2020版高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓29 等差數(shù)列及其前n項和（含解析）理

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1、課后限時集訓(二十九) (建議用時：60分鐘) A組　基礎達標 一、選擇題 1．在等差數(shù)列{an}中，若前10項的和S10＝60，且a7＝7，則a4＝( ) A．4 B．－4 C．5 D．－5 C　[法一：由題意得解得 ∴a4＝a1＋3d＝5，故選C. 法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)有a1＋a10＝a7＋a4，∵S10＝＝60，∴a1＋a10＝12.又∵a7＝7，∴a4＝5，故選C.] 2．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2＋a7＋a12＝24，則S13＝( ) A．52 B．78 C．104 D．

2、208 C　[由a2＋a7＋a12＝24得3a7＝24， 即a7＝8， ∴S13＝＝13a7＝13×8＝104，故選C.] 3．在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，則該數(shù)列的通項為( ) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ A　[由已知式＝＋可得－＝－，知是首項為＝1，公差為－＝2－1＝1的等差數(shù)列，所以＝n，即an＝.] 4．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，m≥2，m∈N*，則m＝( ) A．3 B．4 C．5 D．6 C　[∵{an

3、}是等差數(shù)列，Sm－1＝－2，Sm＝0，∴am＝Sm－Sm－1＝2. 又Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴d＝am＋1－am＝1. 又 Sm＝＝＝0， ∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，∴m＝5.] 5．(2019·銀川模擬)我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長五尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上述的已知條件，若金箠由粗到細是均勻變化的，問第二尺與第四尺的重量之和為( )

4、A．6斤 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤 A　[依題意，金箠由粗到細各尺的重量構(gòu)成一個等差數(shù)列，設首項a1＝4，則a5＝2，由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺與第四尺的重量之和為6斤．故選A.] 二、填空題 6．在等差數(shù)列{an}中，首項a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，則k＝________. 22　[ak＝a1＋(k－1)d＝(k－1)d，a1＋a2＋a3＋…＋a7＝7a4＝7a1＋21d＝21d，所以k－1＝21，得k＝22.] 7．在等差數(shù)列{an}中，公差d＝，前100項的和S100＝45，則a1＋

5、a3＋a5＋…＋a99＝________. 10　[a2＋a4＋a6＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋25，由S100＝45得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝10.] 8．(2019·青島模擬)若x≠y，數(shù)列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差數(shù)列，則＝________. 　[由題意得a1－a2＝，b1－b2＝，所以＝.] 三、解答題 9．已知等差數(shù)列的前三項依次為a,4,3a，前n項和為Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值； (2)設數(shù)列{bn}的通項bn＝，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項和Tn. [解]　(1)設該等差數(shù)列為

6、{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2， 所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k. 由Sk＝110，得k2＋k－110＝0， 解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10. (2)證明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)， 則bn＝＝n＋1， 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1， 即數(shù)列{bn}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列， 所以Tn＝＝. 10．(2019·長春模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項公式； (2)

7、求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. [解]　(1)設{an}的公差為d.由題意，得 a＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)． 于是d(2a1＋25d)＝0. 又a1＝25，所以d＝0(舍去)或d＝－2. 故an＝－2n＋27. (2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首項為25，公差為－6的等差數(shù)列． 從而Sn＝(a1＋a3n－2) ＝(－6n＋56) ＝－3n2＋28n. B組　能力提升 1．若{an}是公差為1的等差數(shù)列，則{a2n－1＋2a2n}是( ) A．公差為3

8、的等差數(shù)列 B．公差為4的等差數(shù)列 C．公差為6的等差數(shù)列 D．公差為9的等差數(shù)列 C　[an＝n＋a1－1， ∴a2n－1＝2n＋a1－2，a2n＝2n＋a1－1， ∴a2n－1＋2a2n＝6n＋3a1－4. 因此數(shù)列{a2n－1＋2a2n}是公差為6的等差數(shù)列，故選C.] 2．在我國古代著名的數(shù)學專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復還迎駑馬，二馬相逢，問：幾日相逢？( ) A．9日 B．8日 C．16日 D．12日

9、A　[根據(jù)題意，顯然良馬每日行程構(gòu)成一個首項a1＝103，公差d1＝13的等差數(shù)列，前n天共跑的里程為S＝na1＋d1＝103n＋n(n－1)＝6.5n2＋96.5n；駑馬每日行程也構(gòu)成一個首項b1＝97，公差d2＝－0.5的等差數(shù)列，前n天共跑的里程為S＝nb1＋d2＝97n－n(n－1)＝－0.25n2＋97.25n.兩馬相逢時，共跑了一個來回．設其第n天相逢，則有6.5n2＋96.5n－0.25n2＋97.25n＝1 125×2，解得n＝9，即它們第9天相遇，故選A.] 3．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則正整數(shù)m的值為________．

10、 5　[由題意知am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，則公差d＝am＋1－am＝1. 由Sm＝0得＝0，解得a1＝－am＝－2， 則am＝－2＋(m－1)×1＝2，解得m＝5.] 4．(2019·武漢模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項公式； (2)設bn＝－15，求數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn. [解]　(1)證明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)， ∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴－＝2， ∴數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為2，首項為2， ∴＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)知an＝2n2，∴bn＝－15＝2n－15， 則數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝＝n2－14n. 令bn＝2n－15≤0，n∈N*，解得n≤7. ∴n≤7時，數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n. n≥8時，數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn＝－2S7＋Sn＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98. ∴Tn＝ - 5 -