數(shù)學第5章 多邊形與四邊形 第18講 特殊平行四邊形

第五章第五章 多邊形與四邊形多邊形與四邊形 第第 18 講講 特殊平行四邊形特殊平行四邊形 考點梳理考點梳理矩形的定義 有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形矩形的性質 (1)矩形的四個角都是直角；(2)矩形的對角線相等矩形的判定(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；(2)對角線_相等的平行四邊形是矩形；(3)有三個角都是直角的四邊形是矩形；(4)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形提示 (1)矩形的對角線把矩形分成兩對全等的等腰三角形；(2)矩形的判定思路，一般是四邊形平行四邊形矩形 菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形菱形的性質(1)菱形的四條邊都相等；(2)菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角菱形的判定(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；(2)對角線互相_垂直的平行四邊形是菱形；(3)四條邊都相等的四邊形是菱形提示 (1)菱形的對角線把菱形分成兩對全等的直角三角形；(2)菱形的判定思路，一般是四邊形平行四邊形菱形；(3)菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半(其實，對角線垂直的四邊形的面積也是如此)；(4)由于每條對角線所在的直線是菱形的對稱軸，對角頂點是對稱點，菱形和正方形常與求最短距離相結合 正方形的定義正方形的定義有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形正方形的性質正方形的性質(1)正方形的四條邊都相等；(2)正方形的兩組對邊分別平行；(3)正方形四個角都是90；(4)正方形的對角線互相垂直、平分且相等，每條對角線平分一組對角正方形的判定正方形的判定(1)有一組鄰邊相等且一個角是直角的平行四邊形是正方形；(2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形；(3)有一個角是90的菱形是正方形；(4)對角線垂直、相等且互相平分的四邊形是正方形提示 (1)正方形是軸對稱圖形，對稱軸有4條，正方形也是中心對稱圖形；(2)正方形的對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；(3)平行四邊形與各種四邊形的包含關系如圖 典型例題運用典型例題運用 類型類型1 矩形的性質與判定矩形的性質與判定 【例1 1】 2017日照中考如圖，已知BAAEDC，ADEC，CEAE，垂足為E.(1)求證：DCAEAC；(2)只需添加一個條件，即_，可使四邊形ABCD為矩形請加以證明解：(1)證明：在DCA和EAC中， DCAEAC(SSS)(2)添加ADBC，可使四邊形ABCD為矩形；理由如下：ABDC，ADBC，四邊形ABCD是平行四邊形CEAE，E90.由(1)，得DCAEAC，DE90.四邊形ABCD為矩形變式運用 2016臺州中考如圖，點P在矩形ABCD的對角線AC上，且不與點A，C重合，過點P分別作邊AB，AD的平行線，交兩組對邊于點E，F(xiàn)和點G，H.(1)求證：PHCCFP；(2)證明四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形，并直接寫出它們面積之間的關系【自主解答】 證明：(1)四邊形ABCD是矩形，DCAB，ADBC.又EFAB，ADGH，EFCD，BCGH.PCHCPF，CPHPCF.CPPC，PHCCFP.(2)由(1)知，ABEFCD，ADGHBC，四邊形PEDH和四邊形PGBF都是平行四邊形四邊形ABCD是矩形，DB90.四邊形PEDH和四邊形PGBF都是矩形EFAB，CPFCAB.在RtAGP中，AGP90，PGAGtanCAB.在RtCFP中，CFP90，CFPFtanCPF.S矩形PEDHDEEPCFEPPFEPtanCPF；S矩形PFBGPGPFAGPFtanCABEPPFtanCAB.tanCPFtanCAB，S矩形PEDHS矩形PFBG.S四邊形PEDHS四邊形PFBG. 類型類型2 2 菱形的性質與判定菱形的性質與判定 【例2 2】 2017濱州中考如圖，在 ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F；再分別以點B，F(xiàn)為圓心，大于 BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接AP并延長交BC于點E，連接EF，則所得四邊形ABEF是菱形(1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證四邊形ABEF是菱形；(2)若菱形ABEF的周長為16，AE4 ，求C的大小213解：(1)證明：由作圖過程可知，ABAF，AE平分BAD.BAEEAF.四邊形ABCD為平行四邊形，BCAD. AEBEAF.BAEAEB. ABBE.BEAF.四邊形ABEF為平行四邊形四邊形ABEF為菱形(2)連接BF，交AE于點O.四邊形ABEF為菱形，BF與AE互相垂直平分，BAEFAE.OA AE2 .菱形ABEF的周長為16，AF4.cosOAF .OAF30.BAF60.四邊形ABCD為平行四邊形，CBAD60.213AFOA23變式運用 2017岳陽中考求證：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形小紅同學根據(jù)題意畫出了圖形，并寫出了已知和求證的一部分，請你補全已知和求證，并寫出證明過程已知：如圖，在 ABCD中，對角線AC，BD交于點O，_求證：_.解：已知：如圖，在 ABCD中，對角線AC，BD交于點O，ACBD.求證：四邊形ABCD是菱形證明：四邊形ABCD為平行四邊形，BODO.ACBD，AC垂直平分BD.ABAD.四邊形ABCD為菱形 類型類型3 3 正方形的性質與判定正方形的性質與判定 【例3 3】 2017杭州中考如圖，在正方形ABCD中，點G在對角線BD上(不與點B，D重合)，GEDC于點E，GFBC于點F，連接AG.(1)寫出線段AG，GE，GF長度之間的數(shù)量關系，并說明理由；(2)若正方形ABCD的邊長為1，AGF105，求線段BG的長解：(1)結論：AG2GE2GF2.理由：連接CG.四邊形ABCD是正方形， A，C關于對角線BD對稱點G在BD上， GAGC.GEDC于點E，GFBC于點F， GECECFCFG90.四邊形EGFC是矩形 CFGE.在RtGFC中，CG2GF2CF2，AG2GF2GE2.(2)作BNAG于點N，在BN上截取一點M，使得AMBM.設ANx.AGF105，F(xiàn)BGFGBABG45，AGB60，GBN30，ABMMAB15.AMN30.AMBM2x，MN x.在RtABN中，AB2AN2BN2，3變式運用 2017威海模擬已知：正方形ABCD，點P為對角線AC上一點(1)如圖1，Q為CD邊上一點，且BPQ90，求證：PBPQ；(2)如圖2，若正方形ABCD的邊長為2，E為BC中點，求PBPE的最小值解：(1)證明：如圖1，連接PD，在正方形ABCD中，DACBAC.在APB與APD中，APBAPD.PDPB.ABPADP.ABCADC90，PBCPDC.BPQBCD90，PBCPQC180.PQDPQC180，PQDPBC.PDCPQD.PDPQ.PQPB.(2)如圖2，連接ED交AC于點P，連接BP，則DE的長度即為PBPE的最小值由題意，可證BPPD，PBPEPDPEDE.EC BC1，BCD90，DE .PBPE的最小值為 .2155122222ECCD六年真題全練六年真題全練 命題點1 矩形、菱形或正方形綜合題 1 12014德州如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB4，BC8，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，有以下四個結論：四邊形CFHE是菱形；EC平分DCH；線段BF的取值范圍為3BF4；當點H與點A重合時，EF2 .以上結論中，你認為正確的有(C)5A1個 B2個 C3個 D4個C C因為FH與CE，EH與CF都是矩形ABCD的對邊AD、BC的一部分，易知FHCG，EHCF，可得四邊形CFHE是平行四邊形，由翻折性質得CFFH，所以平行四邊形CFHE是菱形，正確；已知BCHECH，所以只有當DCE30時，EC平分DCH，錯誤；點H與點A重合時，設BFx，則AFFC8x，在RtABF中，AB2BF2AF2，即42x2(8x)2，解得x3.點E與點D重合時，CFCD4，可得BF4，所以線段BF的取值范圍為3BF4，正確；當點H與點A重合時，如圖，過點F作FMAD于M，則ME(83)32，在EFM中，由勾股定理，得EF= =2 ，正確綜上所述，正確的結論有.242222MEMF52 22013德州下列命題中，真命題是(D)A對角線相等的四邊形是等腰梯形B對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形C對角線互相垂直的四邊形是菱形D四個角相等的四邊形是矩形D D選項A，對角線相等的四邊形也可能是矩形，故此選項錯誤；選項B，對角線互相垂直平分的四邊形也可能是菱形，故此選項錯誤；選項C，對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故此選項錯誤；選項D，四個角相等的四邊形是矩形，是真命題，故此選項正確3 32017德州如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB3cm，AD5cm，折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過點E作EFAB交PQ于點F，連接BF.(1)求證：四邊形BFEP為菱形；(2)當點E在AD邊上移動時，折痕的端點P，Q也隨之移動；當點Q與點C重合時(如圖2)，求菱形BFEP的邊長；若限定P，Q分別在邊BA，BC上移動，求出點E在邊AD上移動的最大距離解：(1)證明：折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，點B與點E關于PQ對稱PBPE，BFEF，BPFEPF.又EFAB，BPFEFP.EPFEFP.EPEF.BPBFEFEP.四邊形BFEP為菱形(2)四邊形ABCD是矩形，BCAD5cm，CDAB3cm，AD90 .點B與點E關于PQ對稱，CEBC5cm.在RtCDE中，DE 4cm，AEADDE541(cm)在RtAPE中，AE1，AP3PB3PE，EP212(3EP)2.解得EP cm.菱形BFEP的邊長為 cm.CDCE223535當點Q與點C重合時，點E離點A最近，由知，此時AE1cm；當點P與點A重合時，如圖所示，點E離點A最遠，此時四邊形ABQE為正方形，AEAB3cm.點E在邊AD上移動的最大距離為2cm.2012德州如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點(不與點A，點D重合)，將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于點H，折痕為EF，連接BP，BH.(1)求證：APBBPH；(2)當點P在邊AD上移動時，PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結論；(3)設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由解：(1)證明：如圖1，PEBE，EBPEPB.又EPHEBC90，EPHEPBEBCEBP.即PBCBPH.又ADBC，APBPBC.APBBPH.(2)PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?.理由如下：如圖2，過點B作BQPH，垂足為Q.由(1)知APBBPH，又ABQP90，BPBP，ABPQBP.APQP，ABQB.又ABBC，BCBQ.又CBQH90，BHBH，BCHBQH.CHQH.PHD的周長為：PDDHPHAPPDDHHCADCD8.(3)如圖3，過點F作FMAB，垂足為M，則FMBCAB.又EF為折痕，EFBP.EFMMEFABPBEF90.EFMPBA.又AEMF90，EFMPBA.EMAPx.在RtAPE中，(4BE)2x2BE2.解得BE2 .CFBEEM2 x.又四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，S (BECF)BC (4 x)4.即S x22x8.配方，得S (x2)26，當x2時，S有最小值6.82x82x212142x2121猜押預測 如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD在第一象限內(nèi)，邊BC與x軸平行，A，B兩點的縱坐標分別為3，1，反比例函數(shù)y 的圖象經(jīng)過A，B兩點，則菱形ABCD的面積為4 x324 過點A作x軸的垂線，與CB的延長線交于點E，A，B兩點在反比例函數(shù)y 的圖象上且縱坐標分別為3，1，A，B橫坐標分別為1，3，AE2，BE2，AB2 ，S菱形ABCD底高2 24 .2x3222