2019年高考數(shù)學三輪沖刺 專題03 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應用專項講解與訓練

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1、第3講　基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應用 基本初等函數(shù)的圖象與性質 1．指數(shù)與對數(shù)式的8個運算公式 (1)am·an＝am＋n； (2)(am)n＝amn； (3)(ab)m＝ambm，其中，a＞0，b＞0； (4)loga(MN)＝logaM＋logaN； (5)loga ＝logaM－logaN； (6)logaMn＝nlogaM； (7)alogaN＝N； (8)logaN＝，其中，a＞0，且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0. 2．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)的圖象和

2、性質，分0＜a＜1，a＞1兩種情況：當a＞1時，兩函數(shù)在定義域內都為增函數(shù)，當0＜a＜1時，兩函數(shù)在定義域內都為減函數(shù)． (1)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ln(2－x)，則(　　) A．f(x)在(0，2)單調遞增 B．f(x)在(0，2)單調遞減 C．y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱 D．y＝f(x)的圖象關于點(1，0)對稱 【答案】　C　 【解析】法一：由題意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定義域為(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由復合函數(shù)的單調性知，函數(shù)f(x)＝ln x＋ln(2－x)在(0，1)單調遞增，在(1

3、，2)單調遞減，所以排除A，B；又f()＝ln＋ln(2－)＝ln ，f()＝ln＋ln(2－)＝ln，所以f()＝f()＝ln，所以排除D，故選C. 法二：由題意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定義域為(0，2)，f′(x)＝＋＝，由，得0

4、(20.8)，則a，b，c的大小關系為(　　) A．alog24.1>log24＝2>20.8，且函數(shù)f(x)是增函數(shù)，所以c

5、調遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 【答案】D. 2．已知函數(shù)f(x)＝3x－，則f(x)(　　) A．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) C．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 【答案】B 【解析】：選B.由f(－x)＝()x－3x＝－f(x)，知f(x)為奇函數(shù)，因為y＝()x在R上是減函數(shù)，所以y＝－()x在R上是增函數(shù)，又y＝3x在R上是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝3x－()x在R上是增函數(shù)，故選B. 函數(shù)的實際應用 函數(shù)實際應用題的常見類型及

6、解題關鍵 (1)常見類型：與函數(shù)有關的應用題，經常涉及物價、路程、產值、環(huán)保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題． (2)解題關鍵：解答這類問題的關鍵是確切地建立相關函數(shù)解析式，然后應用函數(shù)、方程、不等式和導數(shù)的有關知識加以綜合解答． (1)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元．在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(　　) (參考數(shù)據：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A．2018年　　　　　　　 B．201

7、9年 C．2020年 D．2021年 【答案】B　 【解析】設經過x年后該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，則130(1＋12%)x>200，即1.12x>?x>＝≈＝3.8，所以該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2019年． (2)(2019·湖北武漢市高三模擬)某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x千件該產品需另投入的成本為G(x)(單位：萬元)，當年產量不足80千件時，G(x)＝x2＋10x；當年產量不小于80千件時，G(x)＝51x＋－1 450.已知每件產品的售價為0.05萬元．通過市場分析，該工廠生產的產品能全部售完，則該工廠在這一產品

8、的生產中所獲年利潤的最大值是________萬元． 【答案】1 000 【解析】因為每件產品的售價為0.05萬元， 所以x千件產品的銷售額為0.05×1 000x＝50x萬元．①當0＜x＜80時，年利潤L(x)＝50x－x2－10x－250＝－x2＋40x－250＝－(x－60)2＋950， 所以當x＝60時，L(x)取得最大值，且最大值為L(60)＝950萬元； ②當x≥80時，L(x)＝50x－51x－＋1 450－250＝1 200－≤1 200－2＝1 200－200＝1 000，當且僅當x＝，即x＝100時，L(x)取得最大值1 000萬元．由于950＜1 000， 所以

9、當產量為100千件時，該工廠在這一產品的生產中所獲年利潤最大，最大年利潤為1 000萬元． 應用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序和解題關鍵 (1)一般程序： (2)解題關鍵：解答這類問題的關鍵是確切地建立相關函數(shù)解析式，然后應用函數(shù)、方程、不等式和導數(shù)的有關知識加以綜合解答．　 【對點訓練】 1．某電腦公司在甲、乙兩地各有一個分公司，甲分公司現(xiàn)有某型號電腦6臺，乙分公司現(xiàn)有同一型號的電腦12臺．現(xiàn)A地某單位向該公司購買該型號的電腦10臺，B地某單位向該公司購買該型號的電腦8臺．已知從甲地運往A、B兩地每臺電腦的運費分別是40元和30元，從乙地運往A、B兩地每臺電腦的運費分別是

10、80元和50元．若總運費不超過1 000元，則調運方案的種數(shù)為(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 【答案】C. 2．(2019·湖北七市(州)聯(lián)考)某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時間t(小時)的關系為P＝P0e－kt.如果在前5小時消除了10%的污染物，那么污染物減少19%需要花費的時間為________小時． 【答案】：10 【解析】：前5小時污染物消除了10%，此時污染物剩下90%，即t＝5時，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9，所以e－k＝＝0.9， 所以P＝P0e－kt＝P0(0.9)t.當

11、污染物減少19%時，污染物剩下81%，此時P＝0.81P0，代入得0.81＝(0.9)t，解得t＝10，即需要花費10小時． 函數(shù)的零點 判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法 (1)解方程法，即解方程f(x)＝0，方程不同的解的個數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點的個數(shù)； (2)圖象法，畫出函數(shù)f(x)的圖象，圖象與x軸的交點個數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點個數(shù)； (3)數(shù)形結合，即把函數(shù)的零點問題等價地轉化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，通過判斷交點的個數(shù)得出函數(shù)零點的個數(shù)； (4)利用零點存在性定理判斷． (1)(2019·焦作模擬)已知函數(shù)f(x)滿足：①定義域為R；②?x∈R，都有f(x＋2)＝

12、f(x)；③當x∈[－1，1]時，f(x)＝－|x|＋1.則方程f(x)＝log2|x|在區(qū)間[－3，5]內解的個數(shù)是(　　) A．5　　　　　　　　　　 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】 畫出y1＝f(x)，y2＝log2|x|的圖象如圖所示，由圖象可得所求解的個數(shù)為5. (2)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點，則a＝(　　) A．－ B． C. D．1 【答案】C 【解析】 (2)由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得 f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)

13、＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1為f(x)圖象的對稱軸． 由題意，f(x)有唯一零點，所以f(x)的零點只能為x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0， 解得a＝.故選C. 利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法 (1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解． (2)分離參數(shù)后轉化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解． (3)轉化為兩熟悉的函數(shù)圖象的位置關系問題，從而構建不等式求解．　 【對點訓練】 1．已知函數(shù)f(x)＝cosx，g(x)＝2－|x－2|，x∈[－2，6]，則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的所有零點之和為(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D. 【解析】函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點之和可轉化為f(x)＝g(x)的根之和，即轉化為y1＝f(x)和y2＝g(x)兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標之和．又由函數(shù)g(x)＝2－|x－2|與f(x)的圖象均關于x＝2對稱，可知函數(shù)h(x)的零點之和為12. 2．設函數(shù)f(x)＝的圖象過點(1，1)，函數(shù)g(x)是二次函數(shù)，若函數(shù)f(g(x))的值域是[0，＋∞)，則函數(shù)g(x)的值域是________． 7