2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列教案

專題三 數(shù)列、推理與證明第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(2012·浙江)設(shè)公比為q(q0)的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S23a22，S43a42，則q_.解析利用等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式求解解法一S4S2a3a43a22a3a43a42，將a3a2q，a4a2q2代入得，3a22a2qa2q23a2q22，化簡得2q2q30，解得q(q1不合題意，舍去)解法二設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1，由S23a22，得a1(1q)3a1q2.由S43a42，得a1(1q)(1q2)3a1q32.由得a1q2(1q)3a1q(q21)q0，q.答案2(2012·課標(biāo)全國卷)已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10A7B5C5D7解析解法一利用等比數(shù)列的通項公式求解由題意得或a1a10a1(1q9)7.解法二利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解由解得或或a1a10a1(1q9)7.答案D考題分析等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本性質(zhì)與運算是各地高考考查的熱點，突出了通性通法三種題型都有可能出現(xiàn)，有較容易的低檔題，也有與其他知識交匯命題的壓軸題網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點突破考點一：等差、等比數(shù)列的基本運算【例1】(2012·盤錦模擬)已知數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1a22，a3a432.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnalog2an，求數(shù)列bn的前n項和Sn.審題導(dǎo)引(1)利用所給的條件式求出a1與q，可求an；(2)把數(shù)列bn分解為一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列，分組求和規(guī)范解答(1)a1a222×，a3a43232×，數(shù)列an各項均為正數(shù)，a1a22，a3a432，q416，q2，又a1a2a1·a1q2，a11，ana1qn12n1.(2)bnalog2an，bn4n1(n1)，Snb1b2b3bn(4041424n1)(012n1).【規(guī)律總結(jié)】方程思想在等差(比)數(shù)列的基本運算中的運用等差(比)數(shù)列的通項公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an與Sn這五個量，如果已知其中的三個，就可以求其余的兩個其中a1和d(或q)是兩個基本量，所以等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運算問題一般先設(shè)出這兩個基本量，然后根據(jù)通項公式、求和公式構(gòu)建這兩者的方程組，通過解方程組求其值，這也是方程思想在數(shù)列問題中的體現(xiàn)易錯提示等差(比)數(shù)列的基本運算中，容易出現(xiàn)的問題主要有兩個方面：一是忽視題中的條件限制，如公差與公比的符號、大小等，導(dǎo)致增解；二是不能靈活利用等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，導(dǎo)致列出的方程或方程組較為復(fù)雜，增大運算量【變式訓(xùn)練】1(2012·安徽師大附中模擬)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a58，S36，則S10S7的值是A24B36C48D72解析S33a26，a22，又a58，3da5a26，d2.S10S7a8a9a103a93a5(95)d48.答案C2(2012·青島模擬)設(shè)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，公比為q，前n項和為Sn.若對nN，有S2n3Sn，則q的取值范圍是A(0,1 B(0,2) C1,2) D(0，)解析當(dāng)q1時，顯然有S2n3Sn，當(dāng)q1時，S2n3Sn，即S2n3Sn(qn2)0.0，qn20恒成立，0q1，故q(0,1答案A考點二：等差、等比數(shù)列的判定與證明【例2】已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足：an2SnSn10(n2，nN，Sn0)，a1，判斷與an是否為等差數(shù)列，并說明你的理由審題導(dǎo)引因為已知關(guān)系式中包含an，Sn，Sn1，所以應(yīng)根據(jù)an與Sn的關(guān)系式：anSnSn1(n2)將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于Sn與Sn1之間的關(guān)系，從而判斷是否為等差數(shù)列，并求出Sn的表達式，然后求出數(shù)列an的通項公式，并判斷其是否為等差數(shù)列規(guī)范解答因為anSnSn1(n2)，所以由an2SnSn10，可得SnSn12SnSn10(n2)，所以2(n2)，又因為S1a1，所以是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列所以2(n1)×22n，故Sn.所以當(dāng)n2時，anSnSn1，所以an1，而an1an.所以當(dāng)n2時，an1an的值不是一個與n無關(guān)的常數(shù)，故數(shù)列an不是一個等差數(shù)列綜上，是等差數(shù)列，an不是等差數(shù)列【規(guī)律總結(jié)】判斷數(shù)列是否為等差(比)數(shù)列的方法在判斷一個數(shù)列是否為等差(比)數(shù)列時，應(yīng)該根據(jù)已知條件靈活選用不同的方法，一般是先建立an1與an的關(guān)系式或遞推關(guān)系式，表示出an1an，然后驗證其是否為一個與n無關(guān)的常數(shù)另外，常數(shù)列an的通項公式ana，它是一個首項a1a，公差d0的等差數(shù)列，若a0，則該數(shù)列也是一個首項a1a，公比q1的等比數(shù)列如果一個數(shù)列中包含有0的項，那么這個數(shù)列一定不是等比數(shù)列【變式訓(xùn)練】3(2012·西安模擬)已知數(shù)列an滿足：a12，an12an2.(1)求證：數(shù)列an2是等比數(shù)列(要求指出首項與公比)；(2)求數(shù)列an的前n項和Sn.解析(1)證明由an12an2，得an122an4，即an122(an2)，即2(nN)，又由a12得a124，所以數(shù)列an2是以4為首項，以2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知an24·2n12n1，所以an2n12，所以Sn22232n12n2n2n22n4.考點三：等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【例3】(1)已知正數(shù)組成的等差數(shù)列an，前20項和為100，則a7·a14的最大值是A25 B50 C100 D不存在(2)(2012·株洲模擬)設(shè)等比數(shù)列an各項均為正數(shù)，且a5a6a4a718，則log3a1log3a2log3a10A12B10 C8D2log35審題導(dǎo)引(1)求出a1a20，利用a1a20a7a14與基本不等式求解；(2)利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合對數(shù)的運算法則解題規(guī)范解答(1)an為等差數(shù)列，S20×20×(a1a20)100，a7a14a1a2010.a70，a140，a7·a14225，當(dāng)且僅當(dāng)a7a145時，等號成立(2)a5a6a4·a7，a5a6a4a718，a5a69，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)55log3910.答案(1)A(2)B【規(guī)律總結(jié)】等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列有很多性質(zhì)很類似，但又有區(qū)別，學(xué)習(xí)時需對比記憶，靈活應(yīng)用(2)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)多與其下標(biāo)有關(guān)，解題需多注意觀察，發(fā)現(xiàn)其聯(lián)系，加以應(yīng)用(3)應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)要注意結(jié)合其通項公式、前n項和公式【變式訓(xùn)練】4設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1a2a315，a1a2a380，則a11a12a13等于A120 B105 C90 D75解析設(shè)公差為d且d0，a1a2a315，a2da2a2d15，a25.又a1a2a380，d29.d0，d3.則a11a12a133a123(a210d)105.答案B名師押題高考【押題1】在等比數(shù)列an中，a18，a4a3a5，則a7A.B.C.D.解析解法一設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.a4a3a5，a18，8·q38·q2·8·q4，即q3，q，a7a1q68·6.解法二a4a3a5a，且a40，a41.又aa1a7，即18a7，a7.答案B押題依據(jù)本題可根據(jù)給出的條件利用等比數(shù)列的通項公式求解，也可以利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解，解題切口較寬，不僅考查數(shù)列的通性通法，同時也突出了對能力的考查，符合高考的要求，故押此題【押題2】在數(shù)列an中，a11，an12an2n.(1)設(shè)bn，證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項和Sn.解析(1)證明由已知an12an2n，得bn11bn1.又b1a11，因此bn是首項為1，公差為1的等差數(shù)列(2)由(1)知n，即ann·2n1，Sn12×213×22n×2n1，兩邊乘以2得2Sn22×223×23n×2n，兩式相減得Sn121222n1n·2n(2n1)n·2n(n1)2n1.押題依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明、數(shù)列的求和一直是高考的熱點，本題綜合考查了等差數(shù)列的證明、通項公式的求法、錯位相減法求和等知識點，難度中等，故押此題 - 7 -