2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十二講 園冪定理

2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座第二十二講園冪定理相交弦定理、切割線定理、割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理圓冪定理實質(zhì)上是反映兩條相交直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)定理，其本質(zhì)是與比例線段有關(guān)相交弦定理、切割線定理、割線定理有著密切的聯(lián)系，主要體現(xiàn)在：1用運(yùn)動的觀點看，切割線定理、割線定理是相交弦定理另一種情形，即移動圓內(nèi)兩條相交弦使其交點在圓外的情況；2從定理的證明方法看，都是由一對相似三角形得到的等積式熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：【例題求解】【例1】如圖，PT切00于點T,PA交00于A、B兩點，且與直徑CT交于點D,CD=2,AD=3,BD=6，則PB=.思路點撥綜合運(yùn)用圓幕定理、勾股定理求PB長.注：比例線段是幾何之中一個重要問題，比例線段的學(xué)習(xí)是一個由一般到特殊、不斷深化的過程，大致經(jīng)歷了四個階段：(1) 平行線分線段對應(yīng)成比例；(2) 相似三角形對應(yīng)邊成比例；(3) 直角三角形中的比例線段可以用積的形式簡捷地表示出來；(4) 圓中的比例線段通過圓幕定理明快地反映出來【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中，過A、B、C三點的圓交AD于點E,且與CD相切，若AB=4,BE=5，則DE的長為()A3B4CD思路點撥連AC,CE，由條件可得許多等線段，為切割線定理的運(yùn)用創(chuàng)設(shè)條件.注：圓中線段的算，常常需要綜合相似三角形、直角三角形、圓冪定理等知識，通過代數(shù)化獲解，加強(qiáng)對圖形的分解，注重信息的重組與整合是解圓中線段計算問題的關(guān)鍵【例3】如圖，AABC內(nèi)接于OO,AB是Z0的直徑，PA是過A點的直線，ZPAC=ZB.(1) 求證：PA是O0的切線；(2) 如果弦CD交AB于E，CD的延長線交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5,AE：BE=2：3,求AB的長和ZECB的正切值.思路點撥直徑、切線對應(yīng)著與圓相關(guān)的豐富知識.(1)問的證明為切割線定理的運(yùn)用創(chuàng)造了條件；引入?yún)?shù)x、k處理問中的比例式，把相應(yīng)線段用是的代數(shù)式表示，并尋找x與k的關(guān)系，建立x或k的方程.【例4】如圖，P是平行四邊形AB的邊AB的延長線上一點，DP與AC、BC分別交于點E、E，EG是過B、F、P三點圓的切線，G為切點，求證：EG=DE思路點撥由切割線定理得EG2=EFEP,要證明EG=DE，只需證明DE2=EFEP,這樣通過圓冪定理把線段相等問題的證明轉(zhuǎn)化為線段等積式的證明.注：圓中的許多問題，若圖形中有適用圓冪定理的條件，則能化解問題的難度，而圓中線段等積式是轉(zhuǎn)化問題的橋梁.需要注意的是，圓冪定理的運(yùn)用不僅局限于計算及比例線段的證明，可拓展到平面幾何各種類型的問題中.【例5】如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑，在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為O,DF切半圓于點E,交AB的延長線于點F,BF=4.求：(1)cosZF的值；(2)BE的長.思路點撥解決本例的基礎(chǔ)是：熟悉圓中常用輔助線的添法(連OE,AE)；熟悉圓中重要性質(zhì)定理及角與線段的轉(zhuǎn)化方法.對于(1),先求出EF,FO值；對于(2),從ABEFAEAF,RtAEB入手.DC注：當(dāng)直線形與圓結(jié)合時就產(chǎn)生錯綜復(fù)雜的圖形，善于分析圖形是解與圓相關(guān)綜合題的關(guān)鍵，分析圖形可從以下方面入手：(1) 多視點觀察圖形.如本例從D點看可用切線長定理，從F點看可用切割線定理.(2) 多元素分析圖形圖中有沒有特殊點、特殊線、特殊三角形、特殊四邊形、全等三角形、相似三角形(3) 將以上分析組合，尋找聯(lián)系學(xué)力訓(xùn)練1. 如圖，PT是00的切線，T為切點，PB是00的割線，交00于A、B兩點，交弦CD于點M,已知CM=10,MD=2,PA=MB=4，則PT的長為.2. 如圖，PAB、PCD為00的兩條割線，若PA=5，AB=7，CD=11，則AC：BD=.3. 如圖，AB是00的直徑，C是AB延長線上的一點，CD是00的切線，D為切點，過點B作00的切線交CD于點F,若AB=CD=2，則CE=.4. 如圖，在ABC中，ZC=90°,AB=10，AC=6，以AC為直徑作圓與斜邊交于點P,則BP的長為()A64B32C36D8(第4題)(第5題)(第6題)5. 如圖，00的弦AB平分半徑0C,交0C于P點，已知PA、PB的長分別為方程的兩根，則此圓的直徑為()ABCD6. 如圖，00的直徑Ab垂直于弦CD,垂足為H,點P是ACT上一點(點P不與A、C兩點重合)，連結(jié)PC、PD、PA、AD,點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F,給出下列四個結(jié)論:TCH2=AHBH；AD=AC:AD2=DFDP；ZEPC=ZAPD,其中正確的個數(shù)是()A1B2C3D47. 如圖，BC是半圓的直徑，0為圓心，P是BC延長線上一點，PA切半圓于點A,AD丄BC于點D(1) 若ZB=30。，問AB與AP是否相等?請說明理由；(2) 求證：PDPO=PCPB；若BD：DC=4：l,且BC=10，求PC的長.8. 如圖，已知PA切00于點A,割線PBC交00于點B、C，PD丄AB于點D，PD、A0的延長線相交于點E,連CE并延長交00于點F,連AF.(1) 求證：PBDspeC；(2) 若AB=12,tanZEAF=，求00的半徑的長.9. 如圖，已知AB是00的直徑，PB切00于點B,PA交00于點C,PF分別交AB、BC于E、D,交00于F、G,且BE、BD恰哈好是關(guān)于x的方程(其中為實數(shù))的兩根.(1)求證：BE=BD；(2)若GEEF=，求ZA的度數(shù).(第7題)(第8題)(第9題)10.如圖，ABC中，點E,與AC相切于點D,ZC=90°,0為AB上一點，以0為圓心，0B為半徑的圓與AB相交于11.如圖，已知A、B、C、D在同一個圓上，BC=CD,AC與BD交于E,段BE、ED為正整數(shù)，則BD=.若AC=8,CD=4，且線(第11題)12.如圖，P是半圓0的直徑BC延長線上一點，PA切半圓于點A,AH丄BC于H,若PA=1,PB+PC=(>2)，則PH=()ABCD13.如圖，ABC是00的內(nèi)接正三角形，弦EF經(jīng)過BC的中點D,且EFAB，若AB=2，則DE的長為()A.B.C.D.114.如圖，已知AB為00的直徑，C為00上一點，延長BC至D,使CD=BC,CE丄AD于E,E交00于F,AF交CE于P,求證：PE=PC.'(第14題)(第15題)PEC是一條割線，D是AB與PC的交點，若PE=2,CD=1，15.已知：如圖，ABCD為正方形，以D點為圓心，AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的00相交于P、C兩點，連結(jié)AC、AP、CP，并延長CP、AP分別交AB、BC、0O于E、H、F三點，連結(jié)0F.(1)求證：AAEPsACEA；(2)判斷線段AB與0F的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;(3) 求BH:HC16.如圖，PA、PB是00的兩條切線,求DE的長.17如圖，00的直徑的長是關(guān)于x的二次方程(是整數(shù))的最大整數(shù)根，P是00外一點,過點P作00的切線PA和割線PBC，其中A為切點，點B、C是直線PBC與00的交點，若PA、PB、PC的長都是正整數(shù)，且PB的長不是合數(shù)，求PA+PB+PC的值.圜U9幕定理【例題求解】例115由CDDT=ABDB,得DT=9,由PTl=PBPAPD-DT1.即PB(PB+BA)=(.PB+BD)2DT2，得PB=15.AC=BE=5,又ZBAC=ZACD=ZABC,則AC=EC=AD=5,DC=AB=4,故DEDC2AD16例3(1)十ZC4B=90°,故PA是OO的切線;(2) 設(shè)CE=6虹ED=5£AE=2z,EB=3«rd>0,«r>0),由CEDE=AEEE,得30k2=6x2,/工=k,AE=2応b、BE=3礫，又FA2=DFCF=EF?AE2,即DF(DF+1嘆)=(DF+5妁？一(2島上嚴(yán)，解得DF=5H.DF=DE,即D為EF的中點，連結(jié)AD,則AD=DF=DE,AF=AC,由FA?=DFCF得&=50(5&+以+6©),解得代=AB=AE十BE=5宓=10,tgECB=tgZAEF=j£=2.DE_AEAEEFEC3ECEPDEEPDE9EFDE，即DE2=EFEP例5由厶OEFsDAF,得霽=箸=焉=寺，即AF2EF,又EF2=FBFA-BF2EFEF=2BF=8,AF=2EF=16,A£=AFBF=12,FO=*AB+BF=10,cosZF=|RFFFQ1由BEFs"AF,得撫=斧=希=赤設(shè)BE=H則AE=2虹由AE2BE2=AB2得(2k)2k2=122，解得&=¥代,故BE=</5.【學(xué)力訓(xùn)練】1-2/1321*33弓§由CD2=CBCA=CB(AB+CB),得CB=-1,連OD,由RtAODCcz)RtAEBC,得零=焉4.A5,A6.C7.(1)AB=AP；(2)PA2=PCPB=PDPO$(3)PC=¥o8(1)PA2=PBPCPD戸£,器=鋁又ZP=ZP,ZPBDs/PEC；(2)作OG丄AB于G,PEAF,AG=*AB=6.OGEDFA,ZAOG=ZEAF,AGotanZAOG=彳，OG=9,AO=VAG2+OG2=3/T3.9("=一4(加+2)2$0,5=2原方程為工26工+9=0解得BE=BD=3；(2)AEBE=GEFE=6箱，二AE=2州易證PBCs/PAB，ZPBDs/PAE,BC麗PB_BDBnBC_BD.一yA_BC_BD顱一擊即麗_疋呵"_麗_疋323李，故ZA=60°11. 7BD=CD=4,由厶BCEcAACB得BC2=CEAC,AE=6,CE=2由BEDE=AEEC=12.BD=BE+ED<BC19+CD=8,BE十ED£7,DE=6,BE=*±，可推得符合條件的是DE=3,EE=4或DE=4,BE=312. A13.B可證明DE=GF,由BDDC=DEDF=DE(DG+GF),得DE2DE-1=Q9解得DE二氣二14. 連OC,則OCAD,可證明PC為©O切線，PC2=PFPA,又由PEFs/PAE,得PE2=PFPA,故PC?=PE2,艮卩PC=PE15. (1)略(2)線段AB與OF是平行的，不妨設(shè)AB=BC=2a9連BP,BF,貝ijEA2=EPEC,EB2=EPEC,:.EB=EA=a,又EC=辰，由AEPcoCEA，得篠=黑，代AP=，又AB?=APAF,.AF=5ECAC5庾,又厶ABPcAFB,：.帶=器，得BF=42a,£/OBF中，OB=OF=sBF=罷a,；*ZFOB=90°,又AB丄OB,AAB/OF,(3) VAB/OF,：，焉=鴿=盞=4又OH+BH=a,.，.BH=#a,CH=a+*a=罟,BH»CH=y.16. 連PO交AB于H,設(shè)DE=才，則PA2=PE-PC=2Q+3),在RtAPH中，AP?=AH*+PH,即AH?+PH2=2(z+3)，在RtAPHD中，PH?+DH?=Q+2尸，又ADDB=EDDC,而ADDB=(.AH-DH)(AH+DH)=AH2-DH2,：.AH2-DH2=j:1，由得(乂+2尸+乂=2(乂+3),解得DE=z=律_3.17. 設(shè)方程兩根為T|,丄1£心，則-fl+衛(wèi)=42怡，工口2=怡.由題設(shè)及知,口、比都是整數(shù)，從、消去以得(2t,+1)(2也+1)w9,*W4且當(dāng)怡V0時，乜=4*故最大的整數(shù)根為4,于是©O的宜徑為4,所以BCW4VBC=PC-PB為正整數(shù)，/.BC=1,2,3或4連結(jié)AB.AC,由厶PABsAPCA，得PA!PBCPB+BC)(1)當(dāng)EC=1時，由得,pa2=PB2+PB,于是PB!<PA2<(PB+1)J,矛盾.(2當(dāng)BC=2時，由得,PA2=PB2+2PB,于是PB2<PA2<(PB+1)2,矛盾.(3) 當(dāng)BC=3時，由得，PA1PBz+3PB,(PA-PB)(PA+PB)=3PB由于PB不是合數(shù)，結(jié)合PAPB<PA+PB,故只可能(PA-PB=1JPA-PB=3IPA-PBPBPA+RB=3PB,PA+PB=PB,PA十PB=3,(PA=2_-解得此時PA2+PB2+PC2=21PB=1,(4) 當(dāng)BC=4時由得，PA!=PB!+4PB,于是(PB+1)2<PB!+4PB=PA2<(PB+2)s矛盾.綜上所述PA2+PB2+PC2=21.