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1、第第2章度量空間與連續(xù)映射章度量空間與連續(xù)映射 2.1度量空間與連續(xù)映射度量空間與連續(xù)映射2.2 拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射2.3 鄰域與鄰域系鄰域與鄰域系2.4 導(dǎo)集，閉集，閉包導(dǎo)集，閉集，閉包2.5 內(nèi)部，邊界內(nèi)部，邊界2.6 基與子基基與子基2.7 拓?fù)淇臻g中的序列拓?fù)淇臻g中的序列2.1度量空間與連續(xù)映射度量空間與連續(xù)映射 首先回憶一下在數(shù)學(xué)分析中學(xué)習(xí)過(guò)的連續(xù)函數(shù)的定義函數(shù)f：RR稱為在點(diǎn)R處是連續(xù)的，如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)0，存在實(shí)數(shù)0，使得對(duì)于任何xR，當(dāng)|x-|時(shí),有|f(x)-f()|.為了驗(yàn)證一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處的連續(xù)性往往只要用到關(guān)于上述距離的最基本的性質(zhì)，而與實(shí)數(shù)的其它性質(zhì)
2、無(wú)關(guān)以下，我們從這一考察出發(fā)，抽象出度量和度量空間的概念.0 x0 x定義2.1.1設(shè) X 是一個(gè)集合，：XXR如果對(duì)于任何 x，y，zX，有(1)(正定性)(x,y)0 并且(x,y)0 當(dāng)且僅當(dāng) x=y；(2)(對(duì)稱性)(x,y)=(y,x)；(3)(三角不等式)(x,z)(x,y)+(y,z)；則稱是集合 X 的一個(gè)度量 如果是集合 X 的一個(gè)度量，稱(X，)是一個(gè)度量空間，或稱 X 是一個(gè)對(duì)于而言的度量空間此外，對(duì)于任意兩點(diǎn) x，yX，實(shí)數(shù)(x，y)稱為從點(diǎn) x 到點(diǎn) y 的距離著重理解：度量的本質(zhì)是什么？例2.1.1實(shí)數(shù)空間R對(duì)于實(shí)數(shù)集合 R，定義：RRR 如下：對(duì)于任意 x，yR，
3、令(x，y)=|x-y|是R的一個(gè)度量，偶對(duì)(R，)是一個(gè)度量空間度量稱為R的通常度量.例 2.1.2n維歐氏空間對(duì)于實(shí)數(shù)集合 R 的 n 重笛卡兒積RRR定義：R 如下：對(duì)于任意x=,y ，nR),(21nxxx),(21nyyynRnRnR12)(iiiyx令(x,y)=是的一個(gè)度量，因此偶對(duì)(，)是一個(gè)度量空間這個(gè)度量空間特別地稱為n維歐氏空間 nR例2.1.4離散的度量空間設(shè)(X，)是一個(gè)度量空間稱(X，)是離散的，或者稱是 X 的一個(gè)離散度量，如果對(duì)于每一個(gè) xX，存在一個(gè)實(shí)數(shù) 0 使得(x，y)對(duì)于任何 yX，xy，成立例如定義：XXR 使得對(duì)于任何 x，yX，有(x,y)=容易驗(yàn)
4、證是 X 的一個(gè)離散的度量，因此度量空間(X，)是離散的xyxyx,1,0 x定義2.1.2設(shè)(X，)是一個(gè)度量空間，xX對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)0，集合 yX|(x，y)記作B(x，)，或 ，稱為一個(gè)以x為中心以為半徑的球形鄰域,簡(jiǎn)稱為x的一個(gè)球形鄰域，有時(shí)也稱為x的一個(gè)鄰域)(xB此處的球形鄰域是球狀的嗎？定理定理2.1.12.1.1度量空間度量空間 (X(X，)的球形鄰域具有以的球形鄰域具有以下基本性質(zhì)：下基本性質(zhì)：(1)(1)每一點(diǎn)每一點(diǎn) xX,xX,至少有一個(gè)球形鄰域，并且至少有一個(gè)球形鄰域，并且點(diǎn)點(diǎn) x x 屬于它的每一個(gè)球形鄰域；屬于它的每一個(gè)球形鄰域；(2)(2)對(duì)于點(diǎn)對(duì)于點(diǎn) xX
5、xX 的任意兩個(gè)球形鄰域，存在的任意兩個(gè)球形鄰域，存在 x x 的一個(gè)球形鄰域同時(shí)包含于兩者；的一個(gè)球形鄰域同時(shí)包含于兩者；(3)(3)如果如果 yX yX 屬于屬于 xX xX 的某一個(gè)球形鄰域的某一個(gè)球形鄰域，則，則 y y 有一個(gè)球形鄰域包含于有一個(gè)球形鄰域包含于 x x 的那個(gè)球形鄰域的那個(gè)球形鄰域.定義2.1.3設(shè) A 是度量空間 X 的一個(gè)子集如果 A 中的每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)球形鄰域包含于 A(即對(duì)于每一個(gè) aA，存在實(shí)數(shù)0 使得 B(a，)A，則稱 A 是度量空間 X 中的一個(gè)開(kāi)集 注意：此處的開(kāi)集僅是度量空間的開(kāi)集 例2.1.5實(shí)數(shù)空間R中的開(kāi)區(qū)間都是開(kāi)集 定理定理2.1.22.
6、1.2度量空間度量空間 X X 中的開(kāi)集具有以下性中的開(kāi)集具有以下性質(zhì)：質(zhì)：(1)(1)集合集合 X X 本身和空集本身和空集 都是開(kāi)集；都是開(kāi)集；(2)(2)任意兩個(gè)開(kāi)集的交是一個(gè)開(kāi)集；任意兩個(gè)開(kāi)集的交是一個(gè)開(kāi)集；(3)任意一個(gè)開(kāi)集族(即由開(kāi)集構(gòu)成的族)的并是一個(gè)開(kāi)集 證明根據(jù)定理 2.1.1 此外，根據(jù)定理2.1.1(3)可見(jiàn)，每一個(gè)球形鄰域都是開(kāi)集 球形鄰域與開(kāi)集有何聯(lián)系？為了討論問(wèn)題的方便，我們將球形鄰域的概念稍稍作一點(diǎn)推廣 定義 2.1.4設(shè) x 是度量空間 X 中的一個(gè)點(diǎn)，U 是X 的一個(gè)子集如果存在一個(gè)開(kāi)集 V 滿足條件：xV U，則稱 U 是點(diǎn) x 的一個(gè)鄰域 定理定理 2.1
7、.32.1.3設(shè)設(shè) x x 是度量空間是度量空間 X X 中的一個(gè)中的一個(gè)點(diǎn)則點(diǎn)則 X X的子集的子集 U U 是是 x x 的一個(gè)鄰域的充分必要條的一個(gè)鄰域的充分必要條件是件是 x x 有某一個(gè)球形鄰域包含于有某一個(gè)球形鄰域包含于 U U定義2.1.5設(shè) X 和 Y 是兩個(gè)度量空間，f:XY，以及 X 如果對(duì)于 f()的任何一個(gè)球形鄰域B(f(),)，存在的某一個(gè)球形鄰域B(,)，使得f(B(，)B(f()，)，則稱映射在點(diǎn)處是連續(xù)的如果映射 f 在 X 的每一個(gè)點(diǎn) xX處連續(xù)，則稱 f 是一個(gè)連續(xù)映射0 x0 x0 x0 x0 x0 x 下面的這個(gè)定理是把度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射的
8、概念推廣為拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射的出發(fā)點(diǎn) 定理定理 2.1.42.1.4設(shè)設(shè) X X 和和 Y Y 是兩個(gè)度量空間，是兩個(gè)度量空間，f f：XYXY以及以及 XX則下述條件則下述條件(1)(1)和和(2)(2)分別等價(jià)于條件分別等價(jià)于條件(1)(1)*和和(2)(2)*：(1)f(1)f 在點(diǎn)在點(diǎn) 處是連續(xù)的；處是連續(xù)的；(1)(1)*f()f()的每一個(gè)鄰域的原象是的每一個(gè)鄰域的原象是 的一個(gè)鄰域；的一個(gè)鄰域；(2)f(2)f 是連續(xù)的；是連續(xù)的；(2)(2)*Y Y中的每一個(gè)開(kāi)集的原象是中的每一個(gè)開(kāi)集的原象是 X X 中的一個(gè)開(kāi)集中的一個(gè)開(kāi)集0 x0 x0 x0 x0 x 從這個(gè)定理可以看出：度量空間之間的一個(gè)映射是否是連續(xù)的，或者在某一點(diǎn)處是否是連續(xù)的，本質(zhì)上只與度量空間中的開(kāi)集有關(guān)(注意，鄰域是通過(guò)開(kāi)集定義的)這就導(dǎo)致我們甩開(kāi)度量這個(gè)概念，參照度量空間中開(kāi)集的基本性質(zhì)(定理2.1.2)建立拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射的概念作業(yè)作業(yè)：P47 1.2.3.4.
【點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)】§21 度量空間與連續(xù)映射
