2020版高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓18 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) 理（含解析）北師大版

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1、課后限時集訓(十八)　任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) (建議用時：60分鐘) A組　基礎達標 一、選擇題 1．下列命題中正確的是(　　) A．終邊在x軸負半軸上的角是零角 B．第二象限角一定是鈍角 C．第四象限角一定是負角 D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，則α與β終邊相同 D　[由角的概念可知D項正確．] 2．已知點P(cos α，tan α)在第三象限，則角α的終邊在(　　) A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[由題意可得則所以角α的終邊在第二象限，故選 B．] 3．將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉過程中形成的

2、角的弧度數(shù)是(　　) A. B． C．－ D．－ C　[將表的分針撥快應按順時針方向旋轉分針，故所形成的角為負角，故A、B項不正確．因為撥快10分鐘，所以轉過的角的大小應為圓周的，故所求角的弧度數(shù)為－×2π＝－.] 4．若角α＝2 rad(rad為弧度制單位)，則下列說法錯誤的是(　　) A．角α為第二象限角 B．α＝° C．sin α＞0 D．sin α＜cos α D　[對于A，∵＜α＜π，∴角α為第二象限角，故A項正確；對于B，α＝°＝2 rad，故B正確；對于C，sin α＞0，故C正確；對于D，sin α＞0，cos α＜0，故D錯誤．選 D．] 5．(2

3、019·石家莊模擬)若－＜α＜－，從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sin α，cos α，tan α的大小是(　　) A．sin α＜tan α＜cos α B．cos α＜sin α＜tan α C．sin α＜cos α＜tan α D．tan α＜sin α＜cos α C　[由－＜α＜－可知α位于第三象限，且tan α＞0，sin α＜0，cos α＜0. 由三角函數(shù)線可知， 當－＜α＜－有|sin α|＞|cos α|， ∴sin α＜cos α＜tan α.] 二、填空題 6．已知角α的頂點在原點，始邊與x軸非負半軸重合，點P(－4m,3m)(m＞0)是角α終邊上的一

4、點，則2sin α＋cos α＝________. 　[由題意可知|OP|＝＝5m. ∴sin α＝，cos α＝－. ∴2sin α＋cos α＝－＝.] 7．已知扇形的圓心角為，面積為，則扇形的弧長等于________． 　[設扇形半徑為r，弧長為l， 則 解得] 8．在(0,2π)內，使sin x＞cos x成立的x的取值范圍為________． 　[如圖所示，找出在(0,2π)內，使sin x＝cos x的x值，sin ＝cos ＝，sin ＝cos ＝－.根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律找出滿足題中條件的x∈.] 三、解答題 9．若角θ的終邊過點P(－4a,3a)(

5、a≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值； (2)試判斷cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號． [解]　(1)因為角θ的終邊過點P(－4a,3a)(a≠0)， 所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|， 當a＞0時，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－. 當a＜0時，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝. (2)當a＞0時，sin θ＝∈， cos θ＝－∈， 則cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin＜0； 當a＜0時，sin θ＝－∈， cos θ＝∈， 則cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos·sin ＞0.

6、 綜上，當a＞0時，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號為負；當a＜0時，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號為正． 10．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求角α的集合； (2)求終邊所在的象限； (3)試判斷tan sin cos 的符號． [解]　(1)因為sin α＜0且tan α＞0，所以α是第三象限角，故角α的集合為. (2)由(1)知2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z， 故kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z， 當k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋＜＜2nπ＋，n∈Z，即是第二象限角． 當k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋＜＜2nπ＋π，n∈Z，

7、 即是第四象限角， 綜上，的終邊在第二或第四象限． (3)當是第二象限角時， tan ＜0，sin ＞0，cos ＜0， 故tan sin cos ＞0， 當是第四象限角時， tan ＜0，sin ＜0，cos ＞0， 故tan sin cos ＞0， 綜上，tan sin cos 取正號． B組　能力提升 1．下列結論中錯誤的是(　　) A．若0＜α＜，則sin α＜tan α B．若α是第二象限角，則為第一象限角或第三象限角 C．若角α的終邊過點P(3k,4k)(k≠0)，則sin α＝ D．若扇形的周長為6，半徑為2，則其圓心角的大小為1弧度 C　[若0＜

8、α＜，則sin α＜tan α＝，故A正確； 若α是第二象限角，即α∈，k∈Z，則∈，為第一象限角或第三象限角，故B正確； 若角α的終邊過點P(3k,4k)(k≠0)，則sin α＝＝，不一定等于，故C不正確； 若扇形的周長為6，半徑為2，則弧長＝6－2×2＝2，其圓心角的大小為＝1弧度，故選C.] 2．(2019·廣州質檢)點P的坐標為(2,0)，射線OP順時針旋轉2 010°后與圓x2＋y2＝4相交于點Q，則點Q的坐標為(　　) A．(－，) B．(－，1) C．(－1，) D．(1，－) B　[由題意可知Q(2cos(－2 010°)，2sin(－2 010°))，

9、 因為－2 010°＝－360°×6＋150°， 所以cos(－2 010°)＝cos 150°＝－， sin(－2 010°)＝sin 150°＝. ∴Q(－，1)，故選B．] 3.《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出的計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為，半徑等于4 m的弧田，計算所得弧田面積約是________m2. 9　[法一：如圖，由題意得∠AOB＝，OA＝4， 在Rt△AOD中，可得∠AOD＝， ∠DAO＝

10、，OD＝OA＝2，于是矢＝4－2＝2.由AD＝AO·sin ＝4×＝2， 可得弦＝2AD＝4，所以弧田面積S＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9 m2. 法二：由已知，可得扇形的面積S1＝×42×＝，△AOB的面積S2＝×OA×OB×sin∠AOB＝×4×4×sin ＝4，故弧田面積S＝S1－S2＝－4.由π≈3，≈1.7，可得S≈9 m2.] 4.如圖，在平面直角坐標系xOy中，角α的始邊與x軸的非負半軸重合且與單位圓相交于A點，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B，始邊不動，終邊在運動． (1)若點B的橫坐標為－，求tan α的值； (2)若△AOB為等邊三角形，寫出與角α終邊相同的角β的集合； (3)若α∈，請寫出弓形AB的面積S與α的函數(shù)關系式． [解]　(1)由題意可得B， 根據(jù)三角函數(shù)的定義得tan α＝＝－. (2)若△AOB為等邊三角形，則∠AOB＝， 故與角α終邊相同的角β的集合為 . (3)若α∈， 則S扇形＝αr2＝α， 而S△AOB＝×1×1×sin α＝sin α， 故弓形AB的面積 S＝S扇形－S△AOB＝α－sin α，α∈. - 7 -