【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科不等式與線性劃】專題2 第3練

第3練“三個(gè)二次”的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用題型分析高考展望“二次函數(shù)、二次方程、二次不等式”是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，在高考中雖然一般不直接考查，但它是解決很多數(shù)學(xué)問題的工具.如函數(shù)圖象問題、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的問題、直線與圓錐曲線的綜合問題等.“三個(gè)二次”經(jīng)常相互轉(zhuǎn)化，相輔相成，是一個(gè)有機(jī)的整體.如果能很好地掌握三者之間的轉(zhuǎn)化及應(yīng)用方法，會(huì)有利于解決上述有關(guān)問題，提升運(yùn)算能力.?？碱}型精析題型一函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化例1是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)x2(3a2)xa1在區(qū)間1,3上恒有一個(gè)零點(diǎn)，且只有一個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.點(diǎn)評(píng)二次函數(shù)零點(diǎn)問題或二次函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，一般都需轉(zhuǎn)化為二次方程根的存在性及根的分布來解決，解決的方法是列出判別式和有關(guān)函數(shù)值的不等式(組)，或用數(shù)形結(jié)合方法解決.變式訓(xùn)練1設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)則關(guān)于x的函數(shù)y2f 2(x)3f(x)1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_.題型二函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化例2已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)yf(x1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱.若對(duì)任意的x，yR，不等式f(x26x21)f(y28y)<0恒成立，則當(dāng)x>3時(shí)，x2y2的取值范圍是_.點(diǎn)評(píng)不等式是解決函數(shù)定義域、值域、參數(shù)范圍等問題的有效工具，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為不等式解決是解答此類問題的常規(guī)思路.而二次不等式的解的確定又要借助二次函數(shù)圖象，所以二者關(guān)系密切.函數(shù)單調(diào)性的確定是抽象函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練2已知一元二次不等式f(x)<0的解集為x|x<1或x>，則f(10x)>0的解集為()A.x|x<1或x>lg 2 B.x|1<x<lg 2C.x|x>lg 2 D.x|x<lg 2題型三方程與不等式的轉(zhuǎn)化例3已知關(guān)于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的取值范圍；(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的取值范圍.點(diǎn)評(píng)“三個(gè)二次”是一個(gè)整體，不可分割.有關(guān)“三個(gè)二次”問題的解決辦法通常是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想來將其轉(zhuǎn)化，其中用到的方法主要有數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想，其最基本的理念可以說是嚴(yán)格按照一元二次不等式的解決步驟來處理.變式訓(xùn)練3(2015四川)如果函數(shù)f(x)(m2)x2(n8)x1(m0，n0)在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么mn的最大值為()A.16 B.18 C.25 D.高考題型精練1.若Ax|x2(p2)x10，xR，Bx|x>0，且AB，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是()A.p>4 B.4<p<0C.p0 D.R2.(2015威海模擬)已知函數(shù)f(x)(x2)(axb)為偶函數(shù)，且在(0，)上單調(diào)遞增，則f(2x)>0的解集為()A.x|x>2或x<2 B.x|2<x<2C.x|x<0或x>4 D.x|0<x<43.已知函數(shù)f(x)x22x3在閉區(qū)間0，m上的最大值為3，最小值為2，則m的取值范圍為()A.1，) B.0,2C.(，2 D.1,24.若方程x2xm0在x1,1上有實(shí)根，則m的取值范圍是()A.m B.<m<C.m D.m5.若f(x)x2ax1有負(fù)值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a2 B.2<a<2C.a>2或a<2 D.1<a<36.(2015長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x) 若關(guān)于x的方程f2(x)af(x)0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是()A.(0,1) B.(0,2)C.(1,2) D.(0,3)7.已知函數(shù)f(x)ax22ax4(0<a<3)，若x1<x2，x1x21a，則()A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)f(x2)C.f(x1)>f(x2)D.f(x1)與f(x2)的大小不能確定8.若a<b<c，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A.(a，b)和(b，c)內(nèi) B.(，a)和(a，b)內(nèi)C.(b，c)和(c，)內(nèi) D.(，a)和(c，)內(nèi)9.(2015湖北)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)|x2ax|在區(qū)間0,1上的最大值記為g(a).當(dāng)a_時(shí)，g(a)的值最小.10.若關(guān)于x的不等式(2x1)2<ax2的解集中整數(shù)恰好有3個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.11.已知函數(shù)f(x)2ax22x3.如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,1上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_.12.已知函數(shù)f(x)ax2ax和g(x)xa，其中aR，且a0.若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象相交于不同的兩點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試求OAB的面積S的最大值.答案精析專題2不等式與線性規(guī)劃第3練“三個(gè)二次”的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用?？碱}型精析例1解令f(x)0，則(3a2)24(a1)9a216a89(a)2>0，即f(x)0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若實(shí)數(shù)a滿足條件，則只需f(1)f(3)0即可.f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a或a1.檢驗(yàn)：(1)當(dāng)f(1)0，a1時(shí)，f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1,3上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意，故a1.(2)當(dāng)f(3)0時(shí)，a，此時(shí)f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解得x或x3.方程在1,3上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意，故a.綜上所述，a<或a>1.變式訓(xùn)練17解析由y2f2(x)3f(x)10得f(x)或f(x)1，如圖畫出f(x)的圖象，由f(x)知有4個(gè)根，由f(x)1知有3個(gè)根，故函數(shù)y2f2(x)3f(x)1共有7個(gè)零點(diǎn).例2(13,49)解析由函數(shù)f(x1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù).所以不等式f(x26x21)f(y28y)<0可化為f(x26x21)<f(y28y)f(y28y).又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上為增函數(shù)，故必有x26x21<y28y，即x26x21y28y<0，配方，得(x3)2(y4)2<4.因?yàn)閤>3，故不等式組表示為它表示的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的半圓的內(nèi)部.而x2y2表示該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方.由圖可知，x2y2的最小值在點(diǎn)A處取得，但因?yàn)樵擖c(diǎn)在邊界的分界線上，不屬于可行域，故x2y2>322213，而最大值為圓心(3,4)到原點(diǎn)的距離與半徑之和的平方，但因?yàn)樵擖c(diǎn)在圓的邊界上，不屬于可行域，故x2y2<(52)249，故13<x2y2<49.變式訓(xùn)練2D 由題意可知f(x)>0的解集為x|1<x<，故f(10x)>0等價(jià)于1<10x<，由指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0，)，知一定有10x>1，而10x<可化為10x<10lg ，即10x<10lg 2.由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知x<lg 2，故選D.例3解(1)由條件，拋物線f(x)x22mx2m1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(1,0)和(1,2)內(nèi)，如圖所示，得即<m<，故m的取值范圍是(，).(2)拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，如圖所示，列不等式組即<m1.故m的取值范圍是(，1.變式訓(xùn)練3B 令f(x)(m2)xn80，x，當(dāng)m2時(shí)，對(duì)稱軸x0，由題意，得2，2mn12，6，mn18，由2mn12且2mn知m3，n6.當(dāng)m2時(shí)，拋物線開口向下，由題意，即2nm18，9，mn，由2nm18且2nm，得m9(舍去)，mn最大值為18，選B.高考題型精練1.A 當(dāng)A時(shí)，(p2)24<0，4<p<0.當(dāng)A時(shí)，方程x2(p2)x10有兩負(fù)根，p0.綜上所述，p>4.2.C f(x)ax2(b2a)x2b.f(x)是偶函數(shù)，b2a0，即b2a.f(x)ax24a，又f(2)0，x(0，)時(shí)，f(x)為增函數(shù).f(2x)>f(2)或f(2x)>f(2).2x>2或2x<2，即x<0或x>4.3.D f(x)(x1)22，其對(duì)稱軸為x1，當(dāng)x1時(shí)，f(x)min2，故m1，又f(0)3，f(2)3，m2.綜上可知1m2.4.D mx2x2，x1,1.當(dāng)x1時(shí)，m取最大值為，當(dāng)x時(shí)，m取最小值為，m.5.C f(x)x2ax1有負(fù)值，(a)24>0，則a>2或a<2.6.A 設(shè)tf(x)，則方程為t2at0，解得t0或ta，即f(x)0或f(x)a.如圖，作出函數(shù)f(x)的圖象，由函數(shù)圖象，可知f(x)0的解有兩個(gè)，故要使方程f2(x)af(x)0恰有5個(gè)不同的解，則方程f(x)a的解必有三個(gè)，此時(shí)0<a<1.所以a的取值范圍是(0,1).7.A f(x)的對(duì)稱軸為直線x1，又x1x21a，0<a<3.>1.x1<x2，x1離對(duì)稱軸的距離小于x2離對(duì)稱軸的距離.又a>0，f(x1)<f(x2).8.A 由于a<b<c，所以f(a)0(ab)(ac)0>0，f(b)(bc)(ba)<0，f(c)(ca)(cb)>0.因此有f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，又因f(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，因此函數(shù)f(x)的兩零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)，故選A.9.22解析(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，故g(a)f(1)1.(2)當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，故g(a)f(1)1a.(3)當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象如圖(2)所示，f，f(1)1a，ff(1)(1a).當(dāng)0<a<22時(shí)，因?yàn)閒f(1)<0，即f<f(1)，所以g(a)f(1)1a；當(dāng)22a<1時(shí)，因?yàn)閒f(1)0，即ff(1)，所以g(a)f.(4)當(dāng)1a<2時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象如圖(3)所示，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故g(a)f.(5)當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象如圖(4)所示，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，故g(a)f(1)a1.綜上，g(a)當(dāng)a<22時(shí)，g(a)>g(22)32；當(dāng)22a<2時(shí)，g(a)g(22)32；當(dāng)a2時(shí)，g(a)g(2)1>32.綜上，當(dāng)a22時(shí)，g(a)min32.10.解析因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于(a4)x24x1<0，其中(a4)x24x10中的4a>0，且有4a>0，故0<a<4，不等式的解集為<x<，<<，則一定有1,2,3為所求的整數(shù)解集.所以3<4，解得a的范圍為.11.解析若a0，則f(x)2x3，f(x)0x1,1，不合題意，故a0.下面就a0分兩種情況討論：(1)當(dāng)f(1)f(1)0時(shí)，f(x)在1,1上至少有一個(gè)零點(diǎn)，即(2a5)(2a1)0，解得a.(2)當(dāng)f(1)f(1)>0時(shí)，f(x)在1,1上有零點(diǎn)的條件是解得a>.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.12.解依題意，f(x)g(x)，即ax2axxa，整理得ax2(a1)xa0，a0，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象相交于不同的兩點(diǎn)A、B，>0，即(a1)24a23a22a1(3a1)(a1)>0，1<a<且a0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2，由得x1x21>0，x1x2.設(shè)點(diǎn)O到直線g(x)xa的距離為d，則d，S|x1x2| .1<a<且a0，當(dāng)a時(shí)，S取得最大值.即OAB的面積S的最大值為.