高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座 第6講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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1、高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座 第6講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 一、考綱要求 1．理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算． 2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，理解周期函數(shù)與最小正周期的意義． 3．了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù))的簡(jiǎn)圖，理解、、的物理意義． 二、基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 1．函數(shù)，的大致圖象是（ ）． π y y y y

2、 π π π -π o π x -π o π x -π o π x -π o π x -π -π -π A B C D 2．（2002北京）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，那

3、么不等式的解集是（ ）． y A． B． C． 0 1 2 3 x D． 3．定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（ ）． A． B． C． D． 4．給定性質(zhì): ①最小正周期為π；②圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)，則下列四個(gè)函數(shù)中，同時(shí)具有性質(zhì)①、②的是（ ）． A．y = sin(+) B．y = sin(2x+) C．y = sin|x|

4、 D．y = sin(2x－) 5．下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有 ( )． ①y = sin|x|的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②y = sin(|x|+2)的圖象是把y = sin|x|的圖象向左平移2個(gè)單位而得；③y = sin(x+2)的圖象是把y = sinx的圖象向左平移2個(gè)單位而得；④y = sin(|x|+2)的圖象是由y = sin(x+2)( x≥0)的圖象及y = －sin(x-2) ( x<0)的圖象組成的． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 6．把函數(shù)y = cos(x+)的圖象向左平

5、移m個(gè)單位(m>0), 所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng), 則m的最小值是 ． 7．函數(shù)y = 2sin(+)cos(+)+asinx (x∈R)的圖象關(guān)于x=對(duì)稱(chēng), 則g(x)= asin(a+1)x的最小正周期是 ． 三、典型例題 例1 已知函數(shù)f(x)=tan(sinx)． （1）求f(x)的定義域和值域； （2）在（－π，π）中，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； （3）判定方程f(x)=tanπ在區(qū)間（－π，π）上解的個(gè)數(shù)． 例2 已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?[ －5，1 ]，求常數(shù)a、b的值．

6、 例3 已知函數(shù)． （1）將寫(xiě)成的形式，并求其圖象對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)； （2）函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？ （3）如果△ABC的三邊a、b、c滿(mǎn)足b2=ac，且邊b所對(duì)的角為x，試求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f(x)的值域． 例4 設(shè)二次函數(shù)，已知不論為何實(shí)數(shù)恒有 ≥0，≤0． （1）求證：； （2）求證：≥3； （3）若函數(shù)的最大值為8，求，的值． 四、 熱身演練 1．在內(nèi)，使成立的取值范圍為（ ）． A． B． C． D． 2．已知sinα>sinβ，那么下列命題成立的是（ ）

7、． A．若α、β是第一象限角，則cosα>cosβ B．若α、β是第二象限，則tanα>tanβ C．若α、β是第三象限角，則cosα>cosβ D．若α、β是第四象限角，則tanα>tanβ 3．下列命題中正確的是（ ）． A．是增函數(shù) B．在第一象限是增函數(shù) C．是奇函數(shù) D．的反函數(shù)是 4．要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象( )． A．沿x軸向左平移單位 B．沿x軸向右平移單位 C．沿x軸向左平移單位 D．沿x軸向右平移單位 5．若2sin2α+sin2β－2sinα=0則cos2α+cos2β的取值范圍是（ ）． A．

8、[1,5] B．[1,2] C．[1,] D．[－1,2] 6．在DABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求 的值 為 ． 7．設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑分別為r的R，則的最大值為 ． 8．設(shè)函數(shù)，（，）給出下列四個(gè)論斷： （1）它的周期為π； （2）它的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)； （3）它的圖象關(guān)于點(diǎn)（,0）對(duì)稱(chēng)； （4）在區(qū)間(－,0)上是增函數(shù)． 以其中兩個(gè)論斷為條件，另兩個(gè)論斷為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題： ． 9．（1）已知s

9、in(+α)·sin(－α)=, α∈(,π)，求sin4α； （2）已知?cos(x+)=,π

10、是周期函數(shù)； （2）求的值． 12．已知⊙O的半徑為，在它的內(nèi)接三角形ABC中，有成立，求△ABC面積S的最大值． 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 一、考綱要求 1．理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算． 2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，理解周期函數(shù)與最小正周期的意義． 3．了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù))的簡(jiǎn)圖，理解、、的物理意義． 二、基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 1．函數(shù)，的大致圖象是（ C ）．

11、π y y y y π π π -π o π x -π o π x -π o π x -π o π x -π -π -π A B

12、 C D 2．（2002北京）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，那么不等式的解集是（ B ）． y A． B． C． 0 1 2 3 x D． 3．定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（ D ）． A． B． C． D． 4．給定性質(zhì): ①最小正周期為π；②圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)，則下列四個(gè)函數(shù)中，同時(shí)具有性質(zhì)①、②的是（ D ）． A．y = sin(+)

13、 B．y = sin(2x+) C．y = sin|x| D．y = sin(2x－) 5．下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（ B ）． ①y = sin|x|的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②y = sin(|x|+2)的圖象是把y = sin|x|的圖象向左平移2個(gè)單位而得；③y = sin(x+2)的圖象是把y = sinx的圖象向左平移2個(gè)單位而得；④y = sin(|x|+2)的圖象是由y = sin(x+2)( x≥0)的圖象及y = －sin(x-2) ( x<0)的圖象組成的． A．1個(gè)

14、 B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 6．把函數(shù)y = cos(x+)的圖象向左平移m個(gè)單位(m>0), 所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng), 則m的 最小值是 ． 7．函數(shù)y = 2sin(+)cos(+)+asinx (x∈R)的圖象關(guān)于x=對(duì)稱(chēng), 則g(x)= asin(a+1)x 的最小正周期是 ． 三、典型例題： 例1 已知函數(shù)f(x)=tan(sinx)． （1）求f(x)的定義域和值域； （2）在（－π，π）中，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； （3）判定方程f(x)=tanπ在區(qū)間（－π，π）上解的個(gè)數(shù)． 解：（

15、1）∵－1≤sinx≤1 ∴ － ≤sinx≤． 又函數(shù)y=tanx在x=kπ+(k∈Z)處無(wú)定義， 且（－，）[－,]（－π, π）， ∴令sinx=±，則sinx=± 解之得：x=kπ± (k∈Z) ∴f(x)的定義域是A={x|x∈R，且x≠kπ±，k∈Z} ∵tanx在（－，）內(nèi)的值域?yàn)椋ǎ蓿?∞），而當(dāng)x∈A時(shí)，函數(shù)y=sinx的值域B滿(mǎn)足 （－，）B ∴f(x)的值域是（－∞，+∞）． （2）由f(x)的定義域知，f(x)在[0，π]中的x=和x=處無(wú)定義． 設(shè)t=sinx，則當(dāng)x∈[0, )∪（，）∪（，π）時(shí)，t∈[0, ∪(,，且以t為自變量的函數(shù)y=

16、tant在區(qū)間（0，），（，上分別單調(diào)遞增． 又∵當(dāng)x∈[0，]時(shí)，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞增，且t∈[0, ， 當(dāng)x∈（，時(shí)，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞增，且t∈（, 當(dāng)x∈[，時(shí)，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞減，且t∈（, 當(dāng)x∈（，π）時(shí)，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞減，且t∈（0，） ∴f(x)=tan(sinx)在區(qū)間[0，,（,上分別是單調(diào)遞增函數(shù)；在上是單調(diào)遞減函數(shù)． 又f(x)是奇函數(shù)，所以區(qū)間（－，0，[－，－也是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是f(x)的遞減區(qū)間． 故在區(qū)間（－π，π）中,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[－，－，（－，），（，單調(diào)遞減區(qū)間為． （3）由f(x)=tan

17、π得： tan(sinx)=tan(π)sinx=kπ+π （k∈Z） sinx=k+(k∈Z)① 又∵－1≤sinx≤1，∴ ∴k=0或k= －1 當(dāng)k=0時(shí)，從①得方程sinx= 當(dāng)k=1時(shí)，從①得方程sinx= －+ 顯然方程sinx=,sinx= －+，在（－π, π）上各有2個(gè)解，故f(x)=tanπ在區(qū)間（－π，π）上共有4個(gè)解． 例2 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?[ －5，1 ]，求常數(shù)a、b的值． 解：∵ ， ． ∵ ，∴ ，∴ ． 當(dāng)a > 0時(shí)，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b， ∴ 解得 當(dāng)a < 0時(shí)，3a +

18、b ≤ f ( x ) ≤ b ． ∴ 解得 故a、b的值為 或 例3 已知函數(shù)． （1）將寫(xiě)成的形式，并求其圖象對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)； （2）函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？ （3）如果△ABC的三邊a、b、c滿(mǎn)足b2=ac，且邊b所對(duì)的角為x，試求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f(x)的值域． 解：（1） 由=0即 即對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)為 （2）將函數(shù)的圖象依次進(jìn)行如下變換： ① 把函數(shù)的圖象向左平移，得到函數(shù)的圖象； ② 把得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù) 的圖象； ③把得到的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)+

19、的圖象； （3）由已知b2=ac 即的值域?yàn)? 綜上所述， ， 值域?yàn)?. 例4 設(shè)二次函數(shù)，已知不論為何實(shí)數(shù)恒有 ≥0，≤0． （1）求證：； （2）求證：≥3； （3）若函數(shù)的最大值為8，求，的值． 解： (1) ， ， ， 恒成立. ， ， 即 恒成立. ∴， 即 . （2）， ， ∴， ∴. （3）由題意可知： ， ∴ ①， ② ， 由 ① ，② 可得 b = ,c = 3 . 四、熱身演練： 1．在內(nèi)，使成立的取值范圍為（ C ）

20、． A． B． C． D． 2．已知sinα>sinβ，那么下列命題成立的是（ D ）． A．若α、β是第一象限角，則cosα>cosβ B．若α、β是第二象限，則tanα>tanβ C．若α、β是第三象限角，則cosα>cosβ D．若α、β是第四象限角，則tanα>tanβ 3．下列命題中正確的是（ C ）． A．是增函數(shù) B．在第一象限是增函數(shù) C．是奇函數(shù) D．的反函數(shù)是 4．要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（ A ）． A．沿x軸向左平移單位 B．沿x軸向右平移單位 C．沿x軸向左平移單位 D．沿x軸向右平移單位 5．

21、若2sin2α+sin2β－2sinα=0則cos2α+cos2β的取值范圍是（ A ）． A．[1,5] B．[1,2] C．[1,] D．[－1,2] 6．在DABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求 的值 為 ． 7．設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑分別為r的R，則的最大值為 ． 8．設(shè)函數(shù)，（，）給出下列四個(gè)論斷： （1）它的周期為π； （2）它的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)； （3）它的圖象關(guān)于點(diǎn)（,0）對(duì)稱(chēng)； （4）在區(qū)間(－,0)上是增函數(shù)． 以其中

22、兩個(gè)論斷為條件，另兩個(gè)論斷為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題： ． （1）（2）→（3）（4）或（1）（3）→（2）（4） 9．（1）已知sin(+α)·sin(－α)=, α∈(,π)，求sin4α； （2）已知?cos(x+)=,π

23、an(x+) =[1－2cos2(x+)]tan(x+) 而cos(x+)=,tan(x+)= －，代入得：原式= －． 10．如下圖，某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿(mǎn)足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b． （1）求這段時(shí)間的最大溫差； （2）寫(xiě)出這段曲線的函數(shù)解析式． 解：（1）由圖示，這段時(shí)間的最大溫差是30－10=20(℃)； （2）圖中從6時(shí)到14時(shí)的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的半個(gè)周期的圖象． ∴=14－6，解得ω=，由圖示A=(30－10)=10，b=(30+10)=20， 這時(shí)y=10sin(x+φ)+20，將x=6,y=10代入上式可取

24、φ=π． 綜上所求的解析式為y=10sin(x+π)+20,x∈［6,14］． 11．已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)且圖象關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)的奇函數(shù)，f(1)=1 且 ． 求證：（1）函數(shù)是周期函數(shù)； （2）求的值． 解：∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，∴f(－x)=f(6+x)， ∵函數(shù)f(x)又是奇函數(shù)， ∴f(6+x)=f(－x)=—f(x)，f(x+12)=－f(x+6)=f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期為1， ∴函數(shù)f(x)是周期函數(shù)． cosx－sinx=cos(x+)=，∴cos(x+)=, ==－=7, f[]=f(7)=f(6+1)=f(－1)=－f(1)=－1． 12．已知⊙O的半徑為，在它的內(nèi)接三角形ABC中，有成立，求△ABC面積S的最大值． 解：∵，又2R=2， 由正弦定理得：2[]=（a－b）， ∴a2+b2－c2=ab,∴cosC= ∴∠C=． S=absinC==－[cos(A+B)－cos(A-B)]． ∵A+B=， ∴s=+cos(A－B), 故當(dāng)cos(A－B)=1時(shí), 即A=B=時(shí),△ABC面積S的最大值為．