《分數(shù)的初步認識》中的多元表征問題探討.ppt

分數(shù)的初步認識課例分析兼談多元表征問題,曹新13970787517gnsycaoxin,案例分析：吳正憲老師的一個課例,吳正憲.分數(shù)的初步認識課堂實錄.教育的理論與實踐,2007,9,B,前言,分數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，是代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。為了幫助學(xué)生更好地理解分數(shù)，課程標準及教科書將分數(shù)的學(xué)習(xí)分別安排在：第一學(xué)段三年級（分數(shù)的初步認識），第二學(xué)段五年級（分數(shù)的意義和性質(zhì)）。,由于分數(shù)難學(xué)，多次引起各方面的討論甚至爭論。爭論的焦點主要集中在五年級分數(shù)的意義，并將其作為一個重要的研究論題。相對而言，由于分數(shù)的初步認識，多半從“切大餅”或“分蛋糕”開始的，即借助于直觀模型（面積模型、數(shù)線模型）初步理解分數(shù)刻畫的“部分整體”之間的比率關(guān)系（作為“率”的分數(shù)），教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法沒有太大的異議。,對分數(shù)的初步認識學(xué)習(xí)的調(diào)查卻顯示：通過近距離的課堂觀察，發(fā)現(xiàn)在理所當然且習(xí)以為常的操作活動中，學(xué)生并非按我們的預(yù)想在進行數(shù)學(xué)思考。反思：在問題情境中，學(xué)生真正體會到學(xué)習(xí)分數(shù)的必要性了嗎？在順利的操作活動中，學(xué)生在進行數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考嗎？如果學(xué)生在情境、活動中沒有經(jīng)歷真實的數(shù)學(xué)思維過程，那么理解又何以產(chǎn)生？,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的研究表明，理解概念的關(guān)鍵在于將數(shù)學(xué)概念的抽象定義的含意轉(zhuǎn)換成易于學(xué)生理解和運用的適當?shù)男睦肀硐?。轉(zhuǎn)換：是將抽象概念與學(xué)生已有知識經(jīng)驗建立有層次的聯(lián)系：引導(dǎo)學(xué)生在概念的抽象定義、半抽象模型（或操作）、具體原型（或活動）之間進行尋找意義與數(shù)學(xué)化的過程。,數(shù)學(xué)化與尋找意義-數(shù)學(xué)教學(xué)的基本活動自左至右：數(shù)學(xué)化自右至左：尋找意義,換句話說，學(xué)習(xí)者需要通過內(nèi)化概念的多種表達形式并與已有的內(nèi)在表象發(fā)生相互作用，以此促進或影響學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)理解。理解概念涉及：概念的豐富表達形式外在表征，概念的心理表達（表象）內(nèi)在表征，以及內(nèi)外表征之間的轉(zhuǎn)換。,內(nèi)容框架,1分數(shù)學(xué)習(xí)的難點與前概念2分數(shù)初步認識的教學(xué)流程3分數(shù)的初步認識課例分析,1分數(shù)學(xué)習(xí)的難點與前概念,義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011版）對分數(shù)的初步認識的要求是：能結(jié)合具體情境初步理解分數(shù)的意義，能讀、寫分數(shù)，能比較兩個同分母分數(shù)的大??；能運用分數(shù)表示日常生活中的一些事物，并進行交流。教材的目標定位：主要利用直觀的方式，使學(xué)生通過折一折、涂一涂等動手操作的方式，初步理解分數(shù)的意義，掌握分數(shù)的大小。實現(xiàn)上述目標，一要分析教學(xué)內(nèi)容，以充分了解分數(shù)學(xué)習(xí)的困難之處；二要分析學(xué)情，以找準教學(xué)的出發(fā)點：學(xué)生已有的知識經(jīng)驗。,分數(shù)學(xué)習(xí)的難點,一直以來，在學(xué)生的心目中并不承認分數(shù)是個“數(shù)”，是個“結(jié)果”。其一，分數(shù)并非“十進制”，這是與整數(shù)及其運算的最大差別。其二，引入分數(shù)是為了表示“量”，但“幾分之一”表示的卻是部分與整體之間的“比率”。其三，分數(shù)所能表示的“量”有更易于學(xué)生接受的替代物小數(shù)，分數(shù)所能表示的“比率”也有更易于學(xué)生接受的替代物百分數(shù)與比（這些后續(xù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容在生活中卻先接觸）。,其四，分數(shù)反映了數(shù)學(xué)概念的二重性：既表現(xiàn)為一種過程操作先分，把一個對象平均分，分之后就確定了分母，就創(chuàng)造了一個分數(shù)單位。然后再取一份或幾份，即是數(shù)有多少個單位，也就是確定分子；又表現(xiàn)為對象、結(jié)構(gòu)a/b。這種兼具算法與結(jié)果的特點,給學(xué)生帶來很大的認知負荷，影響著他們的認知加工。,學(xué)生已有的知識經(jīng)驗,一是具備“平均分”的認識。缺乏的是進一步的認識逆向思維，以及由此引出新數(shù)分數(shù)的意識。具有諸多與“分數(shù)學(xué)習(xí)”有關(guān)的操作體驗，學(xué)生缺乏的是探究操作活動中蘊含的數(shù)學(xué)知識所取的份數(shù)與整體的“比率”關(guān)系。,2分數(shù)初步認識的教學(xué)流程,兩種設(shè)計思路都沒有探討以下問題：課文呈現(xiàn)的分數(shù)外在表征之間有沒有層次性？若有，怎樣在教學(xué)中加以體現(xiàn)？分數(shù)的外在表征有哪些類型？類型之內(nèi)、類型之間有怎樣的關(guān)系？這些關(guān)系對教學(xué)設(shè)計有怎樣的要求？分數(shù)的外在表征與內(nèi)在表征有怎樣的關(guān)系？這種關(guān)系對于分數(shù)的學(xué)習(xí)設(shè)計有怎樣的啟發(fā)？,3分數(shù)的初步認識課例分析,這堂課的教學(xué)設(shè)計有什么特點？這堂課的師生對話有什么特點？對這堂課你想提哪些改進建議？,一、教學(xué)設(shè)計：為學(xué)生的發(fā)展而教,巧選素材，讓學(xué)生走進數(shù)學(xué)西游記故事“如何表示一半”？怎樣分月餅引入分數(shù)概念讀圖識分數(shù)加深對分數(shù)概念的理解創(chuàng)設(shè)機會，讓學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)折紙表示分數(shù)、討論分數(shù)辯論揭示分數(shù)概念的核心用分數(shù)說一句話揭示分數(shù)與生活的聯(lián)系,注重學(xué)法，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)學(xué)會將新知與生活經(jīng)驗、已有知識經(jīng)驗相聯(lián)系學(xué)會在在操作、實踐活動中認識、理解知識學(xué)會傾聽、獨立思考、善于合作交流學(xué)會用所學(xué)知識解釋生活中的現(xiàn)象,二、師生對話特點,以低層次（回憶、理解）提問為多、為輔，以高層次（應(yīng)用、分析、評價、綜合）提問為少、為主；教學(xué)中的主問題6個設(shè)置為高層次問題；對主問題的探討注意了兩種層次的問題的結(jié)合；輔助性問題設(shè)置不多，學(xué)生在較高的認知水平上開展學(xué)習(xí)。,三、對課例的幾點看法,1.教學(xué)目標敘寫的存在的問題2.情境的創(chuàng)設(shè)存在問題3.分數(shù)是“量”還是“數(shù)”？4.對分數(shù)有無限多個的探討5.為什么“1/2”比其他的表示更科學(xué)、簡便？6.“如何表示一半”？為什么將學(xué)生過早、過多地限制于符號表征一種方式？,1.教學(xué)目標敘寫的存在的問題,沒有體現(xiàn)三維目標教學(xué)目標的主體混亂怎樣寫才能好一些？,知識與技能目標：會讀、寫分數(shù)，說出分數(shù)各部分的名稱，理解幾分之一的具體含義。過程與方法目標：經(jīng)歷“一半”、“平均分”表示的探究、交流、合作的過程，體會分數(shù)的意義與不同的表示方法，增進數(shù)學(xué)的圖形語言、文字語言、符號語言相互轉(zhuǎn)換的能力，提升對分數(shù)的不同表征的水平，養(yǎng)成有條理地思考與表述問題的習(xí)慣。情感態(tài)度與價值觀目標：經(jīng)歷“一半”、“平均分”表示，以及用分數(shù)說一句話的數(shù)學(xué)化歷程，感受數(shù)學(xué)理性思維的魅力，加深對數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的理解，進而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并增強學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。,2.情境的創(chuàng)設(shè)存在問題,從一個虛假的情境中引出了一個簡單問題如何改進？“指導(dǎo)探索”中的設(shè)問依然值得商榷。對一些情境的思考,我們創(chuàng)設(shè)了怎樣的情境？,金陽廣場是一個邊長為400米的正方形休閑廣場，廣場的4個角上建有A、B、C、D4個生活小區(qū)。小區(qū)欲安裝煤氣管道，但煤氣公司只將煤氣主管道接到A區(qū)，另外3個小區(qū)的煤氣管道將由他們自行鋪設(shè)并與A區(qū)連通。請設(shè)計與A區(qū)相連的最短煤氣管道鋪設(shè)方案。,比的意義（六年級上）師：再過幾天就是祖國53歲生日了，我們一起看一段短片（錄像：義勇軍進行曲）。53年前的10月1日，中國的五星紅旗第一次迎著燦爛的朝陽在天安門廣場上冉冉升起，毛主席在天安門城樓上莊嚴宣布：中華人民共和國成立了！中國人民從此站起來了！瞧，五星紅旗紅旗如此燦爛、美麗，讓無數(shù)中國人為之驕傲與自豪，其實在我們的國旗里還隱藏這很多有趣的數(shù)學(xué)問題呢！你想了解它嗎？老師告訴你們：它的長為3米，寬為2米。你能求什么呢？,分數(shù)的意義師：其實，在我們學(xué)過的成語中就隱含了分數(shù)，想一想，你能舉出這樣的例子嗎？生：十拿九穩(wěn)、九死一生、百里挑一、十全十美、百發(fā)百中弧度制教師在黑板上畫了一個角，然后拿出一段繩子，問：同學(xué)們，如何度量這個角？,等腰三角形的性質(zhì)教師創(chuàng)設(shè)了走進埃及看金字塔這樣一個生活情境，讓學(xué)生從神秘的金字塔模型中開始探索等腰三角形的特征。課后教師還布置一個實驗任務(wù)，使數(shù)學(xué)課堂得到進一步延伸：依照比例復(fù)制一個小型的金字塔模型，再將食物放置入內(nèi)，看幾周后食物是否完全脫水，有沒有腐敗現(xiàn)象？,3.分數(shù)是“量”還是“數(shù)”？,“指導(dǎo)探索”待同學(xué)們明確了“平均分”后，老師帶領(lǐng)同學(xué)們邊比劃邊說：把一個月餅平均分成兩份，每份就是這個月餅的二分之一。之后，讓小伙伴之間互相講述自己對“1/2”的理解。你還能在這塊月餅中找到另一個二分之一嗎？一個同學(xué)很快地跑到前面，在月餅的另一半寫上了“1/2”。同學(xué)們用不同的折法表現(xiàn)“1/2”。,4.對分數(shù)有無限多個的探討,P37：師：同學(xué)們請看，像“1/2、1/3、1/4、1/5、1/8”這樣的數(shù)都叫分數(shù)。你還能舉出分數(shù)的例子來嗎？（同學(xué)們躍躍欲試，不由自主地站起來，舉著他們的“研究成果”給大家看）師：這樣說下去，說到今天晚上能說得完嗎？生：（迫不及待）我知道了，分數(shù)有無限個。師：對，分數(shù)的個數(shù)是無限的。問題：上述對話能表明分數(shù)有無限多嗎？,5.為什么“1/2”比其他的表示更科學(xué)、簡便？,教師讓學(xué)生用自己喜歡的方式表示“半個”，并讓他們解釋每種表示方法的含義。向?qū)W生介紹一種“更科學(xué)、更簡潔”的表示方法“1/2”。問題：老師能向?qū)W生說明“1/2更簡潔、更科學(xué)”嗎？,生活數(shù)學(xué)學(xué)校數(shù)學(xué)？生活數(shù)學(xué)對“一半”的表示生活數(shù)學(xué)與學(xué)校數(shù)學(xué)之間的鴻溝關(guān)注差異，重視溝通數(shù)學(xué)化,6.過早、過快地將學(xué)生的分數(shù)表征限制于符號這一方式有什么問題？,課本中的多元外在表征,實物操作切西瓜、蘋果、月餅；模型操作搭積木、折紙；喂養(yǎng)鴿子的盒子兼具實物與模型的特點；積木、地毯還隱含著線段圖、面積圖；周邊的樹木可以作為外在表征的實物。,師（指著黑板上學(xué)生寫的文字、畫的線段和圖畫）老師想和你們商量一下，這些圖、線段和文字都表示把一個物體平均分成兩份，表示其中的一份。如果你認為“1/2”這個分數(shù)，能表示你的意思，就可以擦掉你所寫的；如果你認為你的表現(xiàn)方法更好，也可以保留意見。（很多同學(xué)紛紛跑上去擦掉自己寫的文字、畫的圖與線段，只有一位同學(xué)堅持認為自己畫的圖更好，老師尊重了他的意見，并把這幅桃子圖框起來保留在黑板上）,教師對學(xué)生的要求,生5：我爸爸買了100個雞蛋，打碎了1個，打碎了的正好占這些雞蛋的1/100。（師順手把1/100寫到了黑板上。并特意把堅持用畫圖的方法表示分數(shù)的哪位同學(xué)請上來）師：1/100該怎樣用你喜歡的畫圖方法表示呢？請你試試看。（只見這位同學(xué)認真地畫著，畫著畫著他停了，揚起小臉對老師說，這種方法太麻煩了，還是用分數(shù)表示好。邊說邊把自己畫在黑板上的桃子圖擦掉。）,教師在課堂一直采用多元外在表征,表示“半個桃子”“分月餅”用圖形表示分數(shù)折分數(shù)用分數(shù)說一句話用線段圖表示分數(shù),認知結(jié)構(gòu)中的元素,1）數(shù)學(xué)知識的外部表征2）數(shù)學(xué)思維的媒介內(nèi)在表征（心理表象）3）心理表象與定義的關(guān)系,Janvier認為多元表征是指同一數(shù)學(xué)對象的不同表示形式：可以是心理的、主觀的東西，這叫內(nèi)在表征（InternalRepresentation）或心智表征（MentalRepresentation）,譬如個體在頭腦中建構(gòu)數(shù)學(xué)對象的心像（MentalImages）等；表征也可以是外在于人腦的、客觀世界的東西，這叫外在表征（ExternalRepresentation），譬如言語、文字、符號、圖片、具體物、活動或?qū)嶋H情境等,Hiebert和Carpenter：外在表征是指以語言、文字、符號、圖片、具體物、活動或?qū)嶋H情境等形式存在的表征。內(nèi)在表征是指存在于學(xué)習(xí)者頭腦里而無法直接觀察的心智表征或?qū)W習(xí)者擁有的心智結(jié)構(gòu)。學(xué)習(xí)者通過外在表征可以表達出自己的想法而達到溝通和交流的目的，通過內(nèi)在表征可以進行想象、推理等思維活動。,Hiebert和Carpenter：外在表征是指以語言、文字、符號、圖片、具體物、活動或?qū)嶋H情境等形式存在的表征。內(nèi)在表征是指存在于學(xué)習(xí)者頭腦里而無法直接觀察的心智表征或?qū)W習(xí)者擁有的心智結(jié)構(gòu)。學(xué)習(xí)者通過外在表征可以表達出自己的想法而達到溝通和交流的目的，通過內(nèi)在表征可以進行想象、推理等思維活動。,Goldin：外在表征是從傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)（如數(shù)軸、笛卡兒坐標系）到結(jié)構(gòu)性的學(xué)習(xí)情境（如包含具體操作活動的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境、基于電腦的微觀學(xué)習(xí)環(huán)境）。內(nèi)在表征則指學(xué)習(xí)者對于數(shù)學(xué)對象的意義賦予與建構(gòu)，包括學(xué)習(xí)者的言語語義、心像、視空間表征、計劃監(jiān)控策略及啟發(fā)法、數(shù)學(xué)的情感表征系統(tǒng)等。,1）數(shù)學(xué)知識的外部表征,刻畫數(shù)學(xué)對象的每種表征具有各自的特點與功能：口語、書寫文本、數(shù)學(xué)公式和邏輯表示等表征可以任意表達，但與約定內(nèi)容緊密相關(guān)，而且包含反映關(guān)系的各種符號。能描述和表達抽象的、邏輯的意義，這些表征既是人腦左半球的功能特點，也是左半球發(fā)展的外在促進。實物模型、圖形、圖表、圖像等不含有反映關(guān)系的各種符號，但卻描繪了具體的、形象的、直覺的意義，便于人們較為快捷地“可視化”數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)和意義，這些表征既是人腦右半球的功能特點，也是右半球發(fā)展的外在促進。,不同的表征在表示信息上可能是等效的，但在思維運演和交流等功能上并不等效：實物模型、圖形等表征適合于形象，直覺思維等非邏輯思維，有助于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)；文字、符號等表征適合于邏輯思維，有助于邏輯、理性思辨的培養(yǎng)。很多數(shù)學(xué)對象的具體表征具有優(yōu)先性和典型性。如，表征“數(shù)”的概念，阿拉伯數(shù)字比較羅馬數(shù)字具有優(yōu)先性和典型性。但有時優(yōu)先性和典型性卻扮演負面的影響。如，標準的幾何圖形或數(shù)學(xué)符號表達容易使學(xué)習(xí)者依賴典型?？傊瑪?shù)學(xué)對象的多元表征的特征，在外在結(jié)構(gòu)形式上如同冰山；在內(nèi)容上，表征的豐富性以及相互聯(lián)系性構(gòu)成知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；在方法上，表征間的轉(zhuǎn)換或轉(zhuǎn)譯體現(xiàn)了邏輯思維與非邏輯思維的互補。,Keller和Hirsch：數(shù)學(xué)對象的多元外在表征能夠具體形象地凸顯一個數(shù)學(xué)對象的多元外在屬性；能強化數(shù)學(xué)對象復(fù)雜性的一面，同時也可能淡化其復(fù)雜的一面；能夠便于學(xué)習(xí)者對不同表征的認知聯(lián)接。Bruner:數(shù)學(xué)對象有三種表征，即活動性表征圖象性表征符號性表征。,數(shù)學(xué)知識的外部表征(Lesh),它們之間不一定存在先后的發(fā)展順序，主要應(yīng)重視它們之間的轉(zhuǎn)換與相互影響，因為這種轉(zhuǎn)換與影響對于學(xué)生的概念形成和理解有重要的意義。知識的外部表征及其轉(zhuǎn)換和聯(lián)系，將共同參與學(xué)生的思考活動，被他們選取、改造和適應(yīng)，轉(zhuǎn)變?yōu)樾睦砩系谋碚鳌?基于表征符號的本質(zhì)差異，認知心理學(xué)家將外在表征分為：敘述性表征與描述性表征兩大類。兩種表征具有各自的特點與功能：敘述性（言語化）表征，其本質(zhì)為抽象符號，通過言語對被表征的對象進行抽象的描述。如，口語、書寫文本、數(shù)學(xué)公式、邏輯表示等。這一類表征與約定內(nèi)容緊密相關(guān)，而且包含反映關(guān)系的各種符號，能夠描述和表達抽象的、邏輯的意義；描述性（視覺化）表征，其本質(zhì)為直觀模式，通過圖式元素對被表征的對象進行形象的描繪。如，實物模型、圖形、圖表、圖像等。這一類表征描繪了具體的、形象的、直覺的意義，便于人們較為快捷地“可視化”數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)和意義。比較而言，敘述性表征適合于邏輯思維，有助于邏輯、理性思辨的培養(yǎng)；描述性表征適合于形象、直覺思維，有助于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。,多元表征學(xué)習(xí)模型,2）數(shù)學(xué)思維的媒介心理表象思維中信息的形態(tài),在定義和圖形兩者中，人們更傾向于利用一些圖形作為概念的代表，并用它們表示概念。記憶中存貯的信息的形式有三種既不排斥、也不包含的可能性：語言文字、命題；圖畫；既非詞句，也非圖畫。Kruteskii：語言-邏輯方式與視覺-圖形方式，導(dǎo)致三類學(xué)生（分析型、幾何型、協(xié)調(diào)型）相應(yīng)于“直觀”、“幾何型”思維方式的具體表現(xiàn)，心理學(xué)上有一個概念-表象。,心理表象的存在性-數(shù)學(xué)家的內(nèi)省Hadamard：數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)Euler：解釋演繹的特性Piaget：直觀對于發(fā)現(xiàn)必不可少Hilbert：數(shù)學(xué)研究兩種趨勢：抽象與直觀Griffiths：數(shù)學(xué)中最常見的思維媒介是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的模型和實例Brown：學(xué)生常用的五種意象：具體意象、記憶意象、動覺意象、動態(tài)意象、模式意象。,Descartes：意象本身不會產(chǎn)生科學(xué)，但在某些情況下，我們還是要求助于它。Piaget：表象的三種類型由內(nèi)化的模仿活動形成的；通過基本的思想實驗建立的；思維運算的動態(tài)符號。,心理表象的特點基本特征表象是相對形象、具體的表象具有綜合性、整體性表象具有不全面、不精確、不深刻的弱點表象有一個發(fā)展過程表象因人而異、因事而異思維表象如何在抽象與直覺之間維持一種平衡，既能比較直觀地表達對象，又盡可能不遺漏和不歪曲定義所規(guī)定的人工對象的性質(zhì)，是學(xué)習(xí)中必須及時解決的問題。,3）心理表象與定義的關(guān)系表象是最活躍的心理因素Vinner:內(nèi)部信息更多地表示為與概念有關(guān)系的性質(zhì)和心理圖像的組合。理解的要素:“建構(gòu)理解就是建構(gòu)表象”得益于表象的具體、形象的特點，思維將可以運轉(zhuǎn)得迅速靈活。形成好的概念表象，會對把握和理解概念有幫助。,定義：建構(gòu)概念的腳手架工具Vinner:獲得概念就是形成概念表象，用心學(xué)習(xí)定義不保證理解。Freudenthal:概念形成主要參考的是經(jīng)驗現(xiàn)象和事實。數(shù)學(xué)教師創(chuàng)造理解：將數(shù)學(xué)概念的抽象定義的含義轉(zhuǎn)換成易于學(xué)生理解和運用的適當?shù)男睦肀硐?，幫助學(xué)生靈活地掌握表象。,概念活動的過程分析定義與表象是概念這枚硬幣的兩個面，它們各有側(cè)重，又互相補充，相輔相成，在幫助學(xué)生形成與運用概念方面共同發(fā)揮作用。定義以語言為途徑，對概念作逐字逐句的界定，規(guī)定內(nèi)涵，具有抽象性和嚴密性。表象利用直觀形象為工具，象征性地代表概念，在回憶、加工時顯得簡潔明快，約束較小。,定義和表象互相影響，互相促進。理想的思考過程應(yīng)當既借助于表象這個直觀思維的媒介，減輕思維的負擔，又參考定義，避免或糾正可能發(fā)生的錯誤。在學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)這樣一個特殊的“學(xué)術(shù)場合”中，合理地利用兩類工具，平衡表象與定義之間的關(guān)系，能使學(xué)習(xí)輕松、有效。,體現(xiàn)多元表征的教學(xué)建議,第一，從均分物體的視覺化表征轉(zhuǎn)換為言語化表征時，注意體現(xiàn)言語化表征的發(fā)展層次：口頭通俗言語（如，把一個物體平均分成兩份，每一份是這個物體的“一半”，也就是平均分成的兩份中的一份）書面精煉語言（二等分，取其一）數(shù)學(xué)文字語言（二分之一）數(shù)學(xué)符號語言（1/2）。,第二，結(jié)合情境，充分體現(xiàn)作為“量”的分數(shù)帶單位（如，三分之一的圓）與作為“比率”的分數(shù)不帶單位（如，三分之一）之間的轉(zhuǎn)換過程，并引導(dǎo)學(xué)生參與這個過程（當然不能直接提“量”的分數(shù)與“比率”的分數(shù)），因為這是從視覺化表征轉(zhuǎn)向言語化表征的一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)。,第三，關(guān)注操作活動后面的數(shù)學(xué)思考，促成學(xué)生在分數(shù)的視覺化表征與言語化表征之間的轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯。因為，即使學(xué)生沒有接觸過分數(shù)，也能順利地完成“折一折”、“涂一涂”的操作活動。但是只有在操作活動與“幾等分，取其一”所表達的“幾分之一”之間建立了轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯關(guān)系，學(xué)生才能從情境走向數(shù)學(xué)，把活動與思考數(shù)學(xué)結(jié)合起來。,第四，允許學(xué)生用不同的方式表征分數(shù)。盡管學(xué)習(xí)符號化的表達是一個的目標，但是達到這一目標需要通過視覺化表征的轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯才能實現(xiàn)。而且，表征之間的相互參照是兩種表征不斷發(fā)展精致的需要，自然成為建立分數(shù)恰當圖式的必要條件。,數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)要求同一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象必須具有敘述性和描述性兩類本質(zhì)不同的表征，這也是對“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)刻畫?！皵?shù)形結(jié)合”反映的就是言語化表征與視覺化表征在概念理解與運用過程中的精致、轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯，反映的就是視覺化表征的直覺啟示與言語化表征的邏輯抽象的整合。因此，從教學(xué)的角度看，我們更應(yīng)深入地研究教師在教學(xué)中應(yīng)當如何使用各種外部表征，才能幫助學(xué)生建立真正反映概念本質(zhì)的內(nèi)在表征。,ThanksforYourAttention!,