2020屆高考數(shù)學總復習 課時跟蹤練（五十六）專題探究課（五） 文（含解析）新人教A版

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1、課時跟蹤練(五十六) A組　基礎鞏固 1．設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N. (1)若直線MN的斜率為，求C的離心率； (2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. 解：(1)根據(jù)c＝及題設知M，＝，2b2＝3ac. 將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac， 解得＝，＝－2(舍去)． 故C的離心率為. (2)由題意，原點O為F1F2的中點，MF2∥y軸， 所以直線MF1與y軸的交點D(0，2)是線段MF1的中點， 故＝4，即b2＝4a.① 由|MN|＝5|

2、F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 設N(x1，y1)，由題意知y1＜0，則 即 代入C的方程，得＋＝1.② 將①及c＝代入②得＋＝1. 解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2. 2．(2019·鄭州模擬)已知動圓E經(jīng)過點F(1，0)，且和直線l：x＝－1相切． (1)求該動圓圓心E的軌跡G的方程； (2)已知點A(3，0)，若斜率為1的直線l′與線段OA相交(不經(jīng)過坐標原點O和點A)，且與曲線G交于B、C兩點，求△ABC面積的最大值． 解：(1)由題意可知點E到點F的距離等于點E到直線l的距離，所以動點E的軌跡是以F(1，0)為焦點，直線x＝－1為準線的拋物線，

3、 故軌跡G的方程是y2＝4x. (2)設直線l′的方程為y＝x＋m，其中－3

4、． 所以y＝f(t)在t＝，即m＝－時取得最大值． 所以△ABC面積的最大值為. 3．(2018·全國卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C：＋＝1交于A，B兩點，線段AB的中點為M(1，m)(m>0)． (1)證明：k<－. (2)設F為C的右焦點，P為C上一點，且＋＋＝0.證明：2||＝||＋||. 證明：(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＋＝1，＋＝1. 兩式相減，并由＝k得＋·k＝0. 由題設知＝1，＝m，于是k＝－. 由題設得0

5、y2)＝(0，0)． 由(1)及題設得x3＝3－(x1＋x2)＝1， y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0. 又點P在C上，所以m＝，從而P(1，－)，||＝. 于是||＝ ＝＝2－. 同理，||＝2－. 所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3. 故2||＝||＋||. 4．(2019·湖南五市十校聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個焦點與上、下頂點兩兩相連構成直角三角形，以橢圓C的長軸長為直徑的圓與直線x＋y－2＝0相切． (1)求橢圓C的標準方程； (2)設過橢圓右焦點且不重合于x軸的動直線與橢圓C相交于A、B兩點，探究在x軸上是否存在定點E，使得·為定值？若存在

6、，試求出定值和點E的坐標；若不存在，請說明理由． 解：(1)由題意知，解得 則橢圓C的標準方程為＋y2＝1. (2)當直線的斜率存在時，設直線方程為y＝k(x－1)(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)， 聯(lián)立直線方程與橢圓方程得消去y得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8>0， 所以xA＋xB＝，xAxB＝. 假設在x軸上存在定點E(x0，0)，使得·為定值． 則·＝(xA－x0，yA)·(xB－x0，yB)＝xAxB－x0(xA＋xB)＋x＋yAyB＝xAxB－x0(xA＋xB)＋x＋k2(xA－1)(xB－1) ＝(1＋k2)xAxB－(x

7、0＋k2)(xA＋xB)＋x＋k2 ＝. 因為·為定值，所以·的值與k無關， 所以2x－4x0＋1＝2(x－2)， 解得x0＝，此時·＝－為定值，定點為， 當直線的斜率不存在時，也滿足·＝－為定值，且定點為. 綜上，存在點E，使得·為定值，且定值為－. 5．(2019·石家莊質(zhì)檢)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A，B，且長軸長為8，T為橢圓上一點，直線TA，TB的斜率之積為－. (1)求橢圓C的方程； (2)設O為原點，過點M(0，2)的動直線與橢圓C交于P，Q兩點，求·＋·的取值范圍． 解：(1)設T(x，y)，則直線TA的斜率為k1＝， 直線TB的

8、斜率為k2＝. 于是由k1k2＝－，得·＝－， 整理得＋＝1. (2)當直線PQ的斜率存在時，設直線PQ的方程為y＝kx＋2，點P，Q的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立直線PQ的方程與橢圓方程得消去y得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－. 從而，·＋·＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)·(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＝－20＋. 所以－20＜·＋·≤－. 當直線PQ斜率不存在時， 易得P，Q兩點的坐標為(0，2)，(0，－2)， 所以·＋·的值為－20. 綜上所述，·＋·的取

9、值范圍為. 6．(2019·陜西質(zhì)檢)已知F1，F(xiàn)2為橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，點P在橢圓上，且|PF1|＋|PF2|＝4. (1)求橢圓E的方程； (2)過F1的直線l1，l2分別交橢圓E于A，C和B，D，且l1⊥l2，問是否存在常數(shù)λ，使得，λ，成等差數(shù)列？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由． 解：(1)因為|PF1|＋|PF2|＝4，所以2a＝4，a＝2. 所以橢圓E的方程為＋＝1. 將P代入可得b2＝3， 所以橢圓E的方程為＋＝1. (2)存在．①當AC的斜率為零或斜率不存在時，＋＝＋＝； ②當AC的斜率k存在且k≠0時， 設AC的方程為y＝k(x＋1)， 代入橢圓方程＋＝1，并化簡得 (3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0. 設A(x1，y1)，C(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1·x2＝， |AC|＝|x1－x2| ＝＝. 同理，因為直線BD的斜率為－， 所以|BD|＝＝. 所以＋＝＋＝. 綜上，2λ＝＋＝， 所以λ＝. 所以存在常數(shù)λ＝，使得，λ，成等差數(shù)列． 6