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1、1（2014山東）如圖，四棱錐PABCD中，AP平面PCD，ADBC，AB=BC=AD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PC的中點(diǎn)（）求證：AP平面BEF；（）求證：BE平面PAC解答：證明：（）連接CE，則ADBC，BC=AD，E為線段AD的中點(diǎn)，四邊形ABCE是平行四邊形，BCDE是平行四邊形，設(shè)ACBE=O，連接OF，則O是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段PC的中點(diǎn)，PAOF，PA平面BEF，OF平面BEF，AP平面BEF；（）BCDE是平行四邊形，BECD，AP平面PCD，CD平面PCD，APCD，BEAP，AB=BC，四邊形ABCE是平行四邊形，四邊形ABCE是菱形，BEAC，APAC=A，BE平面PAC
2、3（2014湖北）在四棱錐PABCD中，側(cè)面PCD底面ABCD，PDCD，E為PC中點(diǎn)，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC=90，AB=AD=PD=1，CD=2（）求證：BE平面PAD；（）求證：BC平面PBD；（）設(shè)Q為側(cè)棱PC上一點(diǎn)，試確定的值，使得二面角QBDP為45解答：解：（）取PD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，E為PC中點(diǎn)，EFCD，且，在梯形ABCD中，ABCD，AB=1，EFAB，EF=AB，四邊形ABEF為平行四邊形，BEAF，BE平面PAD，AF平面PAD，BE平面PAD（4分）（）平面PCD底面ABCD，PDCD，PD平面ABCD，PDAD（5分）如圖，以D為原點(diǎn)建立空
3、間直角坐標(biāo)系Dxyz則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）（6分），BCDB，（8分）又由PD平面ABCD，可得PDBC，BC平面PBD（9分）（）由（）知，平面PBD的法向量為，（10分），且（0，1）Q（0，2，1），（11分）設(shè)平面QBD的法向量為=（a，b，c），由，得，（12分），（13分）因（0，1），解得（14分）4（2014江蘇）如圖，在三棱錐PABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，已知PAAC，PA=6，BC=8，DF=5求證：（1）直線PA平面DEF；（2）平面BDE平面ABC解答：證明：（1）D、E為PC、AC的中點(diǎn)，DEP
4、A，又PA平面DEF，DE平面DEF，PA平面DEF；（2）D、E為PC、AC的中點(diǎn)，DE=PA=3；又E、F為AC、AB的中點(diǎn)，EF=BC=4；DE2+EF2=DF2，DEF=90，DEEF；DEPA，PAAC，DEAC；ACEF=E，DE平面ABC；DE平面BDE，平面BDE平面ABC13（2012江蘇）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)（點(diǎn)D 不同于點(diǎn)C），且ADDE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)求證：（1）平面ADE平面BCC1B1；（2）直線A1F平面ADE解答：解：（1）三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC，AD平面AB
5、C，ADCC1又ADDE，DE、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線AD平面BCC1B1，AD平面ADE平面ADE平面BCC1B1；（2）A1B1C1中，A1B1=A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)A1FB1C1，CC1平面A1B1C1，A1F平面A1B1C1，A1FCC1又B1C1、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線A1F平面BCC1B1又AD平面BCC1B1，A1FADA1F平面ADE，AD平面ADE，直線A1F平面ADE16（2010深圳模擬）如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點(diǎn)（1）求證：EF平面SAD（2）設(shè)SD=2CD，求二面角AEFD的大小解答：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz設(shè)A（a，0，0），S（0，0，b），則B（a，a，0），C（0，a，0），取SD的中點(diǎn)，則平面SAD，EF平面SAD，所以EF平面SAD（2）不妨設(shè)A（1，0，0），則B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），EF中點(diǎn)，又，所以向量和的夾角等于二面角AEFD的平面角所以二面角AEFD的大小為52010-2014 菁優(yōu)網(wǎng)
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