2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本 初等函數(shù)的性質(zhì)教案 舊人教版

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1、2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本初等函數(shù)的性質(zhì)教案舊人教版 一、基礎(chǔ)知識(shí) 1. 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如y=ax(a〉0,al)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0,+b),當(dāng)01時(shí)，y二a為增函數(shù)，它的圖象恒過定點(diǎn)(0, 1) 。 丄.—血I1m1 2?分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：an=na?an=nam,a-n=9an= annam 3. 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如y=logx(a〉0,al)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)?0,+ a °°)，值域?yàn)镽,圖象過定點(diǎn)(1,0)。當(dāng)0〈a〈1,y=logx為減函數(shù)，當(dāng)a>1時(shí)，y=logxaa 為增

2、函數(shù)。 4. 對(duì)數(shù)的性質(zhì)(M〉0,N>0)； 1) ax=Mx=logM(a〉0,a1)； a 2) log(MN)二logM+logN； aaa 3) log()=logM-logN；4)logMn=nlogM；， aaaaa 5)log=logM；6)alogaM=M;7)logb=(a,b,c〉0,a,c1). aaa 5. 函數(shù)y=x+(a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為和。(請(qǐng)讀者自己用定義證明) 6. 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：若a

3、造函數(shù)解題。 例1已知a,b,ce(-1,1),求證：ab+bc+ca+1>0. 【證明】設(shè)f(x)=(b+c)x+bc+1(xe(-1,1)),則f(x)是關(guān)于x的一次函數(shù)。 所以要證原不等式成立，只需證f(-1)>0且f(1)>0(因?yàn)?1〈a〈1). 因?yàn)閒(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)〉0， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)〉0， 所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1〉0. 例2(柯西不等式)若a,a,…,a是不全為0的實(shí)數(shù)，b,b,…,beR,則()?()三 12n12n ()2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在R,使a二，i=1,2,…

4、，n時(shí)成立。 i 【證明】令f(x)=()x2-2()x+=, 因?yàn)椤?,且對(duì)任意xeR,f(x)20, 所以△=4()-4()()W0. 展開得()()三()2。 等號(hào)成立等價(jià)于f(x)=0有實(shí)根，即存在，使a=,i=1,2,…，n。 i 例3設(shè)x,yeR+,x+y=c,c為常數(shù)且ce(0,2］,求u=的最小值。 【解】u==xy+三xy++2? =xy++2. 令xy=t，則0

5、最小值為++2. 2. 指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算技巧。 例4設(shè)p,qeR+且滿足logp=logq=log(p+q)，求的值。 91216 【解】令logp=logq=log(p+q)=t,則p=9t,q=12t,p+q=16t, 91216 所以9t+12t=16t，即1+ 記乂=，則1+X=X2，解得 又〉0，所以= 例5對(duì)于正整數(shù)a,b,c(aWbWc)和實(shí)數(shù)x,y,z,w,若ax=by=cz=70?,且，求證：a+b=c. 【證明】由ax=by=cz=70w取常用對(duì)數(shù)得xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 所以lga=lg70,lgb=lg70,lgc=lg70，

6、 相加得(lga+lgb+lgc)=lg70,由題設(shè)， 所以lga+lgb+lgc=lg70,所以lgabc=lg70. 所以abc=70=2X5X7. 若a=1,則因?yàn)閤lga=wlg70,所以w=0與題設(shè)矛盾，所以a〉l. 又aWbWc,且a,b,c為70的正約數(shù)，所以只有a=2,b=5,c=7.所以a+b=c. 例6已知xl,ac1,al,c1.且logx+logx=2logx，求證c2=(ac)logab. acb 【證明】由題設(shè)logx+logx=2logbx，化為以a為底的對(duì)數(shù)，得 acb logx2logx logX+a—二a—, alogclogb aa

7、 因?yàn)閍c〉0,acl，所以logb=logC2，所以C2=(ac)logab. aac 注：指數(shù)與對(duì)數(shù)式互化，取對(duì)數(shù)，換元，換底公式往往是解題的橋梁。3．指數(shù)與對(duì)數(shù)方程的解法。 解此類方程的主要思想是通過指對(duì)數(shù)的運(yùn)算和換元等進(jìn)行化簡(jiǎn)求解。值得注意的是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和未知數(shù)范圍的討論。 例7解方程：3x+4x+5x=6x. 【解】方程可化為=1。設(shè)f(x)=,則f(x)在(-8,+b)上是減函數(shù)，因?yàn)閒(3)=1，所以 方程只有一個(gè)解x=3. 例8解方程組：(其中x,yWR+). 【解】兩邊取對(duì)數(shù)，則原方程組可化為①② 把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx,所以[(

8、x+y)2-36]lgx=0. 由lgx=0得x=1,由(x+y)2-36=0(x,yGR+)得x+y=6, 代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0. 又y>0,所以y=2,x=4.所以方程組的解為. 例9已知a>0,a1,試求使方程log(x-ak)=log2(x2-a2)有解的k的取值范圍。aa (x一ak)2=x2一a2 【解】由對(duì)數(shù)性質(zhì)知，原方程的解x應(yīng)滿足0?①②③ x2一a2>0 若①、②同時(shí)成立，則③必成立， 故只需解. 由①可得2kx=a(1+k2)，④ 當(dāng)k=0時(shí)，④無解；當(dāng)k0時(shí)，④的解是x=，代入②得>k. 若k<0

9、,則k2>1，所以k<-1；若k>0,則k2<1，所以0〈k〈1. 綜上，當(dāng)kG(-g,-1)U(0,1)時(shí)，原方程有解。 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1. 命題P：“(log3)x-(log3)x±(log3)-y-(log3)-y”是命題q：“x+y±o”的 2525 條件。 2. 如果x是方程x+lgx=27的根，x是方程x+10x=27的根，則x+x=. 1212 3. 已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，點(diǎn)A(-1,1),B(1,3)在它的圖象上，y=f-1(x) 是它的反函數(shù)，貝9不等式|f-1(log2x)|〈1的解集為。 4. 若log〈0,則a取值范圍是。 2a 5

10、. 命題p：函數(shù)y=log2在[2,+b)上是增函數(shù)；命題q：函數(shù)y=log2(ax2-4x+1)的值域?yàn)? R,則P是q的條件。2 6. 若0〈b〈1,a>0且a1,比較大?。簗log(1-b)||log(1+b). aa 7. 已知f(x)=2+log3x,xG[1,3],則函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域?yàn)椤? 1 1 1 8． 若x= logi3 iogi3 則與x最接近的整數(shù)是 25 9．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 10.函數(shù)f(x)=的值域?yàn)椤? 11.設(shè)f(x)=lg[1+2x+3x+?..+(n-1)x+nx?a],其中n為給定正整數(shù)，n三2

11、,aWR.若f(x)在xw(-8,1]時(shí)有意義，求a的取值范圍。 12?當(dāng)a為何值時(shí)，方程=2有一解，二解，無解？ 四、高考水平訓(xùn)練題 1.函數(shù)f(x)=+lg(X2-1)的定義域是. 2. 已知不等式X2-logx〈0在xW時(shí)恒成立，則m的取值范圍是 m 3. 若xW{x|log2x=2-x}，則X2,x,1從大到小排列是. 4. 若f(x)=ln，則使f(a)+f(b)=. 5. R 6 7 8. 命題p:函數(shù)y=log2在[2，+8)上是增函數(shù)；命題q：函數(shù)y=log2(ax2-4x+1)的值域?yàn)閯tp是q的條件. 若00且a1,比較大小：|log

12、(1-b)||log(1+b)|. aa 已知f(x)=2+log3x,xW[1,3]，則函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域?yàn)? 131 若x=——i+——i，則與x最接近的整數(shù)是. logi3logi3 25 9.函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是, 10.函數(shù)f(x)=的值域?yàn)? 11.設(shè)f(x)=lg[1+2x+3x+???+(n-1)x+nx?a]，其中n為給定正整數(shù)，n三2,aWR。若f(x)在xW(-8,1]時(shí)有意義，求a的取值范圍。 12?當(dāng)a為何值時(shí)，方程=2有一解，二解，無解？四、高考水平訓(xùn)練題 1.函數(shù)f(x)=+lg(X2-1)的定義域是. 2. 已知不

13、等式X2-logx〈0在xW時(shí)恒成立，則m的取值范圍是 m 3. 若xW{x|logx=2-x}，則X2,x,1從大到小排列是. 4?若f(x)=ln，則使f(a)+f(b)=成立的a,b的取值范圍是. 5. 已知a=log(n+1)，設(shè)，其中p,q為整數(shù)，且(p,q)=1，則p?q的值為. nn 6. 已知x>10,y>10,xy=1000，貝y(lgx)?(lgy)的取值范圍是. 7. 若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是. 8. 函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽,若關(guān)于x的方程f-2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則 b,c應(yīng)

14、滿足的充要條件是. (1)b<0且c>0；(2)b>0且c<0；(3)b<0且c=0；(4)b±0且c=0。 9. 已知f(x)=x,F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，則F(x)是函數(shù)(填奇偶性). 10. 已知f(x)=lg，若=1,=2，其中|a|〈1,|b|〈1,則f(a)+f(b)=. 11. 設(shè)aWR,試討論關(guān)于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。 12. 設(shè)f(x)=|lgx|，實(shí)數(shù)a,b滿足0〈a〈b,f(a)=f(b)=2f，求證:(1)a4+2a2-4a+1=0,b4-4b3+2b2+1=0；(2)3〈b〈4. 13.

15、 設(shè)a>0且a1,f(x)=log(x+)(x±1),(1)求f(x)的反函數(shù)f-i(x)；(2)若f-i(n)〈(nWN), a+求a的取值范圍。 五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題 1. 如果log[log(logx)]=log[log(logx)]=log[log(logz)]=0,那么將X,y,z從小 223355 2. 設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)x>x>x>x>0，都有l(wèi)og1993+log1993+log1993>klog1993恒成立, 0123 則k的最大值為. 3.實(shí)數(shù)x,y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)S=X2+y2，則的值為. 4. 已知O〈b〈l,0o

16、下三個(gè)數(shù)：x=(sina)logsina,y=(cosa)logsina,z=(sina) bb logsina從小到大排列為. b 5. 用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則方程lg2x-[lgx]-2=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是. 6. 設(shè)a=lgz+lg[x(yz)-i+l],b=lgx-i+lg[xyz+1],c=lgy+lg[(xyz)-1+1]，記a,b,c中的 最大數(shù)為M,則M的最小值為. 7. 若f(x)(xWR)是周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)xe[0,1]時(shí)，f(x)=，貝嘰由小到大排列為 8. 不等式+2>0的解集為. 9. 已知a>1,b>1，且lg(a+b)=lga+lgb

17、，求lg(a-1)+lg(b-1). lg(6-x)+lg(x-2)+log丄(x-2) 10. (1)試畫出由方程10=所確定的函數(shù)y=f(x)圖象。 lg2y2 (2)若函數(shù)y=ax+與y=f(x)的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍。 11. 對(duì)于任意neN(n〉1),試證明：[]+[]+???+[]=[logn]+[logn]+???+[logn]。 +23n 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 3x2-x3y2-y3z2-z 1. 設(shè)x,y,zeR+且x+y+z=1，求u=++的最小值。 1+x21+y21+z2 2. 當(dāng)a為何值時(shí)，不等式log?log(X2+ax+6)+

18、log320有且只有一個(gè)解(a〉1且a1)。 5a 3. f(x)是定義在(1,+8)上且在(1,+8)中取值的函數(shù)，滿足條件；對(duì)于任何x,y>1及u,v〉0,f(xuyv)<[f(x)][f(y)]①都成立，試確定所有這樣的函數(shù)f(x). 4. 求所有函數(shù)f：RfR,使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。 5. 設(shè)m±14是一個(gè)整數(shù)，函數(shù)f：N-N定義如下： In一m+14n>m2 f(n)=\, [f(f(n+m一13))n

19、)+f(y)+f(x)?f(y),x,yeQ. 7. 是否存在函數(shù)f(n)，將自然數(shù)集N映為自身，且對(duì)每個(gè)n>1,f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。 8. 設(shè)p,q是任意自然數(shù)，求證：存在這樣的f(x)eZ(x)(表示整系數(shù)多項(xiàng)式集合)，使對(duì)x軸上的某個(gè)長為的開區(qū)間中的每一個(gè)數(shù)x,有 9. 設(shè)a,B為實(shí)數(shù)，求所有f：R+fR,使得對(duì)任意的x,yeR+,f(x)f(y)=y2?f成立。 2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本圓錐曲線(一)教案舊人教版 一、基礎(chǔ)知識(shí) 1. 橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離)的點(diǎn)的軌跡，

20、即|PF|+|PF|=2a(2a〉|FF|=2c). 1212 第二定義：平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離之比為同一個(gè)常數(shù)e(0〈e〈1)的點(diǎn)的軌跡(其中定點(diǎn)不在定直線上)，即 (0〈e〈1). 第三定義：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)給定兩圓q:x2+y2=a2,c2：x2+y2=b2,a,beR+且aMb。從原點(diǎn)出發(fā)的射線交圓S于P,交圓c2于Q,過P引y軸的平行線，過Q引x軸的平行線，兩條線的交點(diǎn)的軌跡即為橢圓。 2．橢圓的方程，如果以橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在的直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，由定義可求得它的標(biāo)準(zhǔn)方程，若焦點(diǎn)在x軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a>b>0)，參數(shù)方程為(為參數(shù))。

21、 若焦點(diǎn)在y軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a>b>0)。 3?橢圓中的相關(guān)概念，對(duì)于中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 ， a稱半長軸長，b稱半短軸長，c稱為半焦距，長軸端點(diǎn)、短軸端點(diǎn)、兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(土a,0),(0,土b),(土c,0)；與左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(即第二定義中的定直線)為，與右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為；定義中的比e稱為離心率，且，由c2+b2=a2知0〈e〈l. 橢圓有兩條對(duì)稱軸，分別是長軸、短軸。 4. 橢圓的焦半徑公式：對(duì)于橢圓l(a〉b〉0),F/-C,0),F2(c,0)是它的兩焦點(diǎn)。若P(x,y)是橢圓上的任意一點(diǎn)，貝9|PFj=a+ex,|PF2l=a-ex. 5.

22、 幾個(gè)常用結(jié)論：1)過橢圓上一點(diǎn)p(x0,y°)的切線方程為 2) 斜率為k的切線方程為； 3) 過焦點(diǎn)F2(c,0)傾斜角為e的弦的長為 。 6．雙曲線的定義，第一定義： 滿足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|,a>0)的點(diǎn)P的軌跡； 第二定義;到定點(diǎn)的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(>1)的點(diǎn)的軌跡。 7. 雙曲線的方程：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程為 ， 參數(shù)方程為(為參數(shù))。 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。 8. 雙曲線的相關(guān)概念，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 (a,b〉0), a稱半實(shí)軸長，b稱為半虛軸長，c為半焦

23、距，實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為(-a,0),(a,0).左、右焦點(diǎn)為F1(-c,0),F2(c,0)，對(duì)應(yīng)的左、右準(zhǔn)線方程分別為離心率，由a2+b2=c2知e>1。 兩條漸近線方程為，雙曲線與有相同的漸近線，它們的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上。若a=b，貝稱為等軸雙曲線。 9. 雙曲線的常用結(jié)論，1)焦半徑公式，對(duì)于雙曲線，F(xiàn)1(-c,0),F2(c,0)是它的兩個(gè)焦點(diǎn)。設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點(diǎn)，若P在右支上，貝|PF」=ex+a,2|PF」=ex-a；若P (x,y)在左支上，則|PFj二-ex-a,|PF」=-ex+a. 2)過焦點(diǎn)的傾斜角為8的弦長是。 10. 拋物線：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F

24、和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。若取經(jīng)過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l相交于K以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|KF|=p，則焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0)，離心率e=1. 11. 拋物線常用結(jié)論：若P(x0,y0)為拋物線上任一點(diǎn)， 1) 焦半徑|PF|=；°° 2) 過點(diǎn)P的切線方程為y0y=p(x+x0)； 3)過焦點(diǎn)傾斜角為e的弦長為。 12. 極坐標(biāo)系，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)為極點(diǎn)記為0,從0出發(fā)的射線為極軸記為Ox軸，這樣就建立了極坐標(biāo)系，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)p,記|op|

25、=p,zxOP=e，則由(p,e)唯一確定點(diǎn)p的位置，(p，e)稱為極坐標(biāo)。 13. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e的點(diǎn)P,若0〈e〈1,則點(diǎn)P的軌跡為橢圓；若e>1,則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支；若e=1,則點(diǎn)P的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為。 二、方法與例題 1. 與定義有關(guān)的問題。 例1已知定點(diǎn)A(2,1),F是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)3|PA|+5|PF|取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。 ［解］見圖11-1，由題設(shè)a=5,b=4,c==3,.橢圓左準(zhǔn)線的方程為，又因?yàn)?，所以點(diǎn)A在橢圓內(nèi)部，又點(diǎn)F坐標(biāo)為(-3,0),過P作PQ

26、垂直于左準(zhǔn)線，垂足為Q。由定義知，則|PF|=|PQ|。所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)23|AM|(AM左準(zhǔn)線于M)。 所以當(dāng)且僅當(dāng)P為AM與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入橢圓方程得，又x〈0,所以點(diǎn)P坐標(biāo)為 例2已知P,為雙曲線C：右支上兩點(diǎn)，延長線交右準(zhǔn)線于K,P.延長線交雙曲線于Q,(.為右焦點(diǎn))。求證：ZF］K=ZKF］Q. ［證明］記右準(zhǔn)線為l,，作PDl于D,于E,因?yàn)?/PD,貝9，又由定義，所以 |PF||PD||PK| ——-—，由三角形外角平分線定理知，F(xiàn)K為ZPFP的外角平分線， |P

27、'F||P'E||P'K|11 1 所以Z=ZKFxQo 2. 求軌跡問題。 例3已知一橢圓及焦點(diǎn)F,點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求線段FA中點(diǎn)P的軌跡方程。 ［解法一］利用定義，以橢圓的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系,設(shè)橢圓方程：=1(a〉b〉0).F坐標(biāo)為(-c,0).設(shè)另一焦點(diǎn)為。連結(jié)，OP，貝V。所以|FP|+|P0|=(|FA|+|A|)=a. 所以點(diǎn)P的軌跡是以F,0為兩焦點(diǎn)的橢圓(因?yàn)閍〉|FO|=c),將此橢圓按向量m=(,0)平移， x2y2 得到中心在原點(diǎn)的橢圓：——+二1。由平移公式知，所求橢圓的方程為 a2b2 T"4 ［解法二］相關(guān)點(diǎn)

28、法。設(shè)點(diǎn)p(x,y),A(X］,y1),貝V，即x1=2x+c,y1=2y.又因?yàn)辄c(diǎn)A在橢 /c￥ 4x+_ V2丿4y2 圓上，所以代入得關(guān)于點(diǎn)P的方程為+=1。它表示中心為，焦點(diǎn)分別為 a2b2 F和0的橢圓。 例4長為a,b的線段AB,CD分別在x軸，y軸上滑動(dòng)，且A,B,C,D四點(diǎn)共圓，求此動(dòng)圓圓心P的軌跡。 ［解］設(shè)P(x,y)為軌跡上任意一點(diǎn)，A,B,C,D的坐標(biāo)分別為A(x-,0),B(x+,0),C(0,y-),D(0,y+),記0為原點(diǎn)，由圓幕定理知|0A卜|OB|=|OC|?|0D|，用坐標(biāo)表示為，即 當(dāng)a=b時(shí)，軌跡為兩條直線y=x與y=-x； 當(dāng)

29、a>b時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的兩條等軸雙曲線； 當(dāng)a

30、 —［兀A 所以tan0-=J31+tan0-tan0—廳兩邊平方，再將①，②代入得。即為所求。 _I3丿_ 3. 定值問題。 例6過雙曲線(a〉0,b>0)的右焦點(diǎn)F作BB軸，交雙曲線于B，B兩點(diǎn)，B與左焦點(diǎn)F 121221連線交雙曲線于B點(diǎn)，連結(jié)Bp交x軸于H點(diǎn)。求證：H的橫坐標(biāo)為定值。 ［證明］設(shè)點(diǎn)B，H，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(aseca,btana),(x°,0),(c,0)，貝V片，B『B? 的坐標(biāo)分別為(-c,0),(c,),(c,)，因?yàn)槠琀分別是直線B2F，BB1與x軸的交點(diǎn)，，所以 abab+acsina c—,x—. 2asina—bcosa0asina+b

31、cosa a2b(b+csina) 所以cx— 02a2sin2a+absinacosa—b2cos2a a2b(b+csina) a2sin2a+absinacosa—b2+c2sin2a a2b(b+csina) asina(asina+bcosa)+(csina一b)(csina+b) ..a(b+csina) 由①得asina+bcosa—, x 0 代入上式得cx0 a2b a2sinaz.八 (csina-b) x 0 即(定值)。 注：本例也可借助梅涅勞斯定理證明，讀者不妨一試。 例7設(shè)拋物線y2=2px(p〉0)的

32、焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在準(zhǔn)線上，且BC//x軸。證明：直線AC經(jīng)過定點(diǎn)。 ［證明］設(shè)，貝V,焦點(diǎn)為，所以”，。由于，所以?y2-yi=0，即=0o因?yàn)?，所以。所以，即? 所以，即直線AC經(jīng)過原點(diǎn)。21例8橢圓上有兩點(diǎn)A，B,滿足OAOB,O為原點(diǎn)，求證：為定值。 ［證明］設(shè)|0A|=r］,|0B|=r2，且ZxOA=0，厶0B二,則點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(ricos0,—sin0),B(-r2sin0,r2cos0)。由A,B在橢圓上有 r2cos29r2sin29一r2sin29r2cos29 1 +亠 =1,- +- ) a2 b2

33、 a2 b2 即① ② ①+②得 1 IOAI2 IOBI2 11 -+(定值)。a2b2 4．最值問題。 例9設(shè)A,B是橢圓x2+3y2=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OAOB(O為原點(diǎn))，求|AB|的最大值與最小值。 ［解］由題設(shè)a=1，b=,記|OA|=r1,|OB|=r2,，參考例8可得=4。設(shè) 11111 m=|AB|2=r2+r2=(r2+r2)(+)=(2+12+), 12412r2r24t2 12 1cos29sin291a2-b2 因?yàn)橐?+=+sin29，且a2>b2，所以，所以bWrWa,同理 r2a2b2a2a2b21 1 b

34、Wr2Wa.所以。又函數(shù)f(x)=x+-在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=1即|OA|=|OB|時(shí)，|AB|取最小值1；當(dāng)或時(shí)，|AB|取最大值。 例10設(shè)一橢圓中心為原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，若圓C：1上點(diǎn)與這橢圓上點(diǎn)的最大距離為，試求這個(gè)橢圓的方程。 ［解］設(shè)A,B分別為圓C和橢圓上動(dòng)點(diǎn)。由題設(shè)圓心C坐標(biāo)為，半徑|CA|=1,因?yàn)閨AB|W|BC|+|CA|=|BC|+1，所以當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C共線，且|BC|取最大值時(shí)，|AB|取最大值，所以|BC|最大值為 因?yàn)?；所以可設(shè)橢圓半長軸、半焦距、半短軸長分別為2t,,t,橢圓方程為，并設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為B(2tcos0,tsin0)

35、，貝|BC|2=(2tcos0)2+=3t2sin20-3tsin0++4t2=-3(tsin0+)2+3+4t2. 若，則當(dāng)sin0=-1時(shí)，|BC|2取最大值t2+31+,與題設(shè)不符。 若t>,則當(dāng)sin0二時(shí),|BC|2取最大值3+412，由3+412=7得t=1.所以橢圓方程為。 5．直線與二次曲線。 例11若拋物線y=ax2-1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，試求a的取值范圍。［解］拋物線y=ax2-1的頂點(diǎn)為（0,-1），對(duì)稱軸為y軸，存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱兩點(diǎn)的條件是存在一對(duì)點(diǎn)P（xi，yi）,（-y^-X］），滿足yi=a且-乂嚴(yán)㈠］）2-1,相減得xJy^

36、aO,因?yàn)镻不在直線x+y=0上，所以xJy^O,所以1=a（xi-yi），即xi=yi+所以此方程有不等實(shí)根，所以，求得，即為所求。 例12若直線y=2x+b與橢圓相交，（1）求b的范圍；（2）當(dāng)截得弦長最大時(shí)，求b的值。［解］二方程聯(lián)立得17x2+16bx+4（b2-l）=0.由A〉0,得＜b＜；設(shè)兩交點(diǎn)為P（xi，yi）,Q（x2，y2）， 4：'17-b2 由韋達(dá)定理得〔PQl*求證:C,C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。 12 +k21x—xx■。所以當(dāng)b=0時(shí)，|pq|最大。 1217 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1. A為半徑是R的定圓00上一定點(diǎn)，B為00上任一點(diǎn)，點(diǎn)P是A關(guān)于B的對(duì)稱

37、點(diǎn)，則點(diǎn) P的軌跡是. 2. 一動(dòng)點(diǎn)到兩相交直線的距離的平方和為定值m2（〉0），則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是. 3?橢圓上有一點(diǎn)P,它到左準(zhǔn)線的距離是10,它到右焦點(diǎn)的距離是. 4. 雙曲線方程，則k的取值范圍是. 5. 橢圓，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，橢圓上的點(diǎn)P滿足ZF1PF2=600，貝仏F』F2的面積是. 6. 直線l被雙曲線所截的線段MN恰被點(diǎn)A（3，-1）平分，則l的方程為. 7. △ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y2=32x上，點(diǎn)A（2，8），且4ABC的重心與這條拋物線 的焦點(diǎn)重合，則直線BC的斜率為. 8. 已知雙曲線的兩條漸近線方程為3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一條

38、準(zhǔn)線方程為5y+4=0， 則雙曲線方程為. 9. 已知曲線y2=ax，與其關(guān)于點(diǎn)（1,1）對(duì)稱的曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如果過這兩個(gè)交 點(diǎn)的直線的傾斜角為450,那么a=. 10. P為等軸雙曲線x2-y2二a2上一點(diǎn)，的取值范圍是. 11?已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)F1,F2,設(shè)P是它們的一個(gè)焦點(diǎn)，求ZF1PF2和APF1F2的面積。 12. 已知（i）半圓的直徑AB長為2r；（ii）半圓外的直線l與BA的延長線垂直，垂足為T,設(shè)|AT|=2a（2a〈）；（iii）半圓上有相異兩點(diǎn)M,N,它們與直線l的距離|MP|,|NQ|滿足求證：|AM|+|AN|=|AB|。 13. 給定

39、雙曲線過點(diǎn)A（2,1）的直線l與所給的雙曲線交于點(diǎn)P和P，求線段PP的中 1212點(diǎn)的軌跡方程。 四、高考水平測(cè)試題 1.雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程是=0,則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 2. 過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，若A,B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別 是A1,B1，則zA1FB1=. 3. 雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為.，頂點(diǎn)為A1,A2,P是雙曲線上任一點(diǎn)，以|PF1|為直徑的圓與以 |A1A2|為直徑的圓的位置關(guān)系為. 4. 橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線方程為x=11,橢圓上有一點(diǎn)M橫坐標(biāo)為-1,M 到此準(zhǔn)線異側(cè)的焦點(diǎn)F］的距離為.

40、 5. 4a2+b2=1是直線y=2x+1與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)的條件. 6. 若參數(shù)方程（t為參數(shù)）表示的拋物線焦點(diǎn)總在一條定直線上，這條直線的方程是 7. 如果直線y=kx+l與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則m的范圍是. 8．過雙曲線的左焦點(diǎn)，且被雙曲線截得線段長為6的直線有條. 9. 過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓恰好通過橢圓的右焦 點(diǎn)F,則直線l的傾斜角為. 10. 以橢圓x1問：是否存在過C2的焦點(diǎn).的弦人￡,使4AOB的面積有最大值或最小值？若存在， 求直線AB的方程與S的最值，若不存在，說明理由。 △AOB +a2y2二a2(a〉l)的一個(gè)頂點(diǎn)C(0,1)為直角頂點(diǎn)作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三 角形ABC，這樣的三角形最多可作個(gè). 11. 求橢圓上任一點(diǎn)的兩條焦半徑夾角8的正弦的最大值。 12. 設(shè)F,O分別為橢圓的左焦點(diǎn)和中心，對(duì)于過點(diǎn)F的橢圓的任意弦AB,點(diǎn)0都在以AB為直徑的圓內(nèi)，求橢圓離心率e的取值范圍。 13. 已知雙曲線C:(a>0),拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)0,C的焦點(diǎn)是C的左焦點(diǎn)F。 12211