《【5年高考3年模擬】（新課標(biāo)專用）2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 試題分類匯編 數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用（B）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【5年高考3年模擬】（新課標(biāo)專用）2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 試題分類匯編 數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用（B）（3頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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6.4數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用
考點(diǎn)一 數(shù)列求和
1.(2020重慶,16,13分)設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=3an,n∈N+.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn;
(2)已知{bn}是等差數(shù)列,Tn為其前n項(xiàng)和,且b1=a2,b3=a1+a2+a3,求T20.
解析 (1)由題設(shè)知{an}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,所以an=3n-1,
Sn==(3n-1).
(2)b1=a2=3,b3=1+3+9=13,b3-b1=10=2d,
所以公差d=5,
故T20=20×3+×5=1 010.
2.(2020湖南,19,13分)設(shè)
2、Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N*.
(1)求a1,a2,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和.
解析 (1)令n=1,得2a1-a1=,
即a1=.因?yàn)閍1≠0,所以a1=1.
令n=2,得2a2-1=S2=1+a2.
解得a2=2.
當(dāng)n≥2時(shí),2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1,兩式相減得2an-2an-1=an.即an=2an-1.
于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.
因此,an=2n-1.
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.
(2)由(1)知nan=n·2n-1
3、.
記數(shù)列{n·2n-1}的前n項(xiàng)和為Bn,于是
Bn=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①
2Bn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.②
①-②得-Bn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n.
從而Bn=1+(n-1)·2n.
3.(2020安徽,19,13分)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,a2+a4=8,
且對任意n∈N*,函數(shù)f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x滿足 f '=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=2,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解析 (1)由題設(shè)可得, f
4、'(x)=an-an+1+an+2-an+1sin x-an+2cos x.對任意n∈N*,
f '=an-an+1+an+2-an+1=0,
即an+1-an=an+2-an+1,
故{an}為等差數(shù)列.
由a1=2,a2+a4=8,解得{an}的公差d=1,所以an=2+1·(n-1)=n+1.
(2)由bn=2
=2=2n++2知,
Sn=b1+b2+…+bn=2n+2·+=n2+3n+1-.
考點(diǎn)二 數(shù)列的綜合應(yīng)用
4.(2020課標(biāo)全國Ⅱ,17,12分)已知等差數(shù)列{an}的公差不為零,a1=25,且a1,a11,a13成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式
5、;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.
解析 (1)設(shè){an}的公差為d.由題意,=a1a13,
即(a1+10d)2=a1(a1+12d).
于是d(2a1+25d)=0.
又a1=25,所以d=0(舍去),d=-2.
故an=-2n+27.
(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.
由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首項(xiàng)為25,公差為-6的等差數(shù)列.從而
Sn=(a1+a3n-2)
=(-6n+56)
=-3n2+28n.
5.(2020山東,20,12分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1
6、.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足++…+=1-,n∈N*,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d.
由S4=4S2,a2n=2an+1得
解得a1=1,d=2.
因此an=2n-1,n∈N*.
(2)由已知++…+=1-,n∈N*,
當(dāng)n=1時(shí),=;
當(dāng)n≥2時(shí),=1--=.
所以=,n∈N*.
由(1)知,an=2n-1,n∈N*,
所以bn=,n∈N*,
又Tn=+++…+,
Tn=++…++,
兩式相減得
Tn=+-
=--,
所以Tn=3-.
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