高考數(shù)學專題復習 三角函數(shù)式在解三角形中的應用

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1、高考數(shù)學專題復習 三角函數(shù)式在解三角形中的應用 高考要求 三角形中的三角函數(shù)關系是歷年高考的重點內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 重難點歸納 (1)運用方程觀點結合恒等變形方法巧解三角形； (2)熟練地進行邊角和已知關系式的等價轉化； (3)能熟練運用三角形基礎知識，正、余弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過等價轉化或構建方程解答三角形的綜合問題，注意隱含條件的挖掘 典型題例示范講解 例1在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設有一個觀察站P，上午11時，測得一輪船在島北30°東，俯角為30°的B處，到11時10分又測

2、得該船在島北60°西、俯角為60°的C處。 (1)求船的航行速度是每小時多少千米； (2)又經(jīng)過一段時間后，船到達海島的正西方向的D處，問此時船距島A有多遠？ 命題意圖 本題主要考查三角形基礎知識，以及學生的識圖能力和綜合運用三角知識解決實際問題的能力 知識依托 主要利用三角形的三角關系，關鍵找準方位角，合理利用邊角關系 錯解分析 考生對方位角識別不準，計算易出錯 技巧與方法 主要依據(jù)三角形中的邊角關系并且運用正弦定理來解決問題 解 (1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米) 在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (

3、千米) 在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90° (2)∠DAC=90°－60°=30° sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB= sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB·cos30°－cosACB·sin30° 在△ACD中，據(jù)正弦定理得， ∴ 答 此時船距島A為千米 例2已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B，設x=cos，f(x)=cosB() (1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域； (2)判斷其單調(diào)性，并加以證明； (3)求這個函數(shù)的值域 命題意圖 本題主要考查考生運用三角知識解決綜

4、合問題的能力，并且考查考生對基礎知識的靈活運用的程度和考生的運算能力 知識依托 主要依據(jù)三角函數(shù)的有關公式和性質(zhì)以及函數(shù)的有關性質(zhì)去解決問題 錯解分析 考生對三角函數(shù)中有關公式的靈活運用是難點，并且不易想到運用函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的值域問題 技巧與方法 本題的關鍵是運用三角函數(shù)的有關公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化積和積化和差公式 在求定義域時要注意||的范圍 解 (1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120° ∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1 又4x2－3≠0，∴x≠，∴定義域為(，)∪(，1］ (2)設x1＜x2，

5、 ∴f(x2)－f(x1)==， 若x1，x2∈()，則4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0 即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈(，1］，則4x12－3＞0 4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0 即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(,)和(，1上都是減函數(shù) (3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2 故f(x)的值域為(－∞，－)∪［2，+∞ 例3已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B ，求cos的值

6、 解法一 由題設條件知B=60°，A+C=120° 設α=，則A－C=2α，可得A=60°+α，C=60°－α， 依題設條件有 整理得4cos2α+2cosα－3=0(M) (2cosα－)(2cosα+3)=0，∵2cosα+3≠0， ∴2cosα－=0 從而得cos 解法二 由題設條件知B=60°，A+C=120° ①， 把①式化為cosA+cosC=－2cosAcosC 　　 ②， 利用和差化積及積化和差公式，②式可化為 　 ③， 將cos=cos60°=，cos(A+C)=－代入③式得 　　?、?/p>

7、 將cos(A－C)=2cos2()－1代入 ④ 4cos2()+2cos－3=0，(*)， 學生鞏固練習 1 給出四個命題 (1)若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；(2)若sinA=cosB，則△ABC為直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，則△ABC為鈍角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，則△ABC為正三角形 以上正確命題的個數(shù)是( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2 在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為__________

8、 3 在△ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos(2A+C)=－，sinB=，則cos2(B+C)=__________ 4 已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積 5 如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比，角和這一點到光源的距離 r的平方成反比，即I=k·，其中 k是一個和燈光強度有關的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？ 6 在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊， (1)求角A的度數(shù)；

9、 (2)若a=，b+c=3，求b和c的值 7 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且a、b、3c成等比數(shù)列，又∠A－∠C=，試求∠A、∠B、∠C的值 8 在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使AD最小，求AD∶AB的值 參考答案 1 解析 其中(3）(4）正確 答案 B 2 解析 ∵A+B+C=π，A+C=2B， 答案 3 解析 ∵A為最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180° ∵cos(2A+C)=－，∴sin(

10、2A+C)= ∵C為最大角，∴B為銳角，又sinB= 故cosB= 即sin(A+C)=，cos(A+C)=－ ∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－， ∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)－1= 答案 4 解 如圖 連結BD，則有四邊形ABCD的面積 S=S△ABD+S△CDB=·AB·ADsinA+·BC·CD·sinC ∵A+C=180°，∴sinA=sinC 故S=(AB·AD+BC·CD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA 由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2A

11、B·AD·cosA=20－16cosA 在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC ∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA， ∴64cosA=－32，cosA=－， 又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=8 5 解 R=rcosθ，由此得 ， 7 解 由a、b、3c成等比數(shù)列，得 b2=3ac ∴sin2B=3sinC·sinA=3(－)［cos(A+C)－cos(A－C)］ ∵B=π－(A+C) ∴sin2(A+C)=－［cos(A+C)－cos］ 即1－cos

12、2(A+C)=－cos(A+C)，解得cos(A+C)=－ ∵0＜A+C＜π，∴A+C=π 又A－C=∴A=π，B=，C= 8 解 按題意，設折疊后A點落在邊BC上改稱P點，顯然A、P兩點關于折線DE對稱，又設∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ， 再設AB=a，AD=x，∴DP=x 在△ABC中， ∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ， 由正弦定理知 ∴BP= 在△PBD中， , ∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°， ∴當60°+2θ=90°，即θ=15°時， sin(60°+2θ)=1，此時x取得最小值a，即AD最小， ∴AD∶DB=2－3 課前后備注