10、圓相交；d＝r?直線與圓相切；d>r?直線與圓相離；
(2)判別式法：設直線l：Ax＋By＋C＝0…①，圓O：(x－a)2＋(y－b)2＝r2…②，由①與②組成方程組M，消去x(或y)后的一元二次方程，其根的判別式為Δ，則Δ>0?直線與圓相交；Δ＝0?直線與圓相切；Δ<0?直線與圓相離．
2.圓與圓的位置關系
設兩圓的半徑分別是R，r(R>r)；圓心距為d；兩圓方程聯(lián)立的方程組為M，則兩圓的位置關系如下：
1.(2018·全國卷Ⅱ)過拋物線y2＝4x上的點P作圓C：x2＋y2－6x＋8＝0的切線PA和PB，切點分別為A，B，則四邊形PACB面積的最小值為( )
A.
11、 B. C. D．2
答案 C
解析 如圖所示，四邊形PACB由兩個全等的直角三角形PAC和PBC構成，因此當PC長度最小時，四邊形PACB面積取得最小值．由于P在拋物線y2＝4x上，設P的坐標為，
∵x2＋y2－6x＋8＝0，整理得(x－3)2＋y2＝1，
∴C點坐標為(3,0)，
所以|PC|＝＝，由于y∈R，所以當y＝±2時，|PC|min＝2.又圓C的半徑為1，此時|PA|＝，所以四邊形PACB面積的最小值為.故選C.
2.(2019·石家莊模擬)設圓C1，C2都和兩坐標軸相切，且都過點(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|等于( )
A.4 B．4
12、C．8 D．8
答案 C
解析 因為圓C1，C2和兩坐標軸相切，且都過點(4,1)，所以兩圓都在第一象限內，設圓心坐標為(a，a)，則
|a|＝，
解得a＝5＋2或a＝5－2，
可取C1(5＋2，5＋2)，C2(5－2，5－2)，
故|C1C2|＝ ＝8.故選C.
3.(2019·浙江高考)已知圓C的圓心坐標是(0，m)，半徑長是r.若直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點A(－2，－1)，則m＝________，r＝________.
答案?。?
解析 根據題意畫出圖形，可知
A(－2，－1)，C(0，m)，B(0,3)，則
|AB|＝＝2，
|AC|＝＝，
|
13、BC|＝|m－3|.
∵直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點A，
∴∠BAC＝90°，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.
即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，解得m＝－2.
因此r＝|AC|＝＝.
1.討論直線與圓、圓與圓的位置關系時，要注意數形結合，充分利用圓的幾何性質尋找解題途徑，減少運算量．
2.圓上的點與圓外點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上的點距離的最值問題，可以轉化為圓心到直線的距離問題；圓上點與另一圓上點的距離最值問題，可以轉化為兩圓心之間的距離問題.
熱點4 交匯題型
直線與圓的問題，很多時候常常需要借助代數坐標化，
14、將動態(tài)問題轉變?yōu)楹瘮祮栴}，因此圓的相關知識，常與向量、不等式、三角函數、概率等問題交匯考查，凸顯坐標法與數形結合三位一體的命題理念，有效地考查解析幾何的基本思想．
交匯點一 與向量交匯
典例1 (2017·全國卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為( )
A.3 B．2 C. D．2
解析 建立如圖所示的直角坐標系，則C點坐標為(2,1)．
設BD與圓C切于點E，連接CE，則CE⊥BD.
∵CD＝1，BC＝2，
∴BD＝＝，
EC＝＝＝，
即圓C的半徑為，
∴P點的軌跡方
15、程為(x－2)2＋(y－1)2＝.
設P(x0，y0)，則(θ為參數)，
而＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0)．
∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，
∴μ＝x0＝1＋cosθ，λ＝y(tǒng)0＝1＋sinθ.
兩式相加，得λ＋μ＝1＋sinθ＋1＋cosθ
＝2＋sin(θ＋φ)≤3，
當且僅當θ＝＋2kπ－φ，k∈Z時，λ＋μ取得最大值3.故選A.
答案 A
平面向量與圓的交匯是解析幾何的一個熱點內容，在高考中一直是考查的重點．解題時一方面要能夠正確分析向量表達式，將它們轉化為圖形中的相應位置關系；另一方面還要善于運用向量的運算來解決問題.
16、(2017·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，點P在圓O：x2＋y2＝50上．若·≤20，則點P的橫坐標的取值范圍是________．
答案 [－5，1]
解析 因為點P在圓O：x2＋y2＝50上，
所以設P點坐標為(x，±)(－5≤x≤5)．
因為A(－12,0)，B(0,6)，
所以＝(－12－x，－)或＝(－12－x，)，＝(－x,6－)或＝(－x,6＋)．
因為·≤20，先取P(x, )進行計算，
所以(－12－x)(－x)＋(－)(6－)≤20，即2x＋5≤ .
當2x＋5≤0，即x≤－時，上式恒成立；
當2x＋5≥0，即x≥－時，
17、(2x＋5)2≤50－x2，
解得－5≤x≤1，即－≤x≤1.故x≤1.
同理可得P(x，－)時，x≤－5.
又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1.
故點P的橫坐標的取值范圍為[－5，1]．
設P(x，y)，則＝(－12－x，－y)，＝(－x，6－y)．
∵·≤20，
∴(－12－x)(－x)＋(－y)(6－y)≤20，
即2x－y＋5≤0.
如圖，作圓O：x2＋y2＝50，直線2x－y＋5＝0與⊙O交于E，F兩點，
∵P在圓O上且滿足2x－y＋5≤0，
∴點P在上．
由得F點的橫坐標為1.
又D點的橫坐標為－5，
∴P點的橫坐標的取值范圍為[－5，1].
交匯點
18、二 與不等式交匯
典例2 已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝25，圓C上的點到直線l：3x＋4y＋m＝0(m<0)的最短距離為1，若點N(a，b)在直線l上位于第一象限的部分，則＋的最小值為________．
解析 圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝25，圓心坐標(3,4)，半徑為5，因為圓C上的點到直線l：3x＋4y＋m＝0(m<0)的最短距離為1，則直線l與圓C相離，設圓心到直線的距離為d，則d－r＝1，可得＝6，解得m＝－55或m＝5(舍去)．
因為點N(a，b)在直線l上位于第一象限的部分，
所以3a＋4b＝55，a>0，b>0.
則＋＝(3a＋4b)＝
19、
≥＝，
當且僅當a＝－55＋，b＝55－時取等號．
答案
一般來說，處理直線與圓的位置關系，常利用圓心到直線的距離與半徑大小的關系構造不等式；或是運用圖形(象)明顯(或挖掘隱含)的幾何性質與特征，轉化為與之等價的代數不等式，通過解不等式(組)求出相應的范圍與最值問題.
若直線l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圓C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面積相等的兩部分，則當ab取得最大值時，坐標原點到直線l的距離是( )
A.4 B．8 C．2 D.
答案 D
解析 由題意知直線ax＋by＋1＝0過圓心(－4，
20、－1)，即4a＋b＝1.由基本不等式可知ab≤·2＝，當且僅當4a＝b＝時等號成立，即直線方程為x＋y＋1＝0，所以原點到直線的距離為d＝＝.故選D.
交匯點三 與概率交匯
典例3 (2019·太原市一模)已知圓C：x2＋y2＝1，直線l：y＝k(x＋2)，在[－1,1]上隨機選取一個數k，則事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率為( )
A. B. C. D.
解析 因為當直線l與圓相離時，圓心(0,0)到直線kx－y＋2k＝0的距離大于半徑，所以>1，即k>或k<－.所以概率P＝＝.故選C.
答案 C
與直線和圓“交匯”的概率問題一般要先畫出滿足條件的幾
21、何圖形，一方面根據直線與圓、圓與圓的位置關系構建不等關系，利用幾何概型公式進行計算；二是利用條件確定符合條件的參數取值，利用古典概型公式或幾何概型公式進行計算.
將一個骰子拋擲兩次，第一次出現的點數記為a，第二次出現的點數記為b，設兩條直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率為p1，相交的概率為p2，則點P(p1，p2)與直線l2：x＋2y＝2的位置關系是( )
A.P在直線l2上 B．P在直線l2的下方
C.P在直線l2的上方 D．無法確定
答案 B
解析 易知當且僅當≠時兩條直線相交，而＝的情況有三種：a＝1，b＝2(此時兩條直線重合)；a＝2，b＝
22、4(此時兩直線平行)；a＝3，b＝6(此時兩直線平行)．而拋擲兩次的所有情況有6×6＝36種，所以兩條直線相交的概率p2＝1－＝，兩條直線平行的概率p1＝＝，則點P，易判斷該點在直線l2：x＋2y＝2的下方．故選B.
真題自檢感悟
1.(2019·北京高考)設拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為________．
答案 (x－1)2＋y2＝4
解析 ∵拋物線y2＝4x的焦點F的坐標為(1,0)，準線l為直線x＝－1，∴圓的圓心坐標為(1,0)．
又∵圓與l相切，∴圓心到l的距離為圓的半徑，
∴r＝2.∴圓的方程為(x－1)2＋y2＝4.
23、
2.(2019·天津高考)設a∈R，直線ax－y＋2＝0和圓(θ為參數)相切，則a的值為________．
答案
解析 把圓的參數方程化為圓的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圓心為(2,1)，半徑r＝2.又直線方程為ax－y＋2＝0，且直線與圓相切，所以圓心到直線的距離d＝＝2，所以a＝.
3.(2018·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y＝2x上在第一象限內的點，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若·＝0，則點A的橫坐標為________．
答案 3
解析 根據已知作圖(如圖)，因為AB為圓C的直徑，
所以∠ADB＝90°
24、.又因為·＝0，C是AB中點，
所以△ADB是等腰直角三角形．設直線AB的傾斜角為α，
所以α＝∠AOB＋∠OAB，
則tanα＝tan(∠AOB＋∠OAB)
＝＝＝－3，
所以直線AB的方程為y＝－3(x－5)．
由解得所以點A的橫坐標為3.
4.(2017·北京高考)已知點P在圓x2＋y2＝1上，點A的坐標為(－2,0)，O為原點，則·的最大值為________．
答案 6
解析 根據題意作出圖形，如圖所示，
A(－2,0)，P(x，y)．
由點P向x軸作垂線交x軸于點Q，則點Q的坐標為(x,0)．
·＝||||cosθ，
||＝2，||＝，
cosθ＝＝，
25、
所以·＝2(x＋2)＝2x＋4.
點P在圓x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．
所以·的最大值為2＋4＝6.
如解法一圖所示，因為點P在圓x2＋y2＝1上，
所以可設P(cosα，sinα)(0≤α＜2π)，
所以＝(2,0)，＝(cosα＋2，sinα)，
·＝2cosα＋4≤2＋4＝6，
當且僅當cosα＝1，即α＝0，P(1,0)時“＝”號成立．
即·的最大值為6.
專題作業(yè)
一、選擇題
1.過點(2,1)且傾斜角比直線y＝－x－1的傾斜角小的直線方程是( )
A.x＝2 B．y＝1 C．x＝1 D．y＝2
答案 A
解析 ∵直線y
26、＝－x－1的斜率為－1，則傾斜角為，
依題意，所求直線的傾斜角為－＝，∴斜率不存在，∴過點(2,1)的直線方程為x＝2.故選A.
2.過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0截得的弦長為( )
A. B．2 C. D．2
答案 D
解析 直線方程為y＝x，圓的標準方程為x2＋(y－2)2＝4，則圓心(0,2)到直線的距離d＝＝1.由垂徑定理知，所求弦長為2＝2.故選D.
3.已知過定點P(2,0)的直線l與曲線y＝相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積取到最大值時，直線l的傾斜角為( )
A.150° B．135° C．120° D．不存在
27、
答案 A
解析 由y＝，得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原點O為圓心，以為半徑的圓的一部分，其圖象如圖所示．
顯然直線l的斜率存在，
設過點P(2,0)的直線l為y＝k(x－2)，
則圓心到此直線的距離d＝，
弦長|AB|＝2＝2 ，
所以S△AOB＝××2
≤＝1，
當且僅當(2k)2＝2－2k2，即k2＝時等號成立，
由圖可得k＝－，
故直線l的傾斜角為150°.故選A.
4.已知直線l過定點(0,1)，則“直線l與圓(x－2)2＋y2＝4相切”是“直線l的斜率為”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也
28、不必要條件
答案 B
解析 當直線l的斜率不存在時，其方程為x＝0，此時與圓(x－2)2＋y2＝4相切；當直線l的斜率存在時，設其方程為y＝kx＋1，因為與圓相切，所以有＝2，解得k＝，所以“直線l的斜率為”能推出“直線l與圓(x－2)2＋y2＝4相切”滿足必要性，而“直線l與圓相切”推不出“l(fā)的斜率為”，所以不滿足充分性．故選B.
5.(2019·濰坊模擬)直線l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，則“m＝－1或m＝－7”是“l(fā)1∥l2”的( )
A.充分不必要條件 B．必要不充分條件
C.充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 B
29、解析 由題意，當直線l1∥l2時，滿足＝≠，解得m＝－7，所以“m＝－1或m＝－7”是“l(fā)1∥l2”的必要不充分條件．故選B.
6.(2019·貴州黔東南州聯(lián)考)在△ABC中，若asinA＋bsinB－csinC＝0，則圓C：x2＋y2＝1與直線l：ax＋by＋c＝0的位置關系是( )
A.相切 B．相交 C．相離 D．不確定
答案 A
解析 因為asinA＋bsinB－csinC＝0，
所以由正弦定理得a2＋b2－c2＝0.
故圓心C(0,0)到直線l：ax＋by＋c＝0的距離d＝＝1＝r，故圓C：x2＋y2＝1與直線l：ax＋by＋c＝0相切．故選A.
7.(2019
30、·長春二模)圓(x－2)2＋y2＝4關于直線y＝x對稱的圓的方程是( )
A.(x－)2＋(y－1)2＝4
B.(x－)2＋(y－)2＝4
C.x2＋(y－2)2＝4
D.(x－1)2＋(y－)2＝4
答案 D
解析 (x－2)2＋y2＝4的圓心為(2,0)，設其關于直線y＝x對稱的點為(m，n)，則解得m＝1，n＝，所以所求圓的方程為(x－1)2＋(y－)2＝4.故選D.
8.(2019·蘭州一模)已知圓C：(x－)2＋(y－1)2＝1和兩點A(－t,0)，B(t,0)(t>0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則當t取得最大值時，點P的坐標是( )
A. B
31、.
C. D.
答案 D
解析 由題意知，若使圓C上存在點P(x，y)，使得∠APB＝90°，則圓C與以原點為圓心，AB為直徑的圓有交點，即t－1≤|OC|≤t＋1即1≤t≤3，當t＝3時，兩圓內切且t>1，所以O，C，P三點共線，即kOC＝kOP＝，則OP所在直線的傾斜角為30°.所以x＝3cos30°＝，y＝3sin30°＝，則P.故選D.
9.(2019·河南洛陽二模)在直角坐標平面內，過定點P的直線l：ax＋y－1＝0與過定點Q的直線m：x－ay＋3＝0相交于點M，則|MP|2＋|MQ|2的值為( )
A. B. C．5 D．10
答案 D
解析 由題意知P(
32、0,1)，Q(－3,0)，因為過定點P的直線與過定點Q的直線垂直，所以M位于以PQ為直徑的圓上．因為|PQ|＝＝，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10.故選D.
10.(2019·哈爾濱第三中學三模)一條光線從點(1，－1)射出，經y軸反射后與圓(x－2)2＋y2＝1相交，則入射光線所在直線的斜率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由題意知，反射光線必經過(－1，－1)點，設反射光線的斜率為k，則反射光線為kx－y＋k－1＝0，由題意知<1，所以0
33、)2＝2，若直線y＝kx＋4上總存在點P，使得過點P的圓C的兩條切線互相垂直，則實數k的取值范圍是( )
A.k≤－ B．k≤－或k≥1
C.k≤－或k≥0 D．k≥1
答案 C
解析 如圖，設切點為A，B，連接AC，BC，PC，由∠APB＝∠PAC＝∠PBC＝90°及PA＝PB知，四邊形PACB為正方形，故|PC|＝＝2.若直線y＝kx＋4上總存在點P，使得過點P的圓C的兩條切線互相垂直，只需圓心(－1,2)到直線y＝kx＋4的距離小于或等于2，即≤2，解得k≤－或k≥0.故選C.
12.(2019·南昌二模)若對圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一點P(
34、x，y)，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值與x，y無關，則實數a的取值范圍是( )
A.a≤－4 B．－4≤a≤6
C.a≤－4或a≥6 D．a≥6
答案 D
解析 因為P(x，y)是圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一點，則x＝1＋cosθ，y＝1＋sinθ.所以|3x－4y－9|＝|3cosθ－4sinθ－10|＝|5sin(θ＋φ)－10|.因為5sin(θ＋φ)－10<0，所以|3x－4y－9|＝－3x＋4y＋9，所以若|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值與x，y無關，則3x－4y＋a≥0.因此圓心到直線3x－4y＋a＝0的距離大于或等
35、于1，且a>0，所以≥1解得a≥6.故選D.
二、填空題
13.過點M的直線l與圓C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點，C為圓心，當∠ACB最小時，直線l的方程為________．
答案 2x－4y＋3＝0
解析 易知當CM⊥AB時，∠ACB最小．因為點C的坐標為(1,0)，直線CM的斜率為kCM＝＝－2，從而直線l的斜率為k＝－＝，所以其方程為y－1＝，即2x－4y＋3＝0.
14.已知直線ax－2by＝2(a>0，b>0)過圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心，則＋的最小值為________．
答案 4
解析 圓心為(2，－1)，代入直線方程有2a＋2b＝2即a＋b＝1
36、，則有＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，故答案為4.
15.若⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長是________．
答案 4
解析 ∵⊙O1與⊙O在A處的切線互相垂直，如圖，可知兩切線分別過另一圓的圓心，∴O1A⊥OA.
又∵|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5.
又A，B關于OO1所在直線對稱，
∴AB長為Rt△OAO1斜邊上的高的2倍，
∴|AB|＝2×＝4.
16.已知圓O：x2＋y2＝9，點P為直線x＋2y－9＝0上一動點，過點P向圓O引兩條切線PA，PB，A，B為切點，則直線AB過定點________．
答案 (1,2)
解析 因為P是直線x＋2y－9＝0上的任一點，所以設P(9－2m，m)，因為PA，PB為圓x2＋y2＝9的兩條切線，切點分別為A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，則點A，B在以OP為直徑的圓(記為圓C)上，即AB是圓O和圓C的公共弦，易知圓C的方程是2＋2＝，①
又x2＋y2＝9，②
②－①得，(2m－9)x－my＋9＝0，即公共弦AB所在直線的方程是(2m－9)x－my＋9＝0，即m(2x－y)＋(－9x＋9)＝0，由得x＝1，y＝2.
所以直線AB恒過定點(1,2).
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