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1、2019-2020年九年級數學競賽輔導講座第九講坐標平面上的直線
一般地，若（，是常數，），則叫做的一次函數，它的圖象是一條直線，函數解析式6
中的系數符號，決定圖象的大致位置及單調性（隨的變化情況）．如圖所示：
一次函數、二元一次方程、直線有著深刻的聯系，任意一個一次函數都可看作是關于、的一個二元一次方程；任意一個關于、的二元一次方程，可化為形如（）的函數形式．坐標平面上的直線可以表示一次函數與二元一次方程，而利用方程和函數的思想可以研究直線位置關系，求坐標平面上的直線交點坐標轉化為解由函數解析式聯立的方程組．【例題求解】
【例1】如圖，在直角坐標系中，直角梯形OABC的頂點A（
2、3，0）、B（2，7），P為線段OC上一點，若過B、P兩點的直線為，過A、P兩點的直線為，且BP丄AP，則二.
12
思路點撥解題的關鍵是求出P點坐標，只需運用幾何知識建立OP的等式即可.
【例2】設直線（為自然數）與兩坐標軸圍成的三角形面積為（=1，2,+S的值為（）
xx
A．1B．C．D．
思路點撥求出直線與軸、軸交點坐標，從一般形式入手，把用含的代數式表示．
【例3】某空軍加油飛機接到命令，立即給另一架正在飛行的運輸飛機進行空中加油．在
加油過程中，設運輸飛機的油箱余油量為Q噸，加油飛機的加油油箱余油量為Q噸，加油12
時間為分鐘，Q］、Q2與之間的函數圖象如圖所示，
3、結合圖象回答下列問題：
（1）加油飛機的加油油箱中裝載了多少噸油?將這些油全部加給運輸飛機需多少分鐘？
（2）求加油過程中，運輸飛機的余油量Q］（噸）與時間（分鐘）的函數關系式；
（3）運輸飛機加完油后，以原速繼續(xù)飛行，需10小時到達目的地，油料是否夠用?說明理由．思路點撥對于（3），解題的關鍵是先求出運輸飛機每小時耗油量．
注：(1)當自變量受限制時，一次函數圖象可能是射線、線段、折線或點，一次函數當自變量取值受限制時，存在最大值與最小值，根據圖象求最值直觀明了．
(2) 當一次函數圖象與兩坐標軸有交點時，就與直角三角形聯系在一起，求兩交點坐標并能發(fā)掘隱含條件是解相關綜合題的基
4、礎．
【例4】如圖，直線與軸、y軸分別交于點A、B,以線段AB為直角邊在第一象限內作等腰直角△ABC,ZBAC=90°，如果在第二象限內有一點P(,)，且△ABP的面積與AAABC的面積相等，求的值．
思路點撥利用Lbp=Lbc的三角形面積和、差．
注：解函數圖象與面積結合的問題，關鍵是把相關三角形用邊落在坐標軸的其他三角形面積來表示，這樣面積與坐標就建立了聯系．
【例5】在直角坐標系中，有以A(一1,一1),B(l,—1),C(1,1),D(—1,1)為頂點的正方形，設它在折線上側部分的面積為S,試求S關于的函數關系式，并畫出它們的圖象.
思路點撥先畫出符合題意的圖形,然后
5、對不確定折線及其中的字母的取值范圍進行分類討論,的取值決定了正方形在折線上側部分的圖形的形狀.
注：我們把有自變量或關于自變量的代數式包含在絕對值符號在內的一類函數稱為絕對值函數.去掉絕對值符號,把絕對值函數化為分段函數,這是解絕對值的一般思路.
學歷訓練
1. 一次函數的自變量的取值范圍是-3WW6,相應函數值的取值范圍是-5WW-2,則這個函數的解析式為
2. 已知k二也工=上出，+b+c，且，則關于自變量的一次函數的圖象一定經過第
cba
象限.
3. 一家小型放影廳的盈利額(元)與售票數之間的關系如圖所示,其中超過150人時,要繳
納公安消防保險費50元.試根據關系圖回
6、答下列問題：
(1) 當售票數滿足0〈W150時，盈利額(元)與之間的函數關系式.
(2) 當售票數滿足150〈xW200時，盈利額(元)與之間的函數關系式是
影廳要獲得最大利潤200元，此時售票數應為
（4）當售票數滿足時，此時利潤比=150時多.
4. 如圖，在平行四邊形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一點，過P作EF〃AC,與
平行四邊形的兩條邊分別交于點E，F,設BP=，EF=，則能反映與之間關系的圖象是（）
5.
6.小李以每千克0.8元的價格從批發(fā)市場購進若干千克西瓜到市場去銷售，在銷售了部分
2
5W
列圖象中，
7、不可能是關于的一次函數的圖象是（
C.
西瓜之后，余下的每千克降價0.4元，全部售完.銷售金額與賣瓜的千克數之間關系如圖所
示，那么小李賺了（）
A.32元B.36元
7. 某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后2小時時血液中含藥量最高，達每毫升6微克（1微克=10-3毫克），接著逐步衰減，10小時時血液中含藥量為每毫升3微克，每毫升血液中含藥量（微克）隨時間（小時）的變化如圖所示，當成人按規(guī)定劑量服用后.
⑴分別求出W2和三2時與之間的函數關系式；
（2）如果每毫升血液中含藥量為4微克或4微克以上時在治療疾病時是有效的，那么這個
8、有效時間是多長?
8. 如圖，正方形ABCD的邊長是4,將此正方形置于平面直角坐標系0中，使AB在軸的正半軸上，A點的坐標是（1,0）
⑴經過C點的直線與軸交于點E,求四邊形AECD的面積；
（2）若直線經過點E且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分，求直線的方程，并在坐標系中畫出直線．
9. 如圖，已知點A與B的坐標分別為（4,0）,（0，2）
（1）求直線AB的解析式.
（2）過點C（2,0）的直線（與軸不重合）與厶A0B的另一邊相交于點P,若截得的三角形與△A0B相似，求點P的坐標.
10. 如圖，直線與軸、y軸分別交于P、Q兩點，把△P0Q沿PQ翻折，點0落在R處，則點
9、
R的坐標是.
11. 在直角坐標系0中，軸上的動點M（，0）到定點P（5，5）、Q（2，1）的距離分別為MP和MQ,那么，當MP+MQ取最小值時，點M的橫坐標為.
12. 如圖，在直角坐標系中，矩形0ABC的頂點B的坐標為（15,6）,直線恰好將矩形0ABC分成面積相等的兩部分，那么b=—
13. 如果一條直線經過不同的三點A（a,b）,B（b,a）,C（a-b,b-a）,那么，直線經過（）象限．
A.二、四B.—、三C.二、三、四D.一、三、四
14. 一個一次函數的圖象與直線平行，與軸、軸的交點分別為A、B,并且過點（一l,—25）,
則在線段AB（包括端點A、B）上
10、，橫、縱坐標都是整數的的點有（）
A.4個B.5個C.6個D.7個
15. 點A（一4,0）,B（2,0）是坐標平面上兩定點，C是的圖象上的動點，則滿足上述條件
的直角△ABC可以畫出（）
A.1個B.2個C.3個D.4個
16．有—個附有進、出水管的容器,每單位時間進、出的水量都是一定的,設從某時刻開始5分鐘內只進不出水,在隨后的15分鐘內既進水又出水,得到時間（分）與水量（升）之間的關系如下圖.若20分鐘后只出水不進水，求這時（即220）y與之間的函數關系式.
17.如圖，AAOB為正三角形，點B坐標為(2,0),過點C(一2,0)作直線交AO于D,交AB于E,且使△ADE
11、和厶DCO的面積相等，求直線的函數解析式.
18.在直角坐標系中，有四個點A(—8,3),B(—4,5),C(0,),D(,0),當四邊形ABCD的周長最短時，求的值．
19．轉爐煉鋼產生的棕紅色煙塵會污染大氣,某裝置可通過回收棕紅色煙塵中的氧化鐵從而降低污染,該裝置的氧化鐵回收率與其通過的電流有關．現經過試驗得到下列數據：
1)
2)
通過電流強度(單位A)
1
1.7
1.9
2.1
2.4
氧化鐵回收率(%)
75
79
88
87
78
如圖建立直角坐標系，用橫坐標表示通過的電流強度，縱坐標表示氧化鐵回收率．
I
將試驗所得數據在右圖所給的直角
12、坐標系中用點表示(注：該圖中坐標軸的交點代表點(1,70)；用線段將題(1)所畫的點從左到右順次連接,若用此圖象來模擬氧化鐵回收率y關于通過電流x的函數關系,試寫出該函數在1.7WxW2.4時的表達式；利用題(2)所得函數關系，求氧
85-
80-
75-
(1,70)
270)
(第25題)
化鐵回收率大于85%時，該裝置通過的電流應該控制的范圍(精確到0.1A).
20.如圖，直線OC、BC的函數關系式分別為和，動點P(x,0)在OB上移動(0〈〈3),過點P作直線與軸垂直．
(1) 求點C的坐標；
(2) 設厶OBC中位于直線左側部分的面積為S,寫出S與之間的函數
13、關系式；
(3) 在直角坐標系中畫出(2)中的函數的圖象；
(4) 當為何值時，直線平分△OBC的面積？
參考答案
[9]坐標平面上的直線
例
例
例
c
o
例
0
【例題求解】
例1或旦.設OP=x,由RtAPBCcoRtAAPO得？=解得x=\或丄=6.當P(0,l)時，B(2,7),A(3,0),直線
32工百
PB為力=3卄1,直線PA為刃=一*工+1；當P(0,6)時，B(2,7),A(3,0),則直線PB為力=茹+6,直線PA為y：
(1〉30噸，10分鐘;
(2)設Qi=kt+b,把(0,40)和(10,
14、69)代入得
s^aob=yvsAJjOP+s^u-s^Me=sAabp_y+y_^=2<解得
⑴當a/1時,y=|z-4+a的圖象與正方形ABCD沒有公共部分，S=0；
40=6仏=2.9■,一丿、
解得AQ,=2.9z+40(0p=_y?"
(2)當0￡a=l時,S=y(l-a)X2(l
15、—a)=(l—a)2;
⑶當—iWaVO時,s=2_2(1T叫(Ul￡12=2_(l+a円
—~2x+6.
(4)當a<-l時,S=2.
因此，S與a的函數關系式為：S=
(1一a)?
2—(1+a)
av—i)
(心)
(0■+
16、%
o4
(2)
8.(1)
=10(平方單位)
5
11.yQ(2,l)關于z軸對稱點Q'(2,-l),直線PQ'與軸交點即為M點.
2
(2)過點E及正方形對稱中心的直線即為所求直線，連AC、BD交于G,求得G(3,2),設直線I的方程為y^kx+b.代入E(2,0),G(3,2),得&=2,6=—4,故貢線/的方程為>=2x-4.
9-^=-y.r+2；⑵當CPt//AB時，P|(0,l)；當CP2//OB時，P?(2,1),當CP3丄AB時，戸(￥，丄)
把>=4分別代入y=Zx,y=—-^x+~得R=令,小=晉，由正比例函數和一次函數的性質,得t=x2-x1
17、=6(小時).這就是有效時間.
F(20)S—(AE+CD)?AD
丿6哄邊j^ARrij
5955
14.BAB為>==19),t—19是4的倍數，又一19=4x.每分鐘進水4升：當5
18、Q.
、
I
1
0
a
i
°
y
17. ■，設點E坐標為(Xo?>o),則S45E=2為.溝=亨'.又AB的解析式為_y=—>/3^(t—2),.?.$(>=—yf3(.xa
—2),得Zo="|",?，嚕').故直線l的解析式為(x+2>.
18. 作點A(—8,3)關于rr軸的對稱點A'(-8,-3),作點B(-4,5)關于y軸的對稱
19、點B'(4,5),直線A'B'的方程為$=手卄€■，直線A'B'與工軸交點Dim,O'),與y軸交點為C(O,n),可得加=一壬，
_7..m3
"—丁’故孑=_亍
(2)圖象解析式為
(45z+2.5
y=*_5z+97.5
I—30x4-150
(1.7W1.9)
(1.9Cx<2.1)
(2.4)
⑶當1.785,得1.885,得2.l85.
綜合上述可知：滿足要求時，該裝置的電流應控制在1-8A至
20、2.2A之間.
(1) C點坐標為(2,2)；
(2) 作CD丄'軸于點D.則D(2,0)
① 當0Vz=2時，設直線/交OC于點Q.則Q(jc,x)..\s=yx2.
② 當2
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