2020版高考數學一輪復習 課后限時集訓26 平面向量的數量積與平面向量應用舉例 理（含解析）新人教A版

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1、課后限時集訓(二十六)　平面向量的數量積與平面向量應用舉例 (建議用時：60分鐘) A組　基礎達標 一、選擇題 1．(2018·陜西二模)已知向量a＝(2,3)，b＝(x,4)．若a⊥(a－b)，則x＝(　　) A．1　　B.　　C．2　　 D．3 B　[由題意，得a－b＝(2－x，－1)．因為a⊥(a－b)，所以2×(2－x)＋3×(－1)＝0，解得x＝，故選B.] 2．已知向量a＝(x2，x＋2)，b＝(－，－1)，c＝(1，)，若a∥b，則a與c夾角為(　　) A. B. C. D. A　[cos〈b，c〉＝＝＝－，又由x2≥0且a∥b得a，b是反向共線，則cos

2、〈a，c〉＝－cos〈b，c〉＝，〈a，c〉∈[0，π]，則〈a，c〉＝，故選A.] 3．(2019·西寧模擬)如圖在邊長為1的正方形組成的網格中，平行四邊形ABCD的頂點D被陰影遮住，請設法計算·＝(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 B　[以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，＝(4,1)，＝＝(2,3)，∴·＝4×2＋1×3＝11，故選B.] 4．(2019·銀川模擬)在正方形ABCD中，點E為BC的中點，若點F滿足＝λ，且·＝0，則λ＝(　　) A. B. C. D. A　[以A為坐標原點，AB，AD所在

3、直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系(圖略)，設正方形ABCD的邊長為2，則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(2,1)，由于＝λ，則點F在直線AC上，設F(a，a)，那么·＝(2,1)·(a－2，a)＝3a－4＝0，解得a＝，結合＝λ，可得＝2λ，解得λ＝，故選A.] 5．已知平面向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，則(a＋c)·(2b－c)的最小值為(　　) A．－2 B．－ C．－1 D．0 B　[因為a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝.不妨設a＝(1,0)，b＝，c＝(cos θ，s

4、in θ)，則(a＋c)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b·c－c2＝1－cos θ＋2－1＝sin θ，所以(a＋c)·(2b－c)的最小值為－，故選B.] 二、填空題 6．(2019·青島模擬)已知向量a，b滿足|b|＝5，|a＋b|＝4，|a－b|＝6，則向量a在向量b上的投影為________． －1　[設向量a，b的夾角為θ，則|a＋b|2＝|a|2＋2|a||b|cos θ＋|b|2＝|a|2＋10|a|cos θ＋25＝16，|a－b|2＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2＝|a|2－10|a|cos θ＋25＝36，兩式相減整理得|a|cos θ＝－1，即向

5、量a在向量b上的投影為|a|cos θ＝－1.] 7．(2018·南昌一模)平面向量a＝(1，m)，b＝(4，m)，若有(2|a|－|b|)(a＋b)＝0，則實數m＝________. ±2　[由題意可得a＋b≠0，則2|a|＝|b|，即4(1＋m2)＝16＋m2，解得m2＝4，m＝±2.] 8．已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n與tm－n夾角為鈍角，則實數t的取值范圍是________． (－∞，0)∪(0,4)　[∵n與(tm－n)夾角為鈍角， ∴n·(tm－n)＜0且n與(tm－n)不共線． ∴又m·n＝|m||n|cos〈m，n〉＝n2×＝n

6、2. 即n2－n2＜0且t≠0，∴t＜4且t≠0.] 三、解答題 9．(2017·江蘇高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]． (1)若a∥b，求x的值； (2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值． [解]　(1)因為a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b， 所以－cos x＝3sin x. 若cos x＝0，則sin x＝0，與sin2x＋cos2x＝1矛盾， 故cos x≠0. 于是tan x＝－. 又x∈[0，π]，所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3

7、，－) ＝3cos x－sin x＝2cos. 因為x∈[0，π]，所以x＋∈， 從而－1≤cos≤. 于是，當x＋＝，即x＝0時，f(x)取到最大值3； 當x＋＝π，即x＝時，f(x)取到最小值－2. 10．已知|a|＝2，|b|＝1. (1)若a⊥b，求(2a－b)·(a＋b)的值； (2)若不等式|a＋xb|≥|a＋b|對一切實數x恒成立，求a與b夾角的大?。? [解]　(1)∵a⊥b， ∴a·b＝0， ∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝7. (2)設向量a，b的夾角為θ，則 a·b＝|a||b|cos θ＝2cos θ. 不等式|a＋xb|≥|

8、a＋b|兩邊平方可得： a2＋2a·bx＋x2b2≥a2＋2a·b＋b2， 即：4＋4xcos θ＋x2≥4＋4cos θ＋1. 整理得： x2＋4xcos θ－4cos θ－1≥0.(*) 因為不等式對一切實數x恒成立， 則Δ＝16cos2θ＋4(4cos θ＋1) ＝4(4cos2θ＋4cos θ＋1) ＝4(2cos θ＋1)2≤0， ∴2cos θ＋1＝0， 即cos θ＝－. 又θ∈[0，π]， ∴θ＝π. B組　能力提升 1．(2018·石家莊二模)若兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，則向量a＋b與a的夾角為(　　) A.　　 　

9、B.　　 　C.　　 　D. A　[由|a＋b|＝|a－b|知，a·b＝0，所以a⊥b.將|a－b|＝2|b|兩邊平方，得|a|2－2a·b＋|b|2＝4|b|2，所以|a|2＝3|b|2，所以|a|＝|b|，所以cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝，所以向量a＋b與a的夾角為，故選A.] 2．(2018·天津高考)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若點E為邊CD上的動點，則·的最小值為(　　) A. B. C. D．3 A　[以D為原點建立平面直角坐標系，如圖所示． 連接AC，易知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠

10、ACB＝30°， ∴D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)． 設E(0，y)(0≤y≤)， 則＝(－1，y)， ＝， ∴·＝＋y2－y＝2＋， ∴當y＝時，·有最小值，故選A.] 3．在△ABC中，a，b，c為A，B，C的對邊，a，b，c成等比數列，a＋c＝3，cos B＝，則·＝________. －　[由a，b，c成等比數列得ac＝b2，在△ABC中，由余弦定理可得cos B＝＝，則＝，解得ac＝2， 則·＝accos(π－B)＝－accos B＝－.] 4．在如圖所示的平面直角坐標系中，已知點A(1,0)和點B(－1,0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O為坐

11、標原點． (1)若θ＝π，設點D為線段OA上的動點，求|＋|的最小值； (2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及對應的θ值． [解]　(1)設D(t,0)(0≤t≤1)， 由題意知C， 所以＋＝， 所以|＋|2＝－t＋t2＋ ＝t2－t＋1＝2＋， 所以當t＝時，|＋|最小，為. (2)由題意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)， 則m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin， 因為θ∈， 所以≤2θ＋≤， 所以當2θ＋＝， 即θ＝時，sin取得最大值1. 所以m·n的最小值為1－，此時θ＝. - 6 -