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1、保分大題規(guī)范專練(三)
1.已知 m=(艱sin 3 x, cos 3 x) , n= (cos 3 x, — cos 3 x)( 3 >0, xC R), f (x) = m。n
1 一，，一 J— 一，,，，、、，，、，兀
—2且f(X)的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為-y.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若△ABC^ 內(nèi)角A,B,C 的對邊分別為a, b, c 且 b = {7,f(B)=0, sinA= 3sinC,求
a, c的值及△ ABC勺面積.
1
=3sin
解：(1) f (x) = m? n —2 9 X cos CO X — cos 3
2、 X — 2
31
=sin 2 cox—'cos 2 cox —1
兀
= sin 2 co x —— — 1.
兀
???相鄰兩對稱軸之間的距離為 萬,
2兀,^ 兀
? . T="-=兀)?. 3 = 1)..f(x)= sin 2x— — — 1,
2 36
兀兀兀
由2kL5< 2X一萬W2k兀十5,kJ,
7t
7t
—
3、^
由sin A= 3sin C及正弦定理得a=3c,
在△AB8,由余弦定理可得
_ a2+c2-b2 9c2+c2—7 10c2—7 1
cos B=22
B2ac6c6c2'
. C 1.
? ? Sa AB= 'acsin
1 c , B=-X3X1X
2.如圖，已知四邊形 ABC更正方形，四邊形 ABEF四邊形DCEF 兀
形，且/ AFE= —, M為BC的中點(diǎn).
(1)證明：BCL平面MEF
(2)求直線DE與平面MEFW成角的大小.
解：(1)證明：由四邊形 ABEF四邊形DCE的菱形得CE= EF= BE 因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以EML
4、 BC 由四邊形 ABC更正方形得 BCLAB, 由四邊形ABE叨菱形得AB// EF,所以BCL EF 因?yàn)镋MT EF= E,所以BCL平面MEF (2)取AD的中點(diǎn)N,連接MN FN NE 又因?yàn)辄c(diǎn) M為BC的中點(diǎn)，所以 MIN/ AB// EF, 所以N, M E, F四點(diǎn)共面.
因?yàn)锳D// BC BCL平面 MEF 所以ADL平面MEF 所以/ DENI^ DE與平面MEFW成的角. 設(shè)AB= 2,因?yàn)樵诹庑?ABE沖，
兀 …?
ZAFE=所以 AE= AB= 2,
因?yàn)锳DL NE N為AD的中點(diǎn)，所以 DN= 1, DE= AE= 2, ~ ,DN 1 ~ ,兀
所
5、以 sin / DEN=—=-,所以/ DEN= —,
DE 26
一，一. 兀
即DE與平面MEFW成的角為-.
6
3.已知函數(shù) f(x)=(t + 1)ln x+tx2+3t, t C R.
..，一，,1 o
(1)右 t = 0,求證：當(dāng) x>0 時，f (x+1) > x—2x ;
(2)若f(x)>4x對任意xC [1 , +8)恒成立，求t的取值范圍. 解：(1)證明：t = 0時，
f (x+ 1) — x+2x2= ln( x + 1) +2x2 — x.
令 g(x) =ln( x+1) +2x2-x,
則g'
(x) 、
)x+1
卜 x—
6、1 =
x >0 x+1
從而函數(shù)g(x)在xC[0, +8)上單調(diào)遞增，
g(x) >g(0) =0,即 x>0 時，f (x+1) > x—2x2.
(2)由(1)知，x>0 時，ln( x+1)>x-2x2,
則x>l時，
In x= ln[( x— 1) +1] >(x—1) — 2(x— 1)2 = -2x2+2x-3.
若tw—1,則當(dāng)x>l時，(t+1)ln x+tx2+3t<0<4x,原不等式不成立.
若 t>—1, x> 1, 2.
則 f(x)—4x= (t + 1)ln x+tx -4x+3t
>(t + 1) — 2x2 + 2x — 2 + tx 2— 4x+ 3t
t — 12
=-(x +4x+ 3),
從而f(x)>4x恒成立時，t>1.
綜上所述，t的取值范圍為［1 , +8).
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