2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 章末小結(jié) 知識整合與階段檢測（含解析）蘇教版選修2-1

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1、第2章 圓錐曲線與方程 [對應(yīng)學(xué)生用書P46] 一、圓錐曲線的意義 1．橢圓 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓． (1)焦點：兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點． (2)焦距：兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距． 2．雙曲線 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點的軌跡叫做雙曲線． (1)焦點：兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點． (2)焦距：兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距． 3．拋物線 平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定

2、直線l叫做拋物線的準線． 二、圓錐曲線的標(biāo)準方程及幾何性質(zhì) 1．橢圓的標(biāo)準方程和幾何性質(zhì) 焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上 圖形 標(biāo)準方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范圍 －a≤x≤a，－b≤y≤b －a≤y≤a，－b≤x≤b 頂點 (±a,0)，(0，±b) (0，±a)，(±b,0) 軸長 短軸長＝2b，長軸長＝2a 焦點 (±c,0) (0，±c) 焦距 F1F2＝2c 對稱性 對稱軸x軸，y軸，對稱中心(0,0) 離心率 0

3、焦點在y軸上 標(biāo)準方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 圖形 焦點 (±c,0) (0，±c) 焦距 2c 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 頂點 (±a,0) (0，±a) 對稱性 關(guān)于x軸、y軸、坐標(biāo)原點對稱 軸長 實軸長＝2a，虛軸長＝2b 漸近線方程 y＝±x y＝±x 離心率 e＝>1 3. 拋物線的標(biāo)準方程和幾何性質(zhì) 類型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 圖形 焦點

4、 準線 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 對稱軸 x軸 y軸 頂點 (0,0) 離心率 e＝1 開口方向 向右 向左 向上 向下 　　 三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義 (1)定義：平面內(nèi)到一個定點F和到一條定直線l(F不在l上)的距離比等于常數(shù)e的點的軌跡． 當(dāng)01時，表示雙曲線；當(dāng)e＝1時，表示拋物線． 其中e是圓錐曲線的離心率，定點F是圓錐曲線的焦點，定直線l是圓錐曲線的準線． (2)對于中心在原點，焦點在x軸上的橢圓或雙曲線，與焦點F1(－c,0)，

5、F2(c,0)對應(yīng)的準線方程分別為x＝－，x＝. 四、曲線與方程 1．定義 如果曲線C上點的坐標(biāo)(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)為坐標(biāo)的點都在曲線C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x，y)＝0的曲線． 2．求曲線的方程的方法 (1)直接法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)動點為(x，y)，根據(jù)幾何條件直接尋求x、y之間的關(guān)系式． (2)代入法：利用所求曲線上的動點與某一已知曲線上的動點的關(guān)系，把所求動點轉(zhuǎn)換為已知動點．具體地說，就是用所求動點的坐標(biāo)x、y來表示已知動點的坐標(biāo)并代入已知動點滿足的曲線的方程，由此即可求

6、得所求動點坐標(biāo)x、y之間的關(guān)系式． (3)定義法：如果所給幾何條件正好符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義，則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動點的軌跡方程． (4)參數(shù)法：選擇一個(或幾個)與動點變化密切相關(guān)的量作為參數(shù)，用參數(shù)表示動點的坐標(biāo)(x，y)，即得動點軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)，可得動點軌跡的普通方程． 　 (時間120分鐘，滿分160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．將答案填在題中的橫線上) 1．(江蘇高考)雙曲線－＝1的兩條漸近線的方程為________． 解析：令－＝0，解得y＝±x. 答案：y＝±x 2．拋物線y2＝4x的焦點到雙

7、曲線x2－＝1的漸近線的距離是________． 解析：因為拋物線的焦點坐標(biāo)為(1,0)，而雙曲線的漸近線方程為y＝±x，所以所求距離為＝. 答案： 3．方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則a的取值范圍是________． 解析：由題意得 解之得a<，且a≠0， 即a的取值范圍是(－∞，0)∪. 答案： 4．(遼寧高考)已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點，P，Q為C上的點．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________． 解析：由題意因為PQ過雙曲線的右焦點(5,0)，所以P，Q都在雙曲線的右支上，則有FP－PA＝6，F(xiàn)Q－QA＝6，

8、兩式相加，利用雙曲線的定義得FP＋FQ＝28，所以△PQF的周長為FP＋FQ＋PQ＝44. 答案：44 5．設(shè)點P是雙曲線－＝1(a>0，b>0)與圓x2＋y2＝2a2的一個交點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，且PF1＝3PF2，則雙曲線的離心率為________． 解析：由得PF1＝3a，PF2＝a， 設(shè)∠F1OP＝α，則∠POF2＝180°－α， 在△PF1O中， PF＝OF＋OP2－2OF1·OP·cos α?、?， 在△OPF2中， PF＝OF＋OP2－2OF2·OP·cos(180°－α)?、?， 由cos(180°－α)＝－cos α與OP＝a， ①＋②得c2

9、＝3a2，∴e＝＝＝. 答案： 6．已知動圓P與定圓C：(x＋2)2＋y2＝1相外切，又與定直線l：x＝1相切，那么動圓的圓心P的軌跡方程是________． 解析：設(shè)P(x，y)，動圓P在直線x＝1的左側(cè)，其半徑等于1－x，則PC＝1－x＋1，即＝2－x. ∴y2＝－8x. 答案：y2＝－8x 7．已知雙曲C1＝－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸進線的距離為2，則拋物線C2的方程為________________________． 解析：∵雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的率心率為2.∴＝＝2，∴b＝a.∴雙曲線

10、的漸近線方程為 x±y＝0.∴拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線的漸近線的距離為＝2. ∴p＝8.∴所求的拋物線方程為x2＝16y. 答案：x2＝16y 8．過拋物線x2＝8y的焦點F作直線交拋物線于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點，若y1＋y2＝8，則P1P2的值為________． 解析：由題意知p＝4，由拋物線的定義得P1P2＝P1F＋P2F＝＋＝(y1＋y2)＋p＝8＋4＝12. 答案：12 9．橢圓＋＝1的右焦點到直線y＝x的距離是________． 解析：∵橢圓＋＝1的右焦點為(1,0)， ∴右焦點到直線x－3y＝0的距離d＝＝. 答案：

11、 10．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，則C的離心率為________． 解析：在△ABF中，AF2＝AB2＋BF2－2AB·BF·cos∠ABF＝102＋82－2×10×8×＝36，則AF＝6.由AB2＝AF2＋BF2可知，△ABF是直角三角形，OF為斜邊AB的中線，c＝OF＝＝5.設(shè)橢圓的另一焦點為F1，因為點O平分AB，且平分FF1，所以四邊形AFBF1為平行四邊形，所以BF＝AF1＝8.由橢圓的性質(zhì)可知AF＋AF1＝14＝2a?a＝7，則e＝＝. 答案： 11．(新課標(biāo)全國卷

12、Ⅰ改編)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A，B兩點．若AB的中點坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為________． 解析：因為直線AB過點F(3,0)和點(1，－1)，所以直線AB的方程為y＝(x－3)，代入橢圓方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0， 所以AB的中點的橫坐標(biāo)為＝1，即a2＝2b2， 又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3.所以E的方程為＋＝1. 答案：＋＝1 12．拋物線y2＝12x截直線y＝2x＋1所得弦長等于__________________________． 解析：令直線與拋物線交于點A(x1，y1)，B

13、(x2，y2) 由得4x2－8x＋1＝0， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝， ∴AB＝ ＝＝. 答案： 13．以橢圓的焦距為直徑并過兩焦點的圓，交橢圓于四個不同的點，順次連結(jié)這四個點和兩個焦點恰好組成一個正六邊形，那么這個橢圓的離心率為________． 解析：如圖，設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)，焦半徑為c. 由題意知∠F1AF2＝90°， ∠AF2F1＝60°.∴AF2＝c， AF1＝2c·sin 60°＝c. ∴AF1＋AF2＝2a＝(＋1)c. ∴e＝＝＝－1. 答案：－1 14．給出如下四個命題：①方程x2＋y2－2x＋1＝0表示的圖形是圓；②橢圓＋＝1

14、的離心率e＝；③拋物線x＝2y2的準線的方程是x＝－；④雙曲線－＝－1的漸近線方程是y＝±x. 其中所有不正確命題的序號是________． 解析：①表示的圖形是一個點(1,0)；②e＝； ④漸近線的方程為y＝±x. 答案：①②④ 二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)求與橢圓＋＝1有共同焦點，且過點(0,2)的雙曲線方程，并且求出這條雙曲線的實軸長、焦距、離心率以及漸近線方程． 解：橢圓＋＝1的焦點是(0，－5)，(0,5)，焦點在y軸上， 于是設(shè)雙曲線方程是－＝1(a>0，b>0)， 又雙曲線過點

15、(0,2)，∴c＝5，a＝2， ∴b2＝c2－a2＝25－4＝21， ∴雙曲線的標(biāo)準方程是－＝1，實軸長為4， 焦距為10，離心率e＝＝， 漸近線方程是y＝±x. 16．(本小題滿分14分)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點F的直線l與C相交于A，B兩點，若|AB|＝8，求直線l的方程． 解：拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，當(dāng)直線l斜率不存在時，|AB|＝4，不合題意．設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，代入y2＝4x，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知k≠0， 則x1＋x2＝. 由拋物線定義知， |AB|

16、＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2， ∴x1＋x2＋2＝8，即＋2＝8. 解得k＝±1. 所以直線l的方程為y＝±(x－1)， 即x－y－1＝0，x＋y－1＝0. 17．(本小題滿分14分) 如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2＝60°. (1)求橢圓C的離心率； (2)已知△AF1B的面積為40，求a，b的值． 解：(1)由題意可知，△AF1F2為等邊三角形，a＝2c，所以e＝. (2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2， 直線AB的方程為y＝－(x－c)．

17、 代入橢圓方程3x2＋4y2＝12c2，得B. 所以|AB|＝·|c－0|＝c. 由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin ∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5. 法二：設(shè)AB＝t.因為|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由橢圓定義BF1＋BF2＝2a可知，BF1＝3a－t. 由余弦定理得(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得， t＝a. 由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知， a＝10，b＝5. 18．(浙江高考)(本小題滿分16分)如圖，點P(0，－1)是橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的一個頂點，C1的長軸是圓C2：x2＋y2＝4

18、的直徑．l1，l2是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點，l2交橢圓C1于另一點D. (1)求橢圓C1的方程； (2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程． 解：(1)由題意得 所以橢圓C1的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)． 由題意知直線l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k，則直線l1的方程為y＝kx－1. 又圓C2：x2＋y2＝4， 故點O到直線l1的距離d＝， 所以AB＝2＝2 . 又l2⊥l1，故直線l2的方程為x＋ky＋k＝0. 由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－，y0＝－1

19、. 所以PD＝. 設(shè)△ABD的面積為S，則S＝AB·PD＝， 所以S＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)k＝±時取等號． 所以所求直線l1的方程為y＝±x－1. 19．(陜西高考)(本小題滿分16分)已知動點M(x，y)到直線l：x＝4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍． (1)求動點M的軌跡C的方程； (2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A，B兩點，若A是PB的中點，求直線m的斜率． 解：(1)設(shè)M到直線l的距離為d，根據(jù)題意d＝2|MN|. 由此得|4－x|＝2， 化簡得＋＝1， 所以，動點M的軌跡方程為＋＝1. (2)法一：由題意，設(shè)直線m的方程為y＝kx＋3，

20、A(x1，y1)，B(x2，y2)． 將y＝kx＋3代入＋＝1中， 有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0， 其中Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)＞0， 故k2>. 由根與系數(shù)的關(guān)系得， x1＋x2＝－，① x1x2＝.② 又因為A是PB的中點，故x2＝2x1，③ 將③代入①，②，得 x1＝－，x＝， 可得2＝，且k2＞， 解得k＝－或k＝， 所以直線m的斜率為－或. 法二：由題意，設(shè)直線m的方程為y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵A是PB的中點， ∴x1＝，① y1＝.② 又＋＝1，③ ＋＝1，④

21、聯(lián)立①，②，③，④解得或 即點B的坐標(biāo)為(2,0)或(－2,0)， 所以直線m的斜率為－或. 20．(湖南高考)(本小題滿分16分)過拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點F作斜率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且k1＋k2＝2，l1與E相交于點A，B，l2與E相交于點C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N(M，N為圓心)的公共弦所在直線記為l. (1)若k1>0，k2>0，證明：· <2p2； (2)若點M到直線l的距離的最小值為，求拋物線E的方程． 解：(1)證明：由題意，拋物線E的焦點為F， 直線l1的方程為y＝k1x＋. 由得x2－2pk1x－p2＝0.

22、 設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則x1，x2是上述方程的兩個實數(shù)根． 從而x1＋x2＝2pk1， y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk＋p. 所以點M的坐標(biāo)為，＝(pk1，pk)． 同理可得點N的坐標(biāo)為，＝(pk2，pk)． 于是·＝p2(k1k2＋kk)． 因為k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2， 所以00，所以點M到直線l的距離 d＝＝ ＝. 故當(dāng)k1＝－時，d取最小值. 由題設(shè)，＝，解得p＝8. 故所求的拋物線E的方程為x2＝16y. 13