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1、2019-2020年高二數(shù)學下12.7《拋物線的標準方程》教案（1）滬教版
一、教學內容分析本節(jié)研究的是拋物線，是解析幾何基本思想方法的又一次應用.我們從研究已經熟悉的拋物線的性質入手，概括出了拋物線的定義；運用坐標的觀點，選取適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求得了拋物線標準方程的四種形式.其重點和難點是拋物線定義的得出和求解拋物線標準方程.
從二次函數(shù)圖像——拋物線上任意一點到已知點和已知定直線的距離相等著手，再去研究滿足到一個定點和到一條定直線的距離相等的點一定在拋物線上，得出拋物線的定義。這種從必要條件中尋找充要條件的想法是一種重要的數(shù)學思想方法，它可以使尋找范圍大大縮小.從研究拋物線性質入手
2、概括拋物線定義的過程中，對坐標軸的選取作了提示，不僅可以免除硬性規(guī)定坐標系的選法，而且還可以發(fā)展學生的聯(lián)想對比能力.
在求拋物線的標準方程這一過程中，可以使學生體會解析幾何將幾何問題代數(shù)化的基本思想，培養(yǎng)用已知解釋未知以及分析、解決問題的能力.
二、教學目標設計
1、掌握拋物線的定義，掌握拋物線的四種標準方程.
2、通過對拋物線概念和標準方程的學習，體驗解析法，形成分析和概括的能力.
3、通過對拋物線問題的分析和解決，形成良好的學習和思維習慣，初步形成勇于探索、嚴謹細致的科學態(tài)度.
三、教學重點及難點拋物線的概念、拋物線標準方程.數(shù)形結合思想方法在概念理解與解題中的運用.
四、教
3、學流程設計
五、教學過程
(一) 拋物線的定義
1．引入課題
我們已經學習了圓、橢圓、雙曲線三種曲線，今天學習第四種曲線——拋物線.同學們對拋物線已有了哪些認識？在物理中，拋物線被認為是拋射物體的運動軌跡，在函數(shù)中，二次函數(shù)的圖像也被稱之為拋物線.
問題1：拋物線是滿足什么條件的動點的軌跡？
我們知道圓、橢圓、雙曲線的幾何性質都是由距離刻畫的，那么拋物線上的點的性質能否用距離來刻畫呢？
我們可以從考察最簡單的二次函數(shù)的圖像入手來探索這個問題.
問題1．1二次函數(shù)圖像上的點具有怎樣的幾何性質？
11x2+(y-4)2=1y+4I
1111
x2=yOx2+y2一y+
4、=y2+y+。
216216
發(fā)現(xiàn)，圖像上的點到定點F()的距離等于到直線丫=的距離.
那么，到定點F()的距離與直線y=的距離相等的點是否都在二次函數(shù)的圖像上？因為以上各步可逆所以答案是肯定的.
問題1．2是否所有的二次函數(shù)的圖像都具有類似的幾何性質？
我們只要看，能否作類似的變形即可.
11111
y=ax2oy=x2ox2+y2一y+=y2+y+—
a2a4a22a4a2
=1y+I，可以看到，拋物線丫=上所有點到定點與定直線相等.4a
問題1．3函數(shù)圖像上的點呢？
/b、4ac-b2
y=a（x+）2+由的圖像平移而得?其幾何特性不變.
2a4a
所以拋物線
5、上任意一點到已知定點和定直線的距離相等.
由此，我們能不能說拋物線是到一個定點和一條定直線距離相等的點的軌跡呢？目前尚不能.軌跡必須既滿足純粹性，又滿足完備性，這里知證明了拋物線上的點所具有的幾何性質，還未證明其完備性.（證略）
我們還可以作一個直觀的演示：把一根直尺固定在畫圖板內直線的位置上；把一塊三角板的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣；把一條繩子一端固定在三角板的另一條直角邊上的一點A,截取繩子的長等點A到直線的距離AC,并且把繩子的另一端固定在畫圖板的一■點F；用一支粉筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然使三角板緊靠著直尺左右滑動，這樣粉筆就描出一條曲線.問題1.4能否從幾
6、何的角度來概括拋物線定義？定義：平面內與一個定點F和一條定直線（定點F不在定直線上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線?點F叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線.
思考：如果定點F在定直線上，動點的軌跡是什么？
（二）拋物線的標準方程
問題2如何求拋物線的標準方程？
設定點F到定直線的距離為（定點不在定直線上），下面，我們來求拋物線的方程.
問題2.1首先要建立直角坐標系，如何建立直角坐標系？
以對稱軸為x軸，原點定在何處？由學生思考：可能出現(xiàn)的結果：
(1)
(2)
(3)
可供選擇的原點的位置：一、準線與對稱軸交點，二、焦點，三、前述兩點的中點.
問題2.2如何
7、分別求出不同坐標系下拋物線方程?(注意求軌跡方程的五個步驟)
(1)以準線為y軸：J(x-p)2+y2=|Xoy2=2px-p2
(2)以焦點為原點：Jx2+y2=|x+p|oy2=2px+p2
3)以頂點為原點：
(1)和(2)中的方程都含有常數(shù)項，而(3)的形式更簡單.
我們按上述第三種方法(如圖3),取經過且垂直于準線的直線為軸，軸與相交于，以線
段的中垂線為軸，且使位于軸正半軸，建立直角坐標系，所得到的方程叫做拋物線的標準方
程.其中是焦點到準線的距離.
問題2.3頂點在原點，焦點在y軸正半軸，焦點在x軸負半軸，焦點在y軸負半軸?你能寫
出這三種情
8、況下拋物線的方程嗎？除了按定義推導外，有沒有簡單的方法？
選擇焦點在y正半軸，定點在原點的拋物線，求它的方程.
1)
2=1y+I
2
2)坐標變換.對于，若是將它的坐標逆時針旋轉，得到的拋物線的方程：.
同理也可以求出其它情況，完成下列表格：
圖形
頂點
對稱軸
焦占
八\、八、、
(0,0)
x軸
(,0)
>
(0,0)
x軸
(-,0)
*
(0,0)
y軸
(0,)
(0,0)
y軸
(0,-)
我們把上述四種位置的拋物線方程都稱為拋物線的標準方程.
由列表知，若給出拋物線標
9、準方程，就可以找到拋物線的焦點坐標與準線方程，反之，若拋物線頂點在原點，已知焦點坐標或準線方程（取其一）就可以寫出拋物線標準方程.
問題2.4回到最初的問題，y=x2的圖像是怎樣的拋物線呢？
y=x2的圖像是頂點在坐標原點，焦點在y軸正半軸上的拋物線。請學生寫出焦點坐標與準線方程.
鞏固練習：如果將方程改為y=-2x2呢？寫出它的焦點坐標與準線方程.如果該曲線上有一點到焦點的距離是4，試問，它到y(tǒng)軸的距離是多少？你能求出它的坐標嗎？
（三）小結與作業(yè)
1）小結
回顧本節(jié)課的學習過程，請學生作一小結.
我們從一個熟悉的二次函數(shù)出發(fā)，通過探究二次函數(shù)的圖像的幾何特性，學習了拋物線
的定義，為拋物線建立了四種形式的標準方程.為什么把這種性質的曲線稱為拋物線呢？因為拋射物體的軌跡也具有這種性質.
2）習題冊1，2，3，4
3）
2019-2020年高二數(shù)學下 12.7《拋物線的標準方程》教案(1) 滬教版
