2020屆高考數學大二輪復習 沖刺創(chuàng)新專題 題型1 選填題 練熟練穩(wěn) 少丟分 第4講 不等式、線性規(guī)劃練習 文

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1、第4講　不等式、線性規(guī)劃 [考情分析]　不等式的性質、求解、證明及應用是每年高考必考的內容，對不等式的考查一般以選擇題、填空題為主．(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題．(2)不等式的相關知識可以滲透到高考的各個知識領域，往往作為解題工具與數列、函數、向量相結合，在知識的交匯處命題，難度中檔，在解答題中，特別是在解析幾何中利用不等式求最值、范圍或在解決導數問題時利用不等式進行求解，難度偏高． 熱點題型分析 熱點1　不等式的性質及解法 1.利用不等式的性質比較大小要注意特殊值法的應用． 2.一元二次不等式的解法 先化為一般形式ax2＋bx＋c＞0(a≠0

2、)，再求相應一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據相應二次函數圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集． 3.簡單分式不等式的解法 (1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)? 1.已知a>b>0，給出下列四個不等式： ①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b. 其中一定成立的不等式為(　　) A.①②③ B．①②④ C.①③④ D．②③④ 答案　A 解析　解法一：由a>b>0可得a2>b2，所以①成立； 由a>b>0可得a>b－1，而函數f(x)＝2x在R上是增函數， ∴f(a)>f(b－1

3、)，即2a>2b－1，所以②成立； ∵a>b>0，∴>， ∴()2－(－)2＝2－2b＝2(－)>0， ∴>－，所以③成立； 若a＝3，b＝2，則a3＋b3＝35,2a2b＝36， 有a3＋b3<2a2b，所以④不成立．故選A. 解法二：令a＝3，b＝2， 可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③>－均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故選A. 2.函數f(x)＝的定義域為(　　) A.[0,3] B.(0,3) C.(－∞，0]∪[3，＋∞) D.(－∞，0)∪(3，＋∞) 答案　A 解析　要使函數f(x)＝有意義，則3x－x2≥0，即x2－3x≤0?x(x

4、－3)≤0，解得0≤x≤3，故選A. 3.不等式≤1的解集為(　　) A.{x|x<1或x≥3} B．{x|1≤x≤3} C.{x|1

5、為負，由3x－x2≥0得出選項C. 3.解不等式時同解變形出錯，第3題易出現的問題有兩個方面：一是錯用不等式的性質直接把不等式化為2x－4≤x－1求解；二是同解變形過程中忽視分母不為零的限制條件，導致增解. 熱點2　基本不等式及其應用 1.利用基本不等式求最大值、最小值的基本法則 (1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2.(簡記：積定和最小) (2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，當x＝y(tǒng)時，xy有最大值s2.(簡記：和定積最大) 2.利用基本不等式解決條件最值問題的關鍵是構造和為定值或乘積為定值，主要有兩種思路： (1)通過變形直接利

6、用基本不等式解決． (2)對條件變形，根據已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結合點”，通過“1”的代換、添項、分離常數等手段使之能運用基本不等式．常見的轉化方法有： ①若＋＝1，則mx＋ny＝(mx＋ny)·1＝(mx＋ny)·≥ma＋nb＋2(字母均為正數)； ②x＋＝x－a＋＋a≥a＋2(x>a，b>0)． 1.下列結論正確的是(　　) A.當x>0且x≠1，lg x＋≥2 B.<1(x∈R) C.當x>0時，＋≥2 D.當0

7、C，當x>0時，＋≥2＝2，當且僅當x＝1時等號成立；對于D，當0－1，則函數y＝的最小值為________． 答案　9 解析　∵x>－1，∴x＋1>0，∴y＝＝＝＝x＋1＋＋5≥2＋5＝9，當且僅當x＋1＝，即x＝1時取“＝”(由于x>－1，故x＝－3舍去)，∴y

8、＝的最小值為9. 4.(2018·江蘇高考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________． 答案　9 解析　由題意可知，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，由角平分線性質和三角形面積公式得acsin120°＝a×1×sin60°＋c×1×sin60°，化簡得ac＝a＋c，＋＝1，因此4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當c＝2a＝3時取等號，則4a＋c的最小值為9. 1.利用均值不等式求解最值時，要注意三個條件，即“一正——各項都是正數；二定——和或積為定值；三等

9、——能取到使等號成立的值”，這三個條件缺一不可． 2.第2題易出錯的地方是：不會“湊”，不能根據函數解析式的特征適當變形湊出兩式之和為定值；第3題是分子展開后不能變形湊出兩式之積為定值．第4題利用“1”的代換或配湊使和為定值或積為定值時，代數式的變形要注意保持等價. 熱點3　簡單的線性規(guī)劃問題 1.解決線性規(guī)劃問題的一般步驟 (1)畫出可行域；(2)根據線性目標函數的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點；(3)求出目標函數的最大值和最小值． 2.常見代數式的幾何意義 (1)z＝Ax＋By表示與直線y＝－x＋在y軸上的截距成比例的數； (2)z＝(x－a)2＋(y－b)2區(qū)域內動點(x

10、，y)與定點(a，b)的距離的平方； (3)z＝表示區(qū)域內動點(x，y)與定點(a，b)連線的斜率． 3.求解線性規(guī)劃中含參問題的基本方法 (1)首先把不含參數的平面區(qū)域確定好； (2)把參數當成常數用，根據線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標函數確定最值，通過構造方程或不等式求解參數的值或取值范圍． 4.解線性規(guī)劃應用問題的一般步驟 (1)分析題意，設出未知量； (2)列出線性約束條件和目標函數； (3)作出可行域并利用數形結合求解； (4)作答． 題型1　已知約束條件，求目標函數的最值 1.(2019·全國卷Ⅱ)若變量x，y滿足約束條件則z＝3x－y的最大值

11、是________． 答案　9 解析　作出已知約束條件對應的可行域(圖中陰影部分)，由圖易知，當直線y＝3x－z過點C時，－z最小，即z最大． 由解得 即C點坐標為(3,0)，故zmax＝3×3－0＝9. 2.(2019·晉城一模)若x，y滿足約束條件 則z＝x2＋y2－4x－6y＋13的最小值為________． 答案　 解析　畫出不等式組表示的可行域(如圖陰影部分所示)， 由于z＝x2＋y2－4x－6y＋13＝(x－2)2＋(y－3)2，故z表示可行域內的點A(x，y)與定點P(2,3)間距離的平方，即z＝|PA|2. 由圖形可得|PA|的最小值即為點P(2，3

12、)到直線x＋y－4＝0的距離d＝＝， 所以zmin＝d2＝. 第1、2題易錯在不能準確把握目標函數z的幾何意義而不知如何變形. 題型2　已知目標函數的最值求參數 1.(2019·華南師大附中一模)已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝(　　) A. B. C．1 D．2 答案　A 解析　由約束條件畫出可行域(如圖所示三角形及其內部)．由得B(1，－2a)．當直線2x＋y－z＝0過點B時，z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×1－2a，解得a＝，故選A. 2.已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝(　　) A.3 B．

13、2 C．－2 D．－3 答案　B 解析　不等式組在直角坐標系中所表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示， 若z＝ax＋y的最大值為4， 則y＝－ax＋z截距的最大值為4. ①若a<0，則不滿足條件； ②若a>0，當－a<－1，即a>1時，x＝2，y＝0是最優(yōu)解，此時a＝2；當－a>－1，即01(舍)．故選B. 第1題易在分析動直線的位置時出錯，忽略直線y＝a(x－3)恒過定點(3,0)而不好確定可行域；第2題需明確目標函數中z與直線y＝－ax＋z截距最值相同，易忽視關于a的正負討論而漏解或錯解. 題型3　線性規(guī)劃的實際應

14、用 (2019·黃岡聯考)一個小型加工廠用一臺機器生產甲、乙兩種桶裝飲料，生產一桶甲飲料需要白糖4千克，果汁18千克，用時3小時；生產一桶乙飲料需要白糖1千克，果汁15千克，用時1小時．現庫存白糖10千克，果汁66千克，生產一桶甲飲料利潤為200元，生產一桶乙飲料利潤為100元，在使用該機器用時不超過9小時的條件下，生產甲、乙兩種飲料利潤之和的最大值為________. 答案　600 解析　設生產甲、乙兩種飲料分別為x桶、y桶，利潤為z元， 則得即 目標函數z＝200x＋100y. 作出可行域(如圖陰影部分所示)．當直線z＝200x＋100y經過可行域上點B時，z取得最大值．

15、 解方程組得點B的坐標(2,2)，故zmax＝200×2＋100×2＝600. 1.線性規(guī)劃的實質是把代數問題幾何化，即數形結合的思想．需要注意的是：一、準確無誤地作出可行域；二、畫目標函數所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三、一般情況下，目標函數的最大或最小會在可行域的端點或邊界上取得． 2.在解決線性規(guī)劃的應用問題時要注意結合實際問題的實際意義，判斷所設未知數x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否是整數、是否是非負數等. 真題自檢感悟 1.(2019·全國卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則(　　) A.a

16、 B．a1,0c>a.故選B. 2.(2017·全國卷Ⅱ)設x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值是(　　) A.－15 B．－9 C．1 D．9 答案　A 解析　不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示． 將目標函數z＝2x＋y化為y＝－2x＋z，作出直線y＝－2x，并平移該直線，知當直線y＝－2x＋z經過點A(－6，－3)時，z有最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15.故選A. 3.(2017·天津高考)已知函數f(x)＝設a

17、∈R，若關于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，則a的取值范圍是(　　) A. B. C.[－2，2] D. 答案　A 解析　關于x的不等式f(x)≥在R上恒成立等價于－f(x)≤a＋≤f(x)， 即－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立， 令g(x)＝－f(x)－. 當x≤1時，g(x)＝－(x2－x＋3)－＝－x2＋－3 ＝－2－， 當x＝時，g(x)max＝－； 當x＞1時，g(x)＝－－＝－≤－2， 當且僅當＝，且x＞1，即x＝時，“＝”成立， 故g(x)max＝－2. 綜上，g(x)max＝－. 令h(x)＝f(x)－， 當x≤1時，h(x)＝x

18、2－x＋3－＝x2－＋3 ＝2＋， 當x＝時，h(x)min＝； 當x＞1時，h(x)＝x＋－＝＋≥2， 當且僅當＝，且x＞1，即x＝2時，“＝”成立， 故h(x)min＝2. 綜上，h(x)min＝2. 故a的取值范圍為.故選A. 4.(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為________． 答案　 解析　由a－3b＋6＝0可知a－3b＝－6，且2a＋＝2a＋2－3b， 因為對于任意x,2x>0恒成立， 結合均值不等式的結論可得， 2a＋2－3b≥2＝2＝. 當且僅當即時等號成立． 綜上可得2a＋的最小值為. 專題作業(yè)

19、 一、選擇題 1.(2019·北京高考)若x，y滿足|x|≤1－y，且y≥－1，則3x＋y的最大值為(　　) A.－7 B．1 C．5 D．7 答案　C 解析　由|x|≤1－y，且y≥－1，得作出可行域如圖陰影部分所示．設z＝3x＋y，則y＝－3x＋z.作直線l0：y＝－3x，并進行平移．顯然當l0過點A(2，－1)時，z取最大值，zmax＝3×2－1＝5.故選C. 2.不等式≤0的解集為(　　) A. B. C.∪[1，＋∞) D.∪[1，＋∞) 答案　A 解析　≤0? 解得即－

20、列不等式成立的是(　　) A.a＋＜＜log2(a＋b) B.＜log2(a＋b)＜a＋ C.a＋＜log2(a＋b)＜ D.log2(a＋b)＜a＋＜ 答案　B 解析　∵a＞b＞0，ab＝1， ∴l(xiāng)og2(a＋b)＞log2(2)＝1. ∵a>b>0且ab＝1，∴a2>ab>b2，則a>1,02，∴0<<，則<. ∵a＋＝a＋a＝2a>a＋b>log2(a＋b)， ∴

21、選B. 4.(2019·北京師范大學附中模擬)已知a>0，b>0，并且，，成等差數列，則a＋9b的最小值為(　　) A.16 B．9 C．5 D．4 答案　A 解析　∵，，成等差數列，∴＋＝1. ∴a＋9b＝(a＋9b)＝10＋＋≥10＋2＝16，當且僅當＝且＋＝1，即a＝4，b＝時等號成立．∴a＋9b的最小值為16，故選A. 5.已知函數f(x)＝x＋＋2的值域為(－∞，0)∪(4，＋∞)，則a的值是(　　) A. B. C．1 D．2 答案　C 解析　由題意可得a>0，①當x>0時，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，當且僅當x＝時取等號；②當x<0時，f(x)＝x＋＋

22、2≤－2＋2，當且僅當x＝－時取等號，所以解得a＝1，故選C. 6.(2018·天津高考)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，則a，b，c的大小關系為(　　) A.a>b>c B．b>a>c C.c>b>a D．c>a>b 答案　D 解析　由題意結合對數函數的性質可知， a＝log2e>1，b＝ln 2＝∈(0,1)，c＝log＝log23>log2e，據此可得，c>a>b.故選D. 7.已知x，y>0且x＋4y＝1，則＋的最小值為(　　) A.8 B．9 C．10 D．11 答案　B 解析　∵x，y>0且x＋4y＝1，∴＋＝(x＋4y)＝5＋4·＋≥5＋2＝5

23、＋4＝9， 當且僅當4·＝即或(舍去)時等號成立．故選B. 8.(2019·華大新高考聯盟模擬)若實數x，y滿足不等式組則x2＋y2的取值范圍是(　　) A. B．[0,2] C. D．[0，] 答案　B 解析　畫出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)， x2＋y2的幾何意義是陰影內的點到原點的距離的平方，顯然O點為最小值點，而A(1,1)為最大值點，故x2＋y2的取值范圍是[0,2]．故選B. 9.若x，y滿足約束條件則的最大值為(　　) A.1 B．－1 C．3 D．0 答案　C 解析　作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，是可行域內一點與原點連線的

24、斜率，由圖可知，點A(1,3)與原點連線的斜率最大，故的最大值為3.故選C. 10.若直線l：kx－y＋1＝0上不存在滿足不等式組的點(x，y)，則實數k的取值范圍為(　　) A.(－∞，0]∪ B. C.(－∞，0)∪ D. 答案　D 解析　實數x，y滿足對應的可行域如圖中陰影部分： 直線l：kx－y＋1＝0可化為y＝kx＋1，故直線l過定點C(0,1)，由圖可知，當直線l過的交點A(1,1)時，k＝0；當直線l過的交點B時，k＝. 由此可知當0

25、為(　　) A.16 B．9 C．6 D．1 答案　C 解析　∵正數a，b滿足：＋＝1，∴a>1且b>1.＋＝1可變形為＝1，∴ab＝a＋b，∴ab－a－b＝0，∴(a－1)(b－1)＝1，∴a－1＝，∵a－1>0， ∴＋＝＋9(a－1)≥2＝6，當且僅當＝9(a－1)，即a＝時取“＝”，∴＋的最小值為6.故選C. 12.(2019·太原模擬)已知正數a，b滿足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m對任意實數x恒成立，則實數m的取值范圍是(　　) A.[3，＋∞) B．(－∞，3] C.(－∞，6] D．[6，＋∞) 答案　D 解析　∵a>0，b>0，且＋＝1，

26、 ∴a＋b＝(a＋b)＝10＋＋ ≥10＋2＝16， 當且僅當＝，即a＝4，b＝12時等號成立，所以(a＋b)min＝16. 若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m對任意實數x恒成立，則－x2＋4x＋18－m≤16，即m≥－x2＋4x＋2對任意實數x恒成立， ∵－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6≤6，∴m≥6. ∴實數m的取值范圍是[6，＋∞)．故選D. 二、填空題 13.已知實數x，y滿足如果目標函數z＝x－y的最小值為－1，則實數m等于________． 答案　5 解析　繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示(含邊界)， 聯立直線方程可得交點坐標為A，由目標

27、函數的幾何意義可知目標函數在點A處取得最小值，所以－＝－1，解得m＝5. 14.(2017·江蘇高考)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________． 答案　30 解析　一年的總運費為6×＝(萬元)． 一年的總存儲費用為4x萬元． 總運費與總存儲費用的和為萬元． 因為＋4x≥2 ＝240， 當且僅當＝4x，即x＝30時取得等號， 所以當x＝30時，一年的總運費與總存儲費用之和最小. 15.(2019·衡水中學檢測)設滿足的實數x，y所在的平面區(qū)域為Ω，則Ω的外接圓方程

28、是______________． 答案　(x－1)2＋(y－3)2＝10 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域Ω，如圖陰影部分所示．則區(qū)域Ω是四邊形ABCO(含內部及邊界)．易知BC⊥AB，則外接圓的圓心為AC的中點，又A(0,6)，C(2,0)，則該四邊形外接圓的圓心為(1,3)，半徑r＝|AC|＝.故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－3)2＝10. 16．若實數x，y滿足x2＋y2≤1，則|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________． 答案　3 解析　x2＋y2≤1表示圓x2＋y2＝1及其內部，易得直線6－x－3y＝0與圓相離，故|6－x－3y|＝6－x－3y，當2x＋y－2≥0時，|2x＋y－2|＋|6－x－3y|＝x－2y＋4，如下圖所示，可行域為小的弓形內部，目標函數z＝x－2y＋4，則可知當x＝，y＝時，zmin＝3，當2x＋y－2≤0時，|2x＋y－2|＋|6－x－3y|＝8－3x－4y，可行域為大的弓形內部，目標函數z＝8－3x－4y，同理可知當x＝，y＝時，zmin＝3，綜上所述，(|2x＋y－2|＋|6－x－3y|)min＝3. - 18 -