2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第十五講 統(tǒng)計(jì)的思想方法

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1、2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座第十五講統(tǒng)計(jì)的思想方法 20世紀(jì)90年代，美國麻省理工學(xué)院教授尼葛洛龐帝寫過一本暢銷全球的《數(shù)字化生存》一書．事實(shí)上，我們的生活、工作離不開數(shù)據(jù)，要做到心中有數(shù)、用數(shù)據(jù)說話是信息社會對人的基本要求． 統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門研究如何收集、整理、分析數(shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)上作出推斷的科學(xué)． 隨機(jī)抽樣與統(tǒng)計(jì)推斷是統(tǒng)計(jì)中最重要的思想方法，也是認(rèn)識客觀世界的事物和現(xiàn)象的方法之一．即用樣本的某種特征去估計(jì)總體的相應(yīng)特征，用樣本的平均水平、波動情況、分布規(guī)律等特征估計(jì)總體的平均水平、波動情況和分布規(guī)律． 【例題求解】 【例1】現(xiàn)有A,B兩個(gè)班級，每個(gè)班級各有45名學(xué)生參加

2、一次測驗(yàn).每名參加者可獲得0,1,2,3,4,5,6,7,8,9分這幾種不同的分值中的一種.測試結(jié)果A班的成績?nèi)缦卤硭?，B班的成績?nèi)鐖D所示． 思路點(diǎn)撥對于(2),數(shù)一數(shù)兩班在某一分?jǐn)?shù)以上的人數(shù)即可,憑直覺與估計(jì)得出答案. 注：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的特征數(shù),但是它們描述集中趨勢的側(cè)重點(diǎn)是不同的： (1) 平均數(shù)易受數(shù)據(jù)中少數(shù)異常值的影響,有時(shí)難以真正反映“平均”； (2) 若一組數(shù)據(jù)有數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn),則常用眾數(shù)來刻畫這組數(shù)據(jù)的集中趨勢. 【例2】已知數(shù)據(jù)、、的平均數(shù)為,、、的平均數(shù)為,則數(shù)據(jù)、、的平均數(shù)為() A.2a+3bB.C.6a+9bD.2

3、a+b 思路點(diǎn)撥運(yùn)用平均數(shù)計(jì)算公式并結(jié)合已知條件導(dǎo)出新數(shù)據(jù)的平均數(shù). 例3】某班同學(xué)參加環(huán)保知識競賽.將學(xué)生的成績(得分取整數(shù))進(jìn)行整理后分成五組,繪成頻率分布直方圖(如圖)．圖中從左到右各小組的小長方形的高的比是1：3：6：4：2 最右邊—組的頻數(shù)是6．結(jié)合直方圖提供的信息，解答下列問題： (1) 該班共有多少名同學(xué)參賽? (2) 成績落在哪組數(shù)據(jù)范圍內(nèi)的人數(shù)最多，是多少? (3) 求成績在60分以上(不含60分)的學(xué)生占全班參賽人數(shù)的百分率． 思路點(diǎn)撥讀圖、讀懂圖，從圖中獲取頻率、組距等相關(guān)信息． 【例4】為估計(jì)，一次性木質(zhì)筷子的用量，xx年從某縣共600家高、中、

4、低檔飯店中抽取10家作樣本，這些飯店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為：0.63.72.21.52.81.71.22.13.21.0 (1) 通過對樣本的計(jì)算，估計(jì)該縣XX年消耗多少盒一次性筷子(每年按350個(gè)營業(yè)日計(jì)算)； (2) xx年又劉該縣一次性木質(zhì)筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果是10個(gè)樣本飯店每個(gè)飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒，求該縣xx年、xx年這兩年一次性木質(zhì)筷子用量平均每年增長的百分率(xx年該縣飯店數(shù)、全年?duì)I業(yè)天數(shù)均與xx年相同)； (3) 在(2)的條件下，若生產(chǎn)一套中小學(xué)生桌椅需木材0.07米3,求該縣xx年使用一次性筷子的木材可以生產(chǎn)多少套學(xué)生桌

5、椅．計(jì)算中需用的有關(guān)數(shù)據(jù)為： 每盒筷子100雙，每雙筷子的質(zhì)量為5克，所用木材的密度為0.5X103千克/米3； (4) 假如讓你統(tǒng)計(jì)你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統(tǒng)計(jì)知識去做，簡要地用文字表述出來． 思路點(diǎn)撥用樣本的平均水平去估計(jì)總體的平均水平． 注：(1)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的過程是：從實(shí)際問題中獲取必要的信息——分析處理有關(guān)信息——建立數(shù)學(xué)模型——解決這個(gè)數(shù)學(xué)問題． (2)通過圖表獲取數(shù)據(jù)信息，收集、整理分析數(shù)據(jù)，再運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量的意義去分析，這是用統(tǒng)計(jì)的思想方法解決問題的基本方式． 思路點(diǎn)撥 【例5】編號為1到25的25個(gè)彈珠被分放在兩個(gè)籃子A和B中，

6、15號彈珠在籃子A中，把這個(gè)彈珠從籃子A移到籃子B中，這時(shí)籃子A中的彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)等于原平均數(shù)加，B中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)也等于原平均數(shù)加，問原來在籃子A中有多少個(gè)彈珠？思路點(diǎn)撥用字母分別表示籃子A、B彈珠數(shù)及相應(yīng)的平均數(shù)，運(yùn)用方程、方程組等知識求 解． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．某校初二年級全體320名學(xué)生在電腦培訓(xùn)前后各參加了一次水平相同的考試，考分都以同一標(biāo)準(zhǔn)劃分成“不合格”、“合格”、“優(yōu)秀”三個(gè)等級．為了了解電腦培訓(xùn)的效果，用抽簽方式得到其中32名學(xué)生的兩次考試考分等級，所繪制的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．試結(jié)合圖示信息回答下列問題： (1) 這32名學(xué)生培訓(xùn)前考分的中位數(shù)所在的等級是，培訓(xùn)后考分

7、的中位數(shù)所在的等 級是? (2) 這32名學(xué)生經(jīng)過培訓(xùn)，考分等級“不合格”的百分比由—下降到 ⑶估計(jì)該校整個(gè)初二年級中，培訓(xùn)后考分等級為“合格”與“優(yōu)秀”的學(xué)生共名. (4) 你認(rèn)為上述估計(jì)合理嗎?理由是什么？ 答：，理由. 人數(shù) W口培訓(xùn)前 歸培訓(xùn)后 昜參 不合格合格優(yōu)秀等級 2．某商店3、4月份出售同一品牌各種規(guī)格的空調(diào)銷售臺數(shù)如下表：根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答： (1) 商店平均每月銷售空調(diào)(臺)； (2) 商店出售的各種規(guī)格的空調(diào)中，眾數(shù)是(匹)； (3) 在研究6月份進(jìn)貨時(shí)，商店經(jīng)理決(匹)的空調(diào)要多進(jìn)；(匹)的空調(diào)要少 進(jìn). 3．為了了解某中學(xué)初三年級25

8、0名學(xué)生升學(xué)考試的數(shù)學(xué)成績，從中抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行分析，求得．下面是50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的頻率分布表： 分組 頻數(shù)累計(jì) 頻數(shù) 頻率 60.5?70.5 正 3 70.5?80.5 正正 6 0.12 80.5?90.5 正正 9 0.18 90.5?100.5 正正正正 17 0.34 100.5?110.5 正正 0.2 110.5?120.5 正 5 0.1 合計(jì) 50 1 根據(jù)題中給出的條件回答下列問題： (1)在這次抽樣分析的過程中，樣本是 （2）頻率分布表中的數(shù)據(jù)二,=； （3）估計(jì)該校初三年級這

9、次升學(xué)考試的數(shù)學(xué)平均成績約為分； （4）耷這次升學(xué)考試中，該校初三年級數(shù)學(xué)成績在90.5?100.5范圍內(nèi)的人數(shù)約為人. 4.小明測得一周的體溫并登記在下表（單位：。C） 星期 日 -一一 二 三 四 五 六 周平均體溫 體溫 36.6 36.7 37.0 37.336.9 37.1 36.9 其中星期四的體溫被墨跡污染，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可得此日的體溫是（） A.36.?CB.36.8CC.36.9CD.37.0C 5.甲、乙兩班舉行電腦漢字輸入速度比賽，參加學(xué)生每分鐘輸入漢字的個(gè)數(shù)經(jīng)統(tǒng)計(jì)計(jì)算后 填入下表： 班級 參加人數(shù) 中位數(shù) 方差

10、 平均字?jǐn)?shù) 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 某同學(xué)根據(jù)上表分析得出如下結(jié)論：①甲、乙兩班學(xué)生成績的平均水平相同；②乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)（每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)三150個(gè)為優(yōu)秀）；③甲班的成績的波動情況比乙班的成績的波動大，上述結(jié)論正確的是（） A.①②③B.①②C.①③D.②③ 6.今年春季，我國部分地區(qū)SARS流行，黨和政府采取果斷措施，防治結(jié)合，很快使病情得到控制.下圖是某同學(xué)記載的5月1日至30日每天全國的SARS新增確診病例數(shù)據(jù)圖，將圖中記載的數(shù)據(jù)每5天作為一組，從左至右分為第一組至第六組，下列說法：①第一組的平均數(shù)

11、最大，第六組的平均數(shù)最?。虎诘诙M的中位數(shù)為138；③第四組的眾數(shù)為28；其中正確的有（） A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè) 7.某風(fēng)景區(qū)對5個(gè)旅游景點(diǎn)的門票價(jià)格進(jìn)行了調(diào)整，據(jù)統(tǒng)計(jì)，調(diào)價(jià)前后各景點(diǎn)的游客人數(shù)基本不變.有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示： H1— A B C D E 原價(jià)（元） 10 10 15 20 25 現(xiàn)價(jià)（元） 5 5 15 25 30 平均日慮（千人） 1 1 2 3 2 （1）該風(fēng)景區(qū)稱調(diào)整前后這5個(gè)景點(diǎn)門票的平均收費(fèi)不變，平均日總收入持平.問風(fēng)景區(qū)是怎樣計(jì)算的？ （2）另一方面，游客認(rèn)為調(diào)整收費(fèi)后風(fēng)景區(qū)的平均日總收

12、入相對于調(diào)價(jià)前，實(shí)際上增加了約9.4%.問游客是怎樣計(jì)算的？ （3）你認(rèn)為風(fēng)景區(qū)和游客哪一個(gè)的說法較能反映整體實(shí)際？8.甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次，每次射靶的成績情況如圖所示. 1）請?zhí)顚懴卤? 平均數(shù) 方差 中位數(shù) 命中9環(huán)以上次數(shù) 甲 7 1.2 1 乙 5.4 個(gè)（環(huán)數(shù)） 甲；乙：'一■ 0987654321 （2）請從下列四個(gè)不同的角度對這次測試結(jié)果進(jìn)行分析.①從平均數(shù)和方差相結(jié)合看； ② 從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看（分析誰的成績好些）； ③ 從平均數(shù)和命中9環(huán)以上次數(shù)相結(jié)合看（分析誰的成績好些） ④ 從折線圖上兩

13、人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看（分析誰更有潛力）. 9．明湖區(qū)一中對初二年級女生仰臥起坐的測試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，將數(shù)據(jù)整理后，畫出如下頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、第二、第三、第四、第六小組的頻率依次是0.10、0.15、0.20、0.30、0.05，第五小組的頻數(shù)是36，根據(jù)所給的圖填空： （1）第五小組的頻率—，請補(bǔ)全這個(gè)頻率分布圖； （2）參加這次測試的女生人數(shù)是；若次數(shù)在24（含24次）以上為達(dá)標(biāo)（此標(biāo)準(zhǔn)為中考 體育標(biāo)準(zhǔn)），則該校初二年級女生的達(dá)標(biāo)率為 （3）請你用統(tǒng)計(jì)知識，以中考體育標(biāo)準(zhǔn)對明湖區(qū)十二所中學(xué)初二女生仰臥起坐成績的達(dá)標(biāo)率作一個(gè)估計(jì). 10．我國于2000

14、年11月1日起進(jìn)行了第五次全國人口普查的登記工作，據(jù)第五次人口普查，我國每10萬人中擁有各種受教育程度的人數(shù)如下：具有大學(xué)程度的為3611人；具有高中程度的為11146人；具有初中程度的為33961人；具有小學(xué)程度的為35701人． （1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下表： （2）以下各示意圖中正確的是（）． （將正確示意圖數(shù)字代號填在括號內(nèi)） 毎10方人中所占汀分比 大學(xué)高中初中小學(xué) 40% 30% 40% 130強(qiáng) L|—— 每10萬人中所占百分比 受教育程度 每10萬人中所占百分比（％）（精確到0.01） 大學(xué)程度 高中程度 初

15、中程度 小學(xué)程度 11．新華高科技股份有限公司董事會決定今年用13億資金投資發(fā)展項(xiàng)目，現(xiàn)有6個(gè)項(xiàng)目可供選擇（每個(gè)項(xiàng)目或者被全部投資，或者不被投資），各項(xiàng)目所需投資金額和預(yù)計(jì)年均收益如下表： 事故類型 事故數(shù)量 死亡人數(shù)（單位：人） 死亡人數(shù)占各類事故總死亡人數(shù)的百分比 火災(zāi)事故（不含森林草原火災(zāi)） 54773 610 鐵路路外傷亡事故 1962 1409 工礦企業(yè)傷亡事故 1417 1639 道路交通事故 115815 17290 合計(jì) 173967 20948 12.新華社4月3日發(fā)布了一則由國家安全生產(chǎn)監(jiān)督管理

16、局統(tǒng)計(jì)的信息；xx年1月至2月全國共發(fā)生事故17萬多起，各類事故發(fā)生情況具體統(tǒng)計(jì)如下： 項(xiàng)目 A B C D E F 投資（億元） 5 2 6 4 6 8 收益（億元） 0.55 0.4 0.6 0.4 0.9 l 如果要求所有投資的項(xiàng)目的收益總額不得低于1．6億元，那么，當(dāng)選擇的投資項(xiàng)目是時(shí)，投資的收益總額最大． （1）請你計(jì)算出各類事故死亡人數(shù)占總死亡人數(shù)的百分比，填入上表（精確到0.01）； （2）為了更清楚地表示出問題（1）中的百分比，請你完成下面的扇形統(tǒng)計(jì)圖； （3）請根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識提出問題（不需要作解答，也不要解釋，但所提

17、的問題應(yīng)是利用表中所提供數(shù)據(jù)能求解的）． 13. 將最小的31個(gè)自然數(shù)分成A、B兩組，10在A組中，如果把10從A組移到B組，則A組中各數(shù)的算術(shù)平均數(shù)增加，B組中各數(shù)的算術(shù)平均數(shù)也增加?問A組中原有多少個(gè)數(shù)？ 14. 某次數(shù)學(xué)競賽共有15道題，下表是對于做對（=0,1，2???15）道題的人數(shù)的一個(gè)統(tǒng)計(jì),如果又知其中做對4道題和4道以上的學(xué)生每人平均做對6道題，做對10道題和10道題以下的學(xué)生每人平均做對4道題，問這個(gè)表至少統(tǒng)計(jì)了多少人? n 0 1 2 3 ??? 12 13 14 15 做對n道題的人數(shù) 7 8 10 21 ??? 15 6 3

18、1 參考答案 0続計(jì)的懇想方法 【例題求解】 例1(1〉A(chǔ)$(2)4? 例2選A 例3(1)各組頻數(shù)依次是3、9、18、12、6,共有3+9+18+12+6=48名學(xué)生. (2) 成績落在70.5?80.5數(shù)據(jù)范圍內(nèi)的人數(shù)最多，人數(shù)為18人. (3) 60分以上的人數(shù)是45,所占全班參賽人數(shù)的百分率為||xi00%=93?75%? 例4(1)7-2.0^縣2000年消耗一次性筷于為2X600X350=420000(盒)； (2) 設(shè)平均每年增長的百分率為丁,則2(1+x)2=242,解得x=0.1=10%(負(fù)值已舍去八 (3) 可生產(chǎn)桌椅套數(shù)為7260(套卄(4)略?

19、 例S設(shè)原來籃子A中有彈珠工個(gè)，則籃子B中有彈珠(25-x)個(gè)，又設(shè)原來A中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)為a,B中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)為6,由題意得 代工+(25—?r)6=1+2+… ???+25=325① ax—151 由②得 ?r+59a_a ④; 1aA 5X—14 ② 4 b(25—工)+15,1 由③得 ,34+h ⑤. h=— 26—x4 ③ 4 將④、⑤代入①，得寺("59)才一#(工+34)工+孕(工+34)=325?解得工=9,即原來籃子A中有9個(gè)彈珠. 【學(xué)力訓(xùn)練】 1.(I)不合格?合格;(2)75

20、%,25%j(3)240j(4)合理，該樣本是隨機(jī)樣本.2.(1)56；(2)1.2；(3)1.2,2 3?(1)50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績；(2)0.06,10,(3)94.5；(4)854.D5?A6.D 7?(1)調(diào)整前后的平均價(jià)格均為16元,平均日總收入持平； 、 (2) 游客計(jì)算原平均總收入160(千元)，現(xiàn)平均總收入175(千元)，增長了I?需紙9.4%； (3) 游客的說法較能反映整體實(shí)際. 8. ⑴略 (2)①???平均數(shù)相同，Sjvs」.???甲成績比乙穩(wěn)定. ② ???平均數(shù)相同，甲的中位數(shù)V乙的中位數(shù)，???乙的成績比甲好些 ③ ：?平均數(shù)相同，命中9環(huán)以上的

21、次數(shù)甲比乙少，.??乙的成績比甲好些 ④ 甲的成績在平均數(shù)上下波動，而乙處于上升勢頭，從第4次以后就沒有比甲少的情況發(fā)生■乙較有潛力? 9. (1)0.20|(2)180|55%>(3)均為55%? 10?(1)略M2)④11.A、B、E 12?(1)自上至下依次填寫，3%,7%,8%,83%；(2)圖形正確(能大致反映出比例情況即可)； (3)請你計(jì)算出道路交通事故占事故總量的百分比等. 13?設(shè)A組中有怡+1個(gè)數(shù)?,工1,???□*,其中x0=10,B組中有30—&個(gè)數(shù)?^*4-1MA+2，…，無309依題意有：心+乜；二?+噸 10+工】+???+”110+,+1才30_?

22、+】+???+工30|1 T+lT，31730^十T 即2】+工2亠…+如_10|14+1+…+為0_101 卩—&+1)mT，(30—上)(31—怡)_喬刁_~2 工日~丄一丄丄—爐+21〃小丄丄—330+41&—段金 于是+比+?"+工”g，①，工*+】+…+為0=2②， 但貢広=486,因而由①、②得一330+62?=2X486?解得A21,故A組中原有22個(gè)數(shù)? 由詁計(jì)表可知，做對0?3道題的總?cè)藬?shù)為7+8+10+21=46(人)?他們做對題目數(shù)的總和為7X0+8X1+10X2+21X3=91(題)；做對12?15道題的總?cè)藬?shù)為15+6+3+1=25(人〉，他們做對題目數(shù)

23、的和為15X12+6X134-3X14+1X15=315(題).以工。5，??5分別表示做對°道、1道，…，15道題目的人數(shù)，由題意得 4死+5心十…+15工巧=6°竝十刀十2工2+…十lOxio?4. 才4+氐+…+攵15'Ho+工】+広2+…+工10 即4*4+5九+???+15吧=6（g十才；，十…+刃5）；0工0十工】十乂口lOxio=4（工0十衛(wèi)2十…十Qo〉? 兩式相減得IIth+12工12+…+15工戸—（不+2工2+3乜） =6（工4+工5+…+j"15）—4（Xo+文1+???+."） =6（rii+x12+???+工15）—4（工°+更1+乂2+才3）+2（乂4

24、+王5+***+xio） =4（hli+x12+-**+x］5）—6（広0+工1+工2+工3）+2（北0+勸+???+xiP） =4久口+4（工12+勸3+勸占+工15）—6（工0+^1+工2+広3）+2（如+工】+…+兀13） 而jCq+x\+工2+及=4652+xb+tu+心=15?0工。+工］+2^2+3工3=91,12“+13工捋+14/+15眄5=315,代入上式得11tu+315—91=4x11十4X25一6><46+2（工°+工1+…+工卩）? 故jr0+4+…十工1$=200+3.5xii（rii鼻0）?因此，當(dāng)工11=0時(shí)，統(tǒng)計(jì)的總?cè)藬?shù)氐十工］+—4-X15最少為200人.