以當(dāng)2x，即x時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值為.(2)由f(A)g(A)，得1sinsin，化簡得：cos 2A.又因?yàn)?A，解得：A，由題意知：SABCbcsin A2，解得bc8，又bc7，所以a2b2c22bccos A(bc)22bc(1cos A)492×8×25，故所求邊a的長為5.名師押題高考【押題1】在正三角形ABC中，AB1，73，則·_.解析·(73)·7·3·7×1×1×cos 120°3×1×1×cos 60°2.押題依據(jù)本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，屬中等偏易題每年高考大多數(shù)情況下都會(huì)涉及此類題目，有時(shí)還會(huì)與正、余弦定理交匯命題，所以在備考中掌握其基礎(chǔ)知識(shí)，能熟練運(yùn)算即可【押題2】在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知向量m(b，a2c)，n(cos A2cos C，cos B)，且mn.(1)求的值；(2)若a2，|m|3，求ABC的面積S.解析(1)解法一由mn，得b(cos A2cos C)(a2c)cos B0.根據(jù)正弦定理，得sin Bcos A2sin Bcos Csin Acos B2sin Ccos B0.因此(sin Bcos Asin Acos B)2(sin Bcos Csin Ccos B)0，即sin(AB)2sin(BC)0.因?yàn)锳BC，所以sin C2sin A0.即2.解法二由mn得，b(cos A2cos C)(a2c)cos B0.根據(jù)余弦定理，得b×a×2b×2c×0.即c2a0.所以2.(2)因?yàn)閍2，由(1)知，c2a4.因?yàn)閨m|3，即3，解得b3.所以cos A.所以sin A.因此ABC的面積Sbcsin A×3×4×.押題依據(jù)向量的垂直、平行是向量的重點(diǎn)內(nèi)容，而向量與三角恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，正、余弦定理綜合的題目是高考的一類熱點(diǎn)題型本題主要考查了向量垂直的充要條件、向量的模以及正、余弦定理的綜合應(yīng)用，難度中等，符合高考的要求，故押此題 - 7 -