2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題2 三角函數(shù)、解三角形、平面向量 第2講 解三角形練習(xí) 理

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1、第2講 解三角形 專題復(fù)習(xí)檢測(cè) A卷 1．在△ABC中，a＝，A＝45°，則△ABC外接圓的半徑R等于(　　) A．1　 B．2 C．4　 D．無(wú)法確定 【答案】A 【解析】2R＝＝＝2，R＝1. 2．(2019年陜西模擬)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，(a＋b＋c)(a＋c－b)＝3ac，則角B＝(　　) A．　 B．　　 C．　 D． 【答案】B 【解析】由(a＋b＋c)(a＋c－b)＝3ac，可得a2＋c2－b2＝ac，根據(jù)余弦定理可得cos B＝＝.又B∈(0，π)，所以B＝.故選B． 3．(2019年北京模擬)在△ABC中，角A，B，C所

2、對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若∠C＝30°，a＝c，則角B等于(　　) A．45°　 B．105° C．15°或105°　 D．45°或135° 【答案】C 【解析】由正弦定理＝，得sin A＝＝＝，所以∠A＝45°或135°.所以∠B＝105°或15°.故選C． 4．(2018年陜西榆林二模)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，＝，若c＝2cos C＝，則△ABC的周長(zhǎng)為(　　) A．3　　　　 B．2　　　　 C．3＋　 D．3＋2 【答案】D 【解析】由＝及正弦定理，得＝.設(shè)a＝t，則b＝t.又c＝2cos C＝，則c＝，且cos C＝.由余弦定理，得c

3、2＝a2＋b2－2abcos C＝4t2－3t2＝3，解得t＝.所以a＝，b＝3，△ABC的周長(zhǎng)＝a＋b＋c＝3＋2. 5．邊長(zhǎng)為5,7,8的三角形中，最大角與最小角之和為(　　) A．90°　 B．120°　　 C．135°　 D．150° 【答案】B 【解析】設(shè)邊長(zhǎng)為5,7,8的對(duì)角分別為A，B，C，則A

4、＋c2－2accos B及b＝6，a＝2c，B＝，得36＝(2c)2＋c2－4c2cos，解得c2＝12.所以S△ABC＝acsin B＝c2sin B＝6. 7．(2018年福建福州模擬)如圖，小張?jiān)谏巾擜處觀測(cè)到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小張?jiān)贏處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14 s，則這輛汽車的速度約為_(kāi)_______m/s.(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈2.236) 【答案】22.6 【解析】∵小張?jiān)贏處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，∴∠BAD＝

5、60°，∠CAD＝45°.設(shè)這輛汽車的速度為v m/s，則BC＝14v.在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，∴(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos 135°，∴v＝≈22.6，即這輛汽車的速度約為22.6 m/s. 8．(2019年江蘇)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c. (1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值； (2)若＝，求sin 的值． 【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝＝，解得c＝. (2

6、)由＝及正弦定理，得＝＝，∴2sin B＝cos B. 代入sin2B＋cos2B＝1，解得sin B＝，cos B＝. ∴sin＝cos B＝. 9．(2019年北京)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－. (1)求b，c的值； (2)求sin(B－C)的值． 【解析】(1)∵a＝3，b－c＝2，cos B＝－， ∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 可得b2＝32＋(b－2)2－2×3(b－2)×. ∴b＝7，c＝b－2＝5. (2)在△ABC中，∵cos B＝－，∴sin B＝. 由正弦定理有＝， ∴sin C＝＝＝. 由cos B＝－可

7、知B為鈍角，則C為銳角， ∴cos C＝＝. ∴sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C＝×－×＝. B卷 10．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，則tan C等于(　　) A．　 B．　　 C．－　 D．－ 【答案】C 【解析】因?yàn)?S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，結(jié)合三角形的面積公式與余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，＝4.所以＝4，解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)

8、．故選C． 11．(2018年河北邢臺(tái)模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足b2＋c2－a2＝bc，· ＞0，a＝，則b＋c的取值范圍是(　　) A．　 B． C．　 D． 【答案】B 【解析】由b2＋c2－a2＝bc，得cos A＝＝，則A＝.由· ＞0，知B為鈍角．又＝1，則b＝sin B，c＝sin C，b＋c＝sin B＋sin C＝sin B＋sin＝sin B＋cos B＝sin. ∵＜B＜，∴＜B＋＜， ∴＜sin＜，b＋c∈. 12．△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，若＝tan，則2cos B＋sin 2C的最大值為_(kāi)_______．

9、 【答案】 【解析】＝＝＝－tan＝tan＝ tan，∴－A－＝－，得A＝－＝.∴2cos B＋sin 2C＝2cos B＋sin＝2cos B＋sin＝2cos B－cos 2B＝2cos B－2cos2B＋1＝－22＋.當(dāng)cos B＝時(shí)，2cos B＋sin 2C有最大值. 13．(2019年江西南昌模擬)為改善居民的生活環(huán)境，政府?dāng)M將一公園進(jìn)行改造擴(kuò)建，已知原公園是直徑為200米的半圓形，出入口在圓心O處，A為居民小區(qū)，OA的距離為200米，按照設(shè)計(jì)要求，以居民小區(qū)A和圓弧上點(diǎn)B為線段向半圓外作等腰直角三角形ABC(C為直角頂點(diǎn))，使改造后的公園成四邊形OACB，如圖所示．

10、(1)當(dāng)OB⊥OA時(shí)，C與出入口O的距離為多少米？ (2)B設(shè)計(jì)在什么位置時(shí)，公園OACB的面積最大？ 【解析】(1)設(shè)∠OAB＝θ，當(dāng)OB⊥OA時(shí)，AB＝＝100，sin θ＝＝， cos θ＝＝. 在等腰直角三角形ABC中，AC＝AB＝50，∠BAC＝. 在△OAC中，cos ∠OAC＝cos＝×－×＝，由余弦定理得OC2＝2002＋(50)2－2×200×50×＝45 000， 所以O(shè)C＝150，即C與出入口O的距離為150米． (2)設(shè)∠AOB＝α，則S△OAB＝OA·OBsin α＝10 000sin α， AB2＝1002＋2002－2×100×200cos α＝50 000－40 000cos α， 所以S△ABC＝AC2＝AB2＝12 500－10 000cos α. 所以SOACB＝S△OAB＋S△ABC＝10 000(sin α－cos α)＋12 500＝10 000sin＋12 500. 當(dāng)sin＝1，即α＝時(shí)，四邊形OACB的面積最大，所以B設(shè)計(jì)在圓弧上使∠AOB＝的位置時(shí)，公園OACB的面積最大． - 6 -