高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊一 離散型隨機(jī)變量及其分布列2完整講義（學(xué)生版）

學(xué)而思高中完整講義：隨機(jī)變量及其分布列.版塊一.離散型隨機(jī)變量及其分布列2.學(xué)生版知識(shí)內(nèi)容1 離散型隨機(jī)變量及其分布列離散型隨機(jī)變量如果在試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，并且是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量叫做一個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用大寫(xiě)字母表示如果隨機(jī)變量的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的分布列將離散型隨機(jī)變量所有可能的取值與該取值對(duì)應(yīng)的概率列表表示：我們稱(chēng)這個(gè)表為離散型隨機(jī)變量的概率分布，或稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量的分布列2幾類(lèi)典型的隨機(jī)分布兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量的分布列為其中，則稱(chēng)離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布二點(diǎn)分布舉例：某次抽查活動(dòng)中，一件產(chǎn)品合格記為，不合格記為，已知產(chǎn)品的合格率為，隨機(jī)變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則的分布列滿(mǎn)足二點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布又稱(chēng)分布，由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，所以這種分布又稱(chēng)為伯努利分布超幾何分布一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類(lèi)物品，其中一類(lèi)有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類(lèi)物品件數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為時(shí)的概率為，為和中較小的一個(gè)我們稱(chēng)離散型隨機(jī)變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱(chēng)服從參數(shù)為，的超幾何分布在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式求出取不同值時(shí)的概率，從而列出的分布列二項(xiàng)分布1獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)如果每次試驗(yàn)，只考慮有兩個(gè)可能的結(jié)果及，并且事件發(fā)生的概率相同在相同的條件下，重復(fù)地做次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱(chēng)它們?yōu)榇为?dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率為2二項(xiàng)分布若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率是，其中于是得到的分布列由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)展開(kāi)式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，所以稱(chēng)這樣的散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作二項(xiàng)分布的均值與方差：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則，正態(tài)分布1 概率密度曲線(xiàn)：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來(lái)越大時(shí)，直方圖上面的折線(xiàn)所接近的曲線(xiàn)在隨機(jī)變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量，則這條曲線(xiàn)稱(chēng)為的概率密度曲線(xiàn)曲線(xiàn)位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機(jī)變量落在指定的兩個(gè)數(shù)之間的概率就是對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積2正態(tài)分布定義：如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起的，而且每一個(gè)偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)變量正態(tài)變量概率密度曲線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，其中，是參數(shù)，且，式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布重要結(jié)論：正態(tài)變量在區(qū)間，內(nèi)，取值的概率分別是，正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為，在區(qū)間之外的取值的概率是，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的原則若，為其概率密度函數(shù)，則稱(chēng)為概率分布函數(shù)，特別的，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對(duì)密度曲線(xiàn)的理解即可3離散型隨機(jī)變量的期望與方差1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能的取的值是，這些值對(duì)應(yīng)的概率是，則，叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱(chēng)期望）離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫(huà)了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平2離散型隨機(jī)變量的方差一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是，這些值對(duì)應(yīng)的概率是，則叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大?。x散程度）的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)衡量離散型隨機(jī)變量波動(dòng)大小的量3為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則；4 典型分布的期望與方差：二點(diǎn)分布：在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為，在次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則，超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布，則，4事件的獨(dú)立性如果事件是否發(fā)生對(duì)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，即，這時(shí)，我們稱(chēng)兩個(gè)事件，相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件如果事件，相互獨(dú)立，那么這個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即，并且上式中任意多個(gè)事件換成其對(duì)立事件后等式仍成立5條件概率對(duì)于任何兩個(gè)事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)“”來(lái)表示把由事件與的交（或積），記做（或）典例分析離散型隨機(jī)分布列的性質(zhì)【例1】 袋中有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量，則所有可能取值的個(gè)數(shù)是（ ）A5 B9 C10 D25【例2】 下列表中能成為隨機(jī)變量的分布列的是A101030404B123040701C101030403D123030404【例3】 設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為012340201010303求的分布列；的分布列【例4】 已知隨機(jī)變量的分布列為：分別求出隨機(jī)變量的分布列【例5】 袋中有個(gè)大小規(guī)格相同的球，其中含有個(gè)紅球，從中任取個(gè)球，求取出的個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)的概率分布【例6】 某人參加一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的10道試題中，能答對(duì)其中的6道題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，求答對(duì)試題數(shù)的概率分布【例7】 盒中的零件有9個(gè)正品和3個(gè)次品，每次取一個(gè)零件，如果取出的次品不放回，求在取得正品前已取出的次品數(shù)的概率分布【例8】 有六節(jié)電池，其中有2只沒(méi)電，4只有電，每次隨機(jī)抽取一個(gè)測(cè)試，不放回，直至分清楚有電沒(méi)電為止，所要測(cè)試的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列【例9】 在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：不放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)的分布列；放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)的分布列【例10】 設(shè)隨機(jī)變量所有可能取值為，且已知概率與成正比，求的分布【例11】 某一隨機(jī)變量的概率分布如下表，且，則的值為（ ）ABCD0123【例12】 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則的值為（ ）A 1 B C D【例13】 設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下表，求的值-101【例14】 隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律為，其中是常數(shù)，則的值為（ ） ABCD【例15】 一批產(chǎn)品分為一、二、三級(jí)，其中一級(jí)品是二級(jí)品的兩倍，三級(jí)品為二級(jí)品的一半，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)檢驗(yàn)，其級(jí)別為隨機(jī)變量，則（ ） A B C D【例16】 某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)的分布列如下：45678910002004006009028029022求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)”的概率_【例17】 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列是X123P1/31/21/6求；【例18】 隨機(jī)變量的分布列，為常數(shù)，則（ ）ABCD【例19】 設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為，其中為常數(shù)，則的值為（ ）A B C D【例20】 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，求的取值【例21】 已知為離散型隨機(jī)變量的概率分布，求的取值【例22】 若，其中，則等于（ ）ABCD【例23】 甲乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員輪流投籃直至有人投中為止，設(shè)每次投籃甲投中的概率為，乙投中的概率為，而且每次不受其他次投籃結(jié)果的影響，甲投籃的次數(shù)為，若甲先投，則_【例24】 某人的興趣小組中，有名三好生，現(xiàn)從中任意選人參加競(jìng)賽，用表示這人中三好生的人數(shù)，則_【例25】 設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：求常數(shù)的值【例26】 設(shè)隨機(jī)變量等可能的取值，如果，那么（ ）A B C D【例27】 設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為，則的值是（ ）A B C D【例28】 已知隨機(jī)變量的分布列為，則 【例29】 設(shè)隨機(jī)變量的概率分布是，為常數(shù)，則（ ）A B C D離散型隨機(jī)分布列的計(jì)算【例30】 在第路公共汽車(chē)都要依靠的一個(gè)站（假設(shè)這個(gè)站只能停靠一輛汽車(chē)），有一位乘客等候第路或第路汽車(chē)假定當(dāng)時(shí)各路汽車(chē)首先到站的可能性都是相等，則首先到站正好是這位乘客所需求的汽車(chē)的概率等于 【例31】 在個(gè)村莊中有個(gè)村莊交通不便，現(xiàn)從中任意選取個(gè)村莊，其中有個(gè)村莊交通不便，下列概率中等于的是（ ）A B C D【例32】 已知隨機(jī)量服從正態(tài)分布，且，則（ ）ABCD【例33】 某校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提高通過(guò)已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成，2題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響分別寫(xiě)出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列【例34】 一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球，已知紅球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的兩倍，黃球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的一半現(xiàn)從該盒中隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出紅球得1分，取出黃球得0分，取出綠球得分，試寫(xiě)出從該盒中取出一球所得分?jǐn)?shù)的分布列，并求出所得分?jǐn)?shù)不為0的概率【例35】 旅游公司為3個(gè)旅游團(tuán)提供4條旅游線(xiàn)路，每個(gè)旅游團(tuán)任選其中一條求選擇甲線(xiàn)路旅游團(tuán)數(shù)的分布列【例36】 甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者 求甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)的概率； 求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率； 設(shè)隨機(jī)變量為這五名志愿者中參加崗位服務(wù)的人數(shù)，求的分布列【例37】 某食品廠(chǎng)為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線(xiàn)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線(xiàn)上的件產(chǎn)品作為樣本稱(chēng)出它們的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖4所示 根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過(guò)克的產(chǎn)品數(shù)量 在上述抽取的件產(chǎn)品中任取件，設(shè)為重量超過(guò)克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列； 從該流水線(xiàn)上任取件產(chǎn)品，求恰有件產(chǎn)品的重量超過(guò)克的概率【例38】 甲與乙兩人擲硬幣，甲用一枚硬幣擲次，記國(guó)徽面（記為正面）朝上的次數(shù)為隨機(jī)變量；乙用一枚硬幣擲次，記國(guó)徽面（記為正面）朝上的次數(shù)為隨機(jī)變量求隨機(jī)變量與的分布列；求甲得到的正面朝上的次數(shù)不少于的概率求甲與乙得到的正面朝上的次數(shù)之和為的概率；求甲得到的正面朝上的次數(shù)大于乙的概率【例39】 一袋中裝有編號(hào)為的個(gè)大小相同的球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出個(gè)球，以表示取出的最大號(hào)碼 求的概率分布； 求的概率【例40】 袋中裝有黑球和白球共個(gè)，從中任取個(gè)球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用表示取球終止所需要的取球次數(shù) 求袋中所有的白球的個(gè)數(shù)； 求隨機(jī)變量的概率分布； 求甲取到白球的概率【例41】 一個(gè)袋中有個(gè)球，編號(hào)為，在其中同時(shí)取3個(gè)球，以表示取出的個(gè)球中的最大號(hào)碼，試求的概率分布列以及最大號(hào)碼不小于4的概率【例42】 對(duì)于正整數(shù)，用表示關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中（和可以相等）；對(duì)于隨機(jī)選取的（和可以相等），記為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率求及；求證：對(duì)任意正整數(shù)，有【例43】 某種電子玩具按下按鈕后，會(huì)出現(xiàn)紅球或綠球，已知按鈕第一次按下后，出現(xiàn)紅球與綠球的概率都是，從按鈕第二次按下起，若前次出現(xiàn)紅球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別為；若前次出現(xiàn)綠球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別為；記 第次按下按鈕后出現(xiàn)紅球的概率為 求的值；當(dāng)時(shí)，求用表示的表達(dá)式；求關(guān)于的表達(dá)式