《數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 6 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較 北師大版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 6 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較 北師大版必修1（30頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、6指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解三種函數(shù)的增長特征.2.初步認(rèn)識“直線上升”“指數(shù)爆炸”和“對數(shù)增長”.3.嘗試函數(shù)模型的簡單應(yīng)用.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考知識點一同類函數(shù)增長特點同樣是增函數(shù)，當(dāng)x從2變到3，y2x到y(tǒng)10 x的縱坐標(biāo)增加了多少？答案答案答案23224,103102900，即同樣是x從2變到3，y2x與y10 x的縱坐標(biāo)分別增加了4和900.當(dāng)a1時，指數(shù)函數(shù)yax是增函數(shù)，并且當(dāng)a越大時，其函數(shù)值的增長就越快.當(dāng)a1時，對數(shù)函數(shù)ylogax是增函數(shù)，并且當(dāng)a越小時，其函數(shù)值的增長就越快.當(dāng)x0，n1時，冪函數(shù)
2、yxn是增函數(shù)，并且當(dāng)x1時，n越大其函數(shù)值的增長就越快.梳理梳理思考知識點二指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長差異當(dāng)x從1變到10，函數(shù)y2x，yx2和ylg x的縱坐標(biāo)增長了多少？答案答案答案210211 02421 022,1021299，lg 10lg 11，即同樣是x從1變到10，y2x，yx2和ylg x 的縱坐標(biāo)分別增加了1 022,99和1.梳理梳理一般地，在區(qū)間(0，)上，盡管指數(shù)函數(shù)yax(a1)、冪函數(shù)yxn(n0)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a1)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個檔次上.隨著x的增大，yax(a1)的增長速度越來越快，會遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過冪函數(shù)yxn(n
3、0)的增長速度，而對數(shù)函數(shù)ylogax(a1)的增長速度越來越慢，因此總會存在一個x0，當(dāng)xx0時，就有 (a1，n0).logaxxnax題型探究例例1函數(shù)f(x)2x和g(x)x3的圖像如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖像交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，1x12,9x210，x16x2.從圖像上可以看出，當(dāng)x1xx2時，f(x)g(x)，f(6)x2時，f(x)g(x)，f(2 013)g(2 013).又g(2 013)g(6)，f(2 013)g(2 013)g(6)f(6).判斷函數(shù)的增長速度，一個是從x增加相同量時，函數(shù)值的增長量
4、的變化；另一方面，也可從函數(shù)圖像的變化，圖像越陡，增長越快.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)f(x)lg x，g(x)0.3x1的圖像如圖所示.(1)試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；解答解解C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)0.3x1，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)lg x.(2)以兩圖像交點為分界點，對f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較.解答解解當(dāng)xf(x)；當(dāng)x1xg(x)；當(dāng)xx2時，g(x)f(x)；當(dāng)xx1或xx2時，f(x)g(x).例例2假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天
5、多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番.請問，你會選擇哪種投資方案？解答類型二函數(shù)增長模型的應(yīng)用解解設(shè)第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數(shù)y40(xN)進(jìn)行描述；方案二可以用函數(shù)y10 x(xN)進(jìn)行描述；方案三可以用函數(shù)y0.42x1(xN)進(jìn)行描述.要對三個方案作出選擇，就要對它們的增長情況進(jìn)行分析.畫出三個函數(shù)的圖像，如圖所示，由圖可知方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長情況很不相同.可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長量固定不變，而方案三是“指數(shù)
6、增長”，但“增長量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個方案增長得快得多，這種增長速度是方案一、方案二所無法企及的.從每天所得回報看，在第13天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天開始，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，到第30天，所得回報已超過2億元.下面再看累計的回報數(shù).列表如下： 方案回報/元天數(shù)1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2
7、 818.8因此，投資16天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資810天，應(yīng)選擇方案二；投資11天(含11天)以上，應(yīng)選擇方案三.直線上升反映了一次函數(shù)(一次項系數(shù)大于0)的增長趨勢，其增長速度不變(恒為常數(shù))；指數(shù)爆炸反映了指數(shù)函數(shù)(底數(shù)大于1)的增長趨勢，其增長速度急劇(越來越快)；對數(shù)增長反映了對數(shù)函數(shù)(底數(shù)大于1)的增長趨勢，其增長速度平緩(越來越慢).解題時，注意根據(jù)各函數(shù)的增長類型選擇合適的函數(shù)模型刻畫實際的變化規(guī)律.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2某公司為了實現(xiàn)1 000萬元的利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，
8、且資金y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但資金總數(shù)不超過5萬元，同時資金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y0.25x，ylog7x1，y1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求？解答解解作出函數(shù)y5，y0.25x，ylog7x1，y1.002x的圖像(如圖).觀察圖像發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間10,1 000上，模型y0.25x，y1.002x的圖像都有一部分在直線y5的上方，只有模型ylog7x1的圖像始終在y5和y0.25x的下方，這說明只有按模型ylog7x1進(jìn)行獎勵時才符合公司的要求.當(dāng)堂訓(xùn)練答案234511.當(dāng)x越來越大時，下列函數(shù)中，增長速度最快的應(yīng)是A.y3x B
9、.ylog3xC.yx3 D.y3x解析解析解析幾種函數(shù)模型中，指數(shù)函數(shù)增長最快，故選D.23451答案2.當(dāng)a1時，有下列結(jié)論：指數(shù)函數(shù)yax，當(dāng)a越大時，其函數(shù)值的增長越快；指數(shù)函數(shù)yax，當(dāng)a越小時，其函數(shù)值的增長越快；對數(shù)函數(shù)ylogax，當(dāng)a越大時，其函數(shù)值的增長越快；對數(shù)函數(shù)ylogax，當(dāng)a越小時，其函數(shù)值的增長越快.其中正確的結(jié)論是A. B. C. D.3.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)yf(x)的圖像大致是答案23451解析解析解析設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意得，axa(10.104)y，故ylog1.104x
10、(x1)，yf(x)的圖像大致為D中圖像.234514.當(dāng)2x4時，2x，x2，log2x的大小關(guān)系是A.2xx2log2x B.x22xlog2xC.2xlog2xx2 D.x2log2x2x答案解析解析解析方法一在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)ylog2x，yx2，y2x在區(qū)間(2,4)上從上往下依次是yx2，y2x，ylog2x的圖像，所以x22xlog2x.方法二比較三個函數(shù)值的大小，作為選擇題，可以采用特殊值代入法.可取x3，經(jīng)檢驗易知選B.5.某商場2016年一月份到十二月份銷售額呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢，現(xiàn)有三種函數(shù)模型：f(x)pqx(q0，q1)；f(x)logpxq(p0，p1)；f(x)x2pxq.能較準(zhǔn)確反映商場月銷售額f(x)與月份x關(guān)系的函數(shù)模型為_(填寫相應(yīng)函數(shù)的序號)，若所選函數(shù)滿足f(1)10，f(3)2，則f(x)_.答案23451x28x17規(guī)律與方法三種函數(shù)模型的選取(1)當(dāng)增長速度變化很快時，常常選用指數(shù)函數(shù)模型.(2)當(dāng)要求不斷增長，但又不會增長過快，也不會增長到很大時，常常選用對數(shù)函數(shù)模型.(3)冪函數(shù)模型yxn(n0)，則可以描述增長幅度不同的變化：n值較小(n1)時，增長較慢；n值較大(n1)時，增長較快.本課結(jié)束
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