2020版高三數(shù)學(xué)《6年高考4年模擬》：第八章 立體幾何 第三節(jié) 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1

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1、第三節(jié) 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 第一部分 六年高考薈萃 2020年高考題 一、選擇題 1.（2020全國(guó)卷2理）（11）與正方體的三條棱、、所在直線的距離相等的點(diǎn) （A）有且只有1個(gè) （B）有且只有2個(gè) （C）有且只有3個(gè) （D）有無(wú)數(shù)個(gè) 【答案】D 【解析】直線上取一點(diǎn)，分別作垂直于于則分別作，垂足分別為M，N，Q，連PM，PN，PQ，由三垂線定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方體中各個(gè)表面、對(duì)等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三條棱AB、CC1、A1D1

2、.所在直線的距離相等所以有無(wú)窮多點(diǎn)滿足條件，故選D. 2.（2020遼寧理）(12) (12)有四根長(zhǎng)都為2的直鐵條，若再選兩根長(zhǎng)都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是 (A)（0,） (B)（1,） (C) (,） (D) （0,） 【答案】A 【命題立意】本題考查了學(xué)生的空間想象能力以及靈活運(yùn)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。 【解析】根據(jù)條件，四根長(zhǎng)為2的直鐵條與兩根長(zhǎng)為a的直鐵條要組成三棱鏡形的鐵架，有以下兩種情況：（1）地面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，三條側(cè)棱長(zhǎng)為2，a，a，如圖，此時(shí)a可以取最大值，可知AD=

3、，SD=，則有<2+，即，即有a< (2)構(gòu)成三棱錐的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為a，其他各邊長(zhǎng)為2，如圖所示，此時(shí)a>0; 綜上分析可知a∈（0,） 3.（2020全國(guó)卷2文）（11）與正方體ABCD—A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn) （A）有且只有1個(gè) （B）有且只有2個(gè) （C）有且只有3個(gè) （D）有無(wú)數(shù)個(gè) 【答案】D 【解析】：本題考查了空間想象能力 ∵到三條兩垂直的直線距離相等的點(diǎn)在以三條直線為軸，以正方體邊長(zhǎng)為半徑的圓柱面上，∴三個(gè)圓柱面有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)， 4.（202

4、0全國(guó)卷2文）（8）已知三棱錐中，底面為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，垂直于底面，=3，那么直線與平面所成角的正弦值為 （A） (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】：本題考查了立體幾何的線與面、面與面位置關(guān)系及直線與平面所成角。 A B C S E F 過(guò)A作AE垂直于BC交BC于E，連結(jié)SE，過(guò)A作AF垂直于SE交SE于F，連BF，∵正三角形ABC，∴ E為BC中點(diǎn)，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠ABF為直線AB

5、與面SBC所成角，由正三角形邊長(zhǎng)3，∴ ，AS=3，∴ SE=，AF=，∴ 5.（2020全國(guó)卷1文）（9）正方體-中，與平面所成角的余弦值為 （A） （B） （C） （D） A B C D A1 B1 C1 D1 O 【答案】D 【命題意圖】本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角、點(diǎn)到平面的距離的求法，利用等體積轉(zhuǎn)化求出D到平面AC的距離是解決本題的關(guān)鍵所在,這也是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn). 【解析1】因?yàn)锽B1//DD1,所以B與平面AC所成角和DD1與平面AC所成角相等,設(shè)DO⊥平面AC，由等體積法得,即.設(shè)DD1=a, 則,.

6、 所以,記DD1與平面AC所成角為,則,所以. 【解析2】設(shè)上下底面的中心分別為；與平面AC所成角就是B與平面AC所成角， 6.（2020全國(guó)卷1理）（12）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為 (A) (B) (C) (D) 7.（2020全國(guó)卷1理）（7）正方體ABCD-中，B與平面AC所成角的余弦值為 （A） （B） （C） （D） 8.（2020四川文）（12）半徑為的球的直徑垂直于平面，垂足為，是平面內(nèi)邊長(zhǎng)為的正三角形，線段、分別與球面交于點(diǎn)、

7、，那么、兩點(diǎn)間的球面距離是 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝ cos∠BAC＝ 連結(jié)OM，則△OAM為等腰三角形 AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD 而AC＝R,CD＝R 故MN：CD＝AN:AC T MN＝， 連結(jié)OM、ON，有OM＝ON＝R 于是cos∠MON＝ 所以M、N兩點(diǎn)間的球面距離是 二、填空題 1.（2020江西理）16.如圖，在三棱錐中，三條棱，，兩兩垂直，且>>,分別經(jīng)過(guò)三條棱，，作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依

8、次為，，，則，，的大小關(guān)系為 。 【答案】 【解析】考查立體圖形的空間感和數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力，通過(guò)補(bǔ)形，借助長(zhǎng)方體驗(yàn)證結(jié)論，特殊化，令邊長(zhǎng)為1，2，3得。 2.（2020北京文）（14）如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形PABC沿x軸滾動(dòng)。 設(shè)頂點(diǎn)p（x，y）的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系是 ，則的最小正周期為 ； 在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖像與x軸 所圍區(qū)域的面積為 。 【答案】4 說(shuō)明：“正方形PABC沿x軸滾動(dòng)”包含沿x軸正方向和沿x軸負(fù)方向滾動(dòng)。沿x軸正方向滾動(dòng)是指以頂點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)B落在x軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)B

9、為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)，類似地，正方形PABC可以沿著x軸負(fù)方向滾動(dòng)。 3.（2020北京理）（14）如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形PABC沿x軸滾動(dòng)。設(shè)頂點(diǎn)p（x，y）的軌跡方程是，則的最小正周期為 ；在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖像與x軸所圍區(qū)域的面積為 【答案】4 說(shuō)明：“正方形PABC沿軸滾動(dòng)”包括沿軸正方向和沿軸負(fù)方向滾動(dòng)。沿軸正方向滾動(dòng)指的是先以頂點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)B落在軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)。類似地，正方形PABC可以沿軸負(fù)方向滾動(dòng)。 4.（2020四川文）（15）如圖，二面角的大小是60°，線段.，

10、與所成的角為30°.則與平面所成的角的正弦值是 . 【答案】 【解析】過(guò)點(diǎn)A作平面β的垂線，垂足為C，在β內(nèi)過(guò)C作l的垂線.垂足為D 連結(jié)AD，有三垂線定理可知AD⊥l，故∠ADC為二面角的平面角，為60° C D 又由已知，∠ABD＝30°連結(jié)CB，則∠ABC為與平面所成的角 設(shè)AD＝2，則AC＝，CD＝1 AB＝＝4 ∴sin∠ABC＝ 5.（2020湖北文數(shù)）14.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為3cm的水，若放入三個(gè)相同的珠（球的半么與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒(méi)最上面的球（如圖所示），則球的半徑是____cm. 【答案】4 【解析】設(shè)球半徑為r，則

11、由可得,解得r=4. 6.（2020湖南理數(shù)）13．圖3中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20的幾何體的三視圖，則 ． 7.（2020湖北理數(shù)）13.圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒(méi)最上面的球（如圖所示），則球的半徑是 cm。 【答案】4 【解析】設(shè)球半徑為r，則由可得,解得r=4. 8.（2020福建理數(shù)） 12．若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其表面積等于 ． 【答案】 【解析】由正視圖知：三棱柱是以底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正三棱柱，

12、所以底面積為 ，側(cè)面積為，所以其表面積為。 【命題意圖】本題考查立體幾何中的三視圖，考查同學(xué)們識(shí)圖的能力、空間想象能力等基本能力。 三、解答題 1.（2020遼寧文）（19）（本小題滿分12分） 如圖，棱柱的側(cè)面是菱形， （Ⅰ）證明：平面平面； （Ⅱ）設(shè)是上的點(diǎn)，且平面，求的值. 解：（Ⅰ）因?yàn)閭?cè)面BCC1B1是菱形，所以 又已知 所又平面A1BC1，又平面AB1C ， 所以平面平面A1BC1 . （Ⅱ）設(shè)BC1交B1C于點(diǎn)E，連結(jié)DE， 則DE是平面A1BC1與平面B1CD的交線， 因?yàn)锳1B//平面B1CD，所以A1B//D

13、E. 又E是BC1的中點(diǎn)，所以D為A1C1的中點(diǎn). 即A1D：DC1=1. 2.（2020遼寧理）（19）（本小題滿分12分） 已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn). （Ⅰ）證明：CM⊥SN； （Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小. 證明： 設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖。 則P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.……4分 （Ⅰ）, 因?yàn)椋? 所以C

14、M⊥SN ……6分 （Ⅱ）, 設(shè)a=（x，y，z）為平面CMN的一個(gè)法向量， 則 ……9分 因?yàn)? 所以SN與片面CMN所成角為45°。 ……12分 3.（2020全國(guó)卷2文）（19）（本小題滿分12分） 如圖，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D為BB的中點(diǎn)，E為AB上的一點(diǎn)，AE=3 EB （Ⅰ）證明：DE為異面直線AB與CD的公垂線； （Ⅱ）設(shè)異面直線AB與CD的夾角為45°,求二面角A-AC-B的大小 【解析】本題考

15、查了立體幾何中直線與平面、平面與平面及異面直線所成角與二面角的基礎(chǔ)知識(shí)。 （1）要證明DE為AB1與CD的公垂線，即證明DE與它們都垂直，由AE=3EB1，有DE與BA1平行，由A1ABB1為正方形，可證得，證明CD與DE垂直，取AB中點(diǎn)F。連結(jié)DF、FC，證明DE與平面CFD垂直即可證明DE與CD垂直。 （2）由條件將異面直線AB1，CD所成角找出即為FDC，設(shè)出AB連長(zhǎng)，求出所有能求出的邊長(zhǎng)，再作出二面角的平面角，根據(jù)所求的邊長(zhǎng)可通過(guò)解三角形求得。 4.（2020江西理）20. （本小題滿分12分） 如圖△BCD與△MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面B

16、CD，。 （1） 求點(diǎn)A到平面MBC的距離； （2） 求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值。 【解析】本題以圖形拼折為載體主要考查了考查立體圖形的空間感、點(diǎn)到直線的距離、二面角、空間向量、二面角平面角的判斷有關(guān)知識(shí)，同時(shí)也考查了空間想象能力和推理能力 解法一：（1）取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OB⊥CD， OM⊥CD.又平面平面,則MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延長(zhǎng)AM、BO相交于E，則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角.OB=MO=，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距離相等，作OHBC于H，連MH，則MHBC，求得： OH=OCs

17、in600=,MH=,利用體積相等得：。 （2）CE是平面與平面的交線. 由（1）知，O是BE的中點(diǎn)，則BCED是菱形. 作BF⊥EC于F，連AF，則AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，設(shè)為. 因?yàn)椤螧CE=120°，所以∠BCF=60°. ， ， 所以，所求二面角的正弦值是. 【點(diǎn)評(píng)】傳統(tǒng)方法在處理時(shí)要注意到輔助線的處理，一般采用射影、垂線、平行線等特殊位置的元素解決 解法二：取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,則MO⊥平面. 以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖. OB=OM=，則各

18、點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2）， （1）設(shè)是平面MBC的法向量，則， ，由得；由得；取，則距離 （2），. 設(shè)平面ACM的法向量為，由得.解得，，取.又平面BCD的法向量為，則 設(shè)所求二面角為，則. 【點(diǎn)評(píng)】向量方法作為溝通代數(shù)和幾何的工具在考察中越來(lái)越常見(jiàn)，此類方法的要點(diǎn)在于建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，便于計(jì)算，位置關(guān)系明確，以計(jì)算代替分析，起到簡(jiǎn)化的作用，但計(jì)算必須慎之又慎 5.（2020重慶文）（20）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問(wèn)5分，（Ⅱ）小問(wèn)7分. ） 如題（20）圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點(diǎn)是棱

19、的中點(diǎn). （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值. 6.（2020浙江文）（20）（本題滿分14分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E為線段AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F(xiàn)為線段A’C的中點(diǎn)。 （Ⅰ）求證：BF∥平面A’DE； （Ⅱ）設(shè)M為線段DE的中點(diǎn)，求直線FM與平面A’DE所成角的余弦值。 7.（2020重慶理）（19）（本小題滿分12分，（I）小問(wèn)5分，（II）小問(wèn)7分） 如題（19）圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA底面ABCD，PA=AB=，點(diǎn)E是

20、棱PB的中點(diǎn)。 （I） 求直線AD與平面PBC的距離； （II） 若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。 8.（2020北京文）(18) （本小題共14分） 設(shè)定函數(shù)，且方程的兩個(gè)根分別為1，4。 （Ⅰ）當(dāng)a=3且曲線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求的解析式； （Ⅱ）若在無(wú)極值點(diǎn)，求a的取值范圍。 解：由 得 因?yàn)榈膬蓚€(gè)根分別為1,4，所以 （*） （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，又由（*）式得 解得 又因?yàn)榍€過(guò)原點(diǎn)，所以 故 （Ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞，+∞）內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)”等價(jià)于“在（-∞，+∞）內(nèi)恒成立”。 由（*）式得。 又 解 得 即的取值范

21、圍 9.（2020北京理）（16）（本小題共14分） 如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1. （Ⅰ）求證：AF∥平面BDE； （Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE； （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。 證明：（I） 設(shè)AC與BD交與點(diǎn)G。 因?yàn)镋F//AG，且EF=1，AG=AC=1. 所以四邊形AGEF為平行四邊形. 所以AF//平面EG，

22、 因?yàn)槠矫鍮DE，AF平面BDE， 所以AF//平面BDE. （II）因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面 相互垂直，且CEAC， 所以CE平面ABCD. 如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-. 則C（0，0，0），A（，，0），B（0，，0）. 所以，，. 所以, 所以,. 所以BDE. (III) 由（II）知，是平面BDE的一個(gè)法向量. 設(shè)平面ABE

23、的法向量,則，. 即 所以且 令則. 所以. 從而。 因?yàn)槎娼菫殇J角， 所以二面角的大小為. 10.（2020廣東文）18.（本小題滿分14分） 如圖4，弧AEC是半徑為的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn)，平面AEC外一點(diǎn)F滿足FC平面BED,FB= （1）證明：EBFD （2）求點(diǎn)B到平面FED的距離. （1）證明：點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn) 11.（2020福建文）20． （本小題滿分12分） 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD – A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1,D1C1上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B1不重合），

24、且EH//A1D1。過(guò)EH的平面與棱BB1,CC1相交，交點(diǎn)分別為F，G。 （I）證明：AD//平面EFGH； （II）設(shè)AB=2AA1=2a。在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體A1ABFE – D1DCGH內(nèi)的概率為p。當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱A1B1, B1B上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí)，求p的最小值。 12.（2020湖南理） 13.（2020江蘇卷）16、（本小題滿分14分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。 (1) 求證

25、：PC⊥BC； (2) 求點(diǎn)A到平面PBC的距離。 [解析] 本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力。滿分14分。 （1）證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。 由∠BCD=900，得CD⊥BC， 又PDDC=D，PD、DC平面PCD， 所以BC⊥平面PCD。 因?yàn)镻C平面PCD，故PC⊥BC。 （2）（方法一）分別取AB、PC的中點(diǎn)E、F，連DE、DF，則： 易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等。 又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍

26、。 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC， 因?yàn)镻D=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。 易知DF=，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于。 （方法二）體積法：連結(jié)AC。設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h。 因?yàn)锳B∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。 從而AB=2，BC=1，得的面積。 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積。 因?yàn)镻D⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。 又PD=DC=1，所以。 由PC⊥BC，BC=1，得的面積。 由，，得， 故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于。

27、 2020年高考題 一、 填空題 1.若等邊的邊長(zhǎng)為，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則_________ 2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0，2），B(1，-3，1)，點(diǎn)M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是________。 【解析】設(shè)由可得故 【答案】(0,-1，0) 二、解答題 3.（本小題滿分12分） 如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求異面直線BF與DE所成的角的大?。? (II) 證明平面A

28、MD平面CDE； （III）求二面角A-CD-E的余弦值。 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系， 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得 （I） 所以異面直線與所成的角的大小為. （II）證明： ， （III） 又由題設(shè)，平面的一個(gè)法向量為 20202023 4．（本題滿分15分）如圖，平面平面， 是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為， ，的中點(diǎn)，，． （I）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面； （II）證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，并求點(diǎn)到，的距離． 證明：（I）如圖，連結(jié)OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別

29、以O(shè)B、OC、OP所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系O， 則，由題意得，因，因此平面BOE的法向量為，得，又直線不在平面內(nèi)，因此有平面 6.（本小題滿分12分） 如圖，已知兩個(gè)正方行ABCD 和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn) 。 （I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正值弦； （II）用反證法證明：直線ME 與 BN 是兩條異面直線。 設(shè)正方形ABCD，DCEF的邊長(zhǎng)為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線DC，DF，DA為x,y,z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖. 則M（1,0,2）,N(

30、0,1,0),可得=(-1,1,2). 又=（0，0，2）為平面DCEF的法向量， 可得cos(,)=· 所以MN與平面DCEF所成角的正弦值為 cos· ……6分 (Ⅱ)假設(shè)直線ME與BN共面， ……8分 則AB平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN 由已知，兩正方形不共面，故AB平面DCEF。 又AB//CD，所以AB//平面DC

31、EF。面EN為平面MBEN與平面DCEF的交線， 所以AB//EN。 又AB//CD//EF， 所以EN//EF，這與EN∩EF=E矛盾，故假設(shè)不成立。 所以ME與BN不共面，它們是異面直線. ……12分 7.（13分） 如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，， ，且MD=NB=1，E為BC的中點(diǎn) （1） 求異面直線NE與AM所成角的余弦值 （2） 在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

32、 17.解析：（1）在如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo) 依題意，得。 ， 所以異面直線與所成角的余弦值為.A （2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面. , 可設(shè) 又. 由平面，得即 故，此時(shí). 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，平面. 故線段上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí). 8.（本小題滿分12分） 如圖，直三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)，平面 （I）證明： （II）設(shè)二面角為60°，求與平面所成的角的大小。 分析一：求與平面所成的線面角，只需求點(diǎn)到面的距離即可。 19．（本小題滿分12分，（Ⅰ）問(wèn)5分，（Ⅱ）問(wèn)7分） 如題（19）圖，在四棱

33、錐中，且；平面平面，；為的中點(diǎn)，．求： （Ⅰ）點(diǎn)到平面的距離； （Ⅱ）二面角的大?。? （Ⅰ）如答（19）圖2，以S(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OD,OC分別為x軸，y軸正向，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，因平面 即點(diǎn)A在xoz平面上，因此 又 因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS與平面 yOx重合，從而點(diǎn)A到平面BCS的距離為. (Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E為BS的中點(diǎn). ΔBCS為直角三角形 , 知 設(shè)B(0,2, )，＞0，則＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） . 在CD上取點(diǎn)G，設(shè)G（），使GE⊥CD . 由故

34、 ①　 又點(diǎn)G在直線CD上，即，由=（），則有　② 聯(lián)立①、②，解得G＝　, 故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角為向量與向量所成的角，記此角為 . 因?yàn)?，,所以 故所求的二面角的大小為 . 作于，連，則，為二面角的平面角，.不妨設(shè)，則.在中，由，易得. 設(shè)點(diǎn)到面的距離為，與平面所成的角為。利用，可求得，又可求得 即與平面所成的角為 分析二：作出與平面所成的角再行求解。如圖可證得，所以面。由分析一易知：四邊形為正方形，連，并設(shè)交點(diǎn)為，則，為在面內(nèi)的射影。。以下略。 分析三：利用空間向量的方法求出面的法向量，則與平面所成的角即為與法向量的

35、夾角的余角。具體解法詳見(jiàn)高考試題參考答案。 總之在目前，立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半壁江山的狀況。命題人在這里一定會(huì)兼顧雙方的利益。 9．（本小題共14分） 如圖，四棱錐的底面是正方形，，點(diǎn)E在棱PB上. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與 平面PDB所成的角的大小. 【解法2】如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè) 則， （Ⅰ）∵， ∴， ∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB， ∴平面. （Ⅱ）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，， 設(shè)AC∩B

36、D=O，連接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO為AE與平面PDB所的角， ∵， ∴， ∴，即AE與平面PDB所成的角的大小為. 10.（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問(wèn)7分，（Ⅱ）小問(wèn)6分） 如題（18）圖，在五面體ABCDEF中，AB//DC，∠BAD=，CD=AD=2.，四邊形ABFE為平行四邊形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，F(xiàn)C=3，ED=，求： （Ⅰ）直線AB到平面EFCD的距離： （Ⅱ）二面角F-AD-E的平面角的正切值， 18.（本小題滿分12分） 如圖4，在正三棱柱中， D是的

37、中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且。 （I） 證明平面平面 （II） 求直線和平面所成角的正弦值。 解 （I） 如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面 又DE平面ABC，所以DEAA. 而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。 解法2 如圖所示，設(shè)O使AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè) A A=，則AB=2，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，-，）。 易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，） 設(shè)平面AB

38、C的法向量為n=（x，y，z）,則有 解得x=-y， z=-， 故可取n=(1，-，)。 所以，(n·)===。 由此即知，直線AD和平面AB C所成角的正弦值為。 11.（本小題滿分12分） 如圖3，在正三棱柱ABC-中，AB=4, A=,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DEE （Ⅰ）證明：平面平面; （Ⅱ）求直線AD和平面所成角的正弦值。 解法2 如圖所示，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各 點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,0,0,), .(2,0, ), D(-1, ), E(-1,0.0) 易知=（-3，，-），=（

39、0，-，0），=（-3，，0） 設(shè)n=（x，y，z）是平面DE的一個(gè)法向量，則 解得 故可取n=（,0,-3，）于是 = 由此即知，直線AD和平面DE所成的角是正弦為 12．（本小題滿分12分） 在四棱錐中，底面是矩形，平面，，. 以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn). （1）求證：平面⊥平面； （2）求直線與平面所成的角的大?。? （3）求點(diǎn)到平面的距離. 方法二： （1）同方法一； （2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，， ，，；設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得：，令，則 。設(shè)所

40、求角為，則， 所以所求角的大小為。 （3）由條件可得，.在中，,所以,則, ，所以所求距離等于點(diǎn)到平面距離的，設(shè)點(diǎn)到平面距離為則，所以所求距離為。 19（本小題滿分12分） 如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互 相垂直，△是等腰直角三角形， （I）求證：； （II）設(shè)線段的中點(diǎn)為，在直線上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （III）求二面角的大小。 (Ⅰ)因?yàn)椤鰽BE為等腰直角三角形,AB=AE, 所以AE⊥AB. 又因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF, 平面ABEF∩平面ABCD=AB

41、, 所以AE⊥平面ABCD. 所以AE⊥AD. 因此,AD,AB,AE兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立 如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz. 設(shè)AB=1,則AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因?yàn)镕A=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°. 從而，. 所以,,. ,. 所以EF⊥BE, EF⊥BC. 因?yàn)锽E平面BCE,BC∩BE=B , 所以EF⊥平面BCE. (Ⅱ)存在點(diǎn)M,當(dāng)M為AE中點(diǎn)時(shí),PM∥平面BCE. M ( 0,0, ), P ( 1,

42、 ,0 ). 從而=, 于是·=·=0 所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直線PM不在平面BCE內(nèi)， 故PMM∥平面BCE. ………………………………8分 (Ⅲ)設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為，并設(shè)=（x,y,z）. ， 即 取y=1，則x=1，z=3。從而。 取平面ABD的一個(gè)法向量為。 。 故二面角F—BD—A的大小為arccos?！?2分 14.（本題滿分14分） 如圖，在直三棱柱中，,

43、,求二面角的大小。 簡(jiǎn)答： 2020年高考題 解答題 1. A B C D E A1 B1 C1 D1 （2020全國(guó)Ⅱ19）（本小題滿分12分） 如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)在上且． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）求二面角的大?。? 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸， A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z 建立如圖所示直角坐標(biāo)系．依題設(shè)，． ， ． （Ⅰ）證明 因?yàn)?，? 故，． 又， 所以平面． （Ⅱ）解 設(shè)向量是平面的法向量，則 ，． 故，． 令，則，，． 等于二面角的平面角，

44、 ． 所以二面角的大小為． 2. （2020安徽）如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng) 為1的菱形，, , ,為 的中點(diǎn)，為的中點(diǎn) （Ⅰ）證明：直線； （Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大??； （Ⅲ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。 作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為 軸建立坐標(biāo)系 , (1)證明 設(shè)平面OCD的法向量為,則 即 取,解得 (2)解 設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為. (3)解 設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為， 則為在向量上的投影的絕對(duì)值, 由 , 得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為 3.

45、 （2020湖南17 ）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面 ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝2. （Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB; （Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小. 如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點(diǎn)的 坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（1，0，0）， P（0，0，2）, （Ⅰ）證明 因?yàn)椋? 平面PAB的一個(gè)法向量是， 所以共線.從而B(niǎo)E⊥平面PAB. 又因?yàn)槠矫鍼BE， 故平面PBE⊥平面PAB. (Ⅱ)解 易知 設(shè)

46、是平面PBE的一個(gè)法向量，則由得 所以 設(shè)是平面PAD的一個(gè)法向量，則由得所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是 4. （2020福建18）如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD⊥底面 ABCD，側(cè)棱PA=PD＝，底面ABCD為直角梯形， 其中BC∥ AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn). （Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD； （Ⅱ）求異面直線PD與CD所成角的大小； （Ⅲ）線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出　的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. （Ⅰ）證明 在△PAD

47、中PA=PD,O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD, 又側(cè)面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD. (Ⅱ)解 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、 z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,依題意，易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以 所以異面直線PB與CD所成的角是arccos， (Ⅲ)解 假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為， 由(Ⅱ)知 設(shè)平面PCD的法向量為n=(x0,y0,z0). 則所以即， 取x0=1,得平面PCD的一個(gè)法向量為n=(

48、1,1,1). 設(shè)由，得 解y=-或y=(舍去)， 此時(shí)，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí). 5. （2020福建理?18）如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有 棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn)。 （Ⅰ）求證：AB1⊥面A1BD； （Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小； （Ⅲ）求點(diǎn)C到平面A1BD的距離； （Ⅰ）證明 取中點(diǎn)，連結(jié)． 為正三角形，． 在正三棱柱中，平面平面， 平面． 取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，， ，，． ，， x z A B C D O F y ，． 平面． （Ⅱ）解 設(shè)平面

49、的法向量為． ，． ，， 令得為平面的一個(gè)法向量． 由（Ⅰ）知平面， 為平面的法向量． ，． 二面角的大小為． （Ⅲ）解 由（Ⅱ），為平面法向量， ． 點(diǎn)到平面的距離． 6.（2020廣東卷）如圖所示，AF、DE分別是⊙O、⊙O1的直 徑.AD與兩圓所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直徑， AB＝AC＝6，OE//AD. (Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小； (Ⅱ)求直線BD與EF所成的角. 解 (Ⅰ)∵AD與兩圓所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角， 依題意可知，ABCD是正方形，所以∠BA

50、D＝450. 即二面角B—AD—F的大小為450. (Ⅱ)以O(shè)為原點(diǎn)，BC、AF、OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F(xiàn)（0，，0） 所以， . 設(shè)異面直線BD與EF所成角為， 則 直線BD與EF所成的角為 7.（2020江西）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng). （1）證明：D1E⊥A1D； （2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離； （3）AE等于何值時(shí)，二面角D1—EC—D的大小為. 以D為坐

51、標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1分別為x, y, z軸，建 立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A1（1，0，1），D1（0，0，1）， E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0） （1）證明 （2）解 因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則E（1，1，0）， 從而， ， 設(shè)平面ACD1的法向量為， 則 也即，得，從而，所以點(diǎn)E到平面AD1C的距離為 （3）解 設(shè)平面D1EC的法向量， ∴ 由 令b=1, ∴c=2,a=2－x， ∴ 依題意 ∴（不合，舍去）， . ∴AE=時(shí)，二面角D1—EC—D的大小為. 第二部分 四年聯(lián)考匯編

52、 2020年聯(lián)考題 題組二（5月份更新） 1．（師大附中理）如圖1，是正方形所在平面外一點(diǎn)，平面，，則與所成的角的度數(shù)為 A． B． C． D． 答案：C 2．（肥城市第二次聯(lián)考）如右圖所示，在正方體中，分別是 ，的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是（ C ） A．與垂直 B．與垂直 C．與異面 D．與異面 答案 C 解析：連結(jié)，在中，，所以A、B、D正確，C錯(cuò)，選C。 3．（師大附中理）設(shè)是半徑為2的球面上四個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足兩兩互相垂直，則的最大值是__________。 答案

53、：8 4．（池州市七校元旦調(diào)研）設(shè)向量，滿足：，，．以，，的模為邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為 ( ) A． B． C． D． 答案：C 【解析】對(duì)于半徑為1的圓有一個(gè)位置是正好是三角形的內(nèi)切圓，此時(shí)只有三個(gè)交點(diǎn)，對(duì)于圓的位置稍一右移或其他的變化，能實(shí)現(xiàn)4個(gè)交點(diǎn)的情況，但5個(gè)以上的交點(diǎn)不能實(shí)現(xiàn)． 5. （馬鞍山學(xué)業(yè)水平測(cè)試）（本小題滿分8分） 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn). (Ⅰ)證明：AD⊥D1F; (Ⅱ)求AE與D1F所成的角; (Ⅲ)證明：面AE

54、D⊥面A1FD1. 解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1…………………………………………………………………………1分 則有A（1,0，0），E（1，2，），F(xiàn)（0，，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1）……2分 (Ⅰ)，∴AD⊥D1F………………………4分 (Ⅱ)，∴AE⊥D1F AE與D1F所成的角為900…………………………………………………………………6分 (Ⅲ)由以上可知D1F⊥平面AED，又D1F在平面A1FD1內(nèi)， ∴面AED⊥面A1FD1……………………………………………………………………8分

55、 20202023 6．（池州市七校元旦調(diào)研）如圖，平面平面， 是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為， ，的中點(diǎn)，，． （I）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面； （II）證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面． 證明：（I）如圖，連結(jié)OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OP所在 直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系O，則 ，由題意得，因，因此平面BOE的法向量為，得，又直線不在平面內(nèi)，因此有平面 （II）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，因?yàn)槠矫鍮OE，所以有，因此有，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，在平面直角坐標(biāo)系中，的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿

56、足上述不等式組，所以在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面， 7．（馬鞍山學(xué)業(yè)水平測(cè)試）（本小題滿分12分） C1 A1 M B1 C N A B （文）在斜三棱柱中，M為的中點(diǎn)，N是BC上一點(diǎn). （Ⅰ）若平面，求證：N為BC的中點(diǎn)； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若，求證：. C1 A1 M B1 C N A B （Ⅰ） ，所以 因?yàn)镸為B1C1中點(diǎn)，所以N為BC中點(diǎn)----------------------6分 （Ⅱ），且M為中點(diǎn)，所以----------8分 ，M為中點(diǎn)，所以，----------10分 又,則， ----------12分

57、 又,所以， ----------14分 又，所以 -------16分 8. （玉溪一中期中文）（本小題12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，是的中點(diǎn)． （Ⅰ）求和平面所成的角的大?。? （Ⅱ）證明平面； （Ⅲ）求二面角的大?。? （Ⅰ）解：在四棱錐中，因底面，平面，故． 又，，從而平面．故在平面內(nèi)的射影為，從而為和平面所成的角． 在中，，故． 所以和平面所成的角的大小為． （Ⅱ）證明：在四棱錐中， 因底面，平面，故． 由條件，，面． 又面，． 由，，可得． 是的中點(diǎn)，，．

58、綜上得平面． （Ⅲ）解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)．由（Ⅱ）知，平面，在平面內(nèi)的射影是，則． 因此是二面角的平面角． 由已知，可得．設(shè)，可得 ，，，． 在中，，∴，則 ． 在中，．所以二面角的大小 9.（祥云一中月考理）（本小題滿分12分） 如圖，四棱錐P—ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，側(cè)面PDC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)。 （I）求異面直線PA與DE所成的角的余弦值； （II）求點(diǎn)D到面PAB的距離． 10.解： 如圖取DC的中點(diǎn)O，連PO，∵△PDC為正三角形，∴PO⊥DC. 又∵面PDC⊥面ABCD，

59、∴PO⊥面ABCD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系 則 （1）E為PC中點(diǎn)， ， ， ………………………………….6分 （2）可求， 設(shè)面PAB的一個(gè)法向量為， ① . ② 由②得y=0，代入①得令 則D到面PAB的距離d等于 即點(diǎn)D到面PAB的距離等于……………………………..12分 11.（祥云一中二次月考理）（本小題滿分12分） 如圖所示，四棱錐P—ABCD中，側(cè)棱PA與底面ABCD垂直，DC=1，AD=AP=2，AB=5，∠CDA=∠DAB=90°，E是PB的中點(diǎn). （1）求證：BC⊥平面PA

60、C； （2）求異面直線PD、AE所成角的大??； （3）求二面角A-CE-B的大小.. 法一： （1）證：由題意：AC=，則，又∠DCA=∠CAB，所以△DCA 與△CAB 相似，所以 BC⊥AC，又由側(cè)棱PA與底面ABCD垂直，有PA ⊥BC， 所以BC⊥平面PAC；……………4分 （2）連BD，取BD的中點(diǎn)M，連EM， 則EM‖PD，△AEM中，AE=AM=，EM=，設(shè)異面直線PD、AE所成角為，則 ，所以PD、AE所成角為. （3）作AH⊥PC于H，作HK⊥EC于K，連AK，又（1）可知.∠AKH即

61、為所求二面角的平面角的補(bǔ)角.在△APC中求出AH=，在△ACE中求出AK=，（或在△PCE中求出HK=） 所求二面角的大小為（或?yàn)椋? 法二：（坐標(biāo)法）（2）PD、AE所成角為. （3）所求二面角的大小為： 12．（祥云一中三次月考理）（本小題滿分12分） 如圖，已知平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，. （1）求證：AC⊥BF； （2）求二面角F—BD—A的大小.

62、 A B E F C D A 13. 解：以CD為x軸,CA為y軸,以CE為z軸建立空間坐標(biāo)系， （1）C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,,0),F(0, ,),B(-1,,0), 14．（祥云一中三次月考文）（本小題滿分12分） 如圖，已知正四棱柱—中AB=1，A=2，N是D的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BB上，異面直線MN、A互相垂直. （1）試確定點(diǎn)M的位置，并加以證明； （2）求二面角A—MN—的大小. 解：（Ⅰ）取A1A的中點(diǎn)P，連PM、PN，則PN//AD，

63、 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 則就是所求二面角的平面角. 顯然 利用等面積法求得A1O=AO=在△A1OA中由余弦定理得 cos∠AOA= 所以二面角的大小為 解二:(向量法) (咯) 15．（本小題滿分12分） （祥云一中三次月考理）如圖，已知平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，. （1）求證：AC⊥BF； （2）求二面角F—BD—A的大小； (3) 求點(diǎn)A到平面FBD的距離.

64、 A B E F C D A 15. 解：以CD為x軸,CA為y軸,以CE為z軸建立空間坐標(biāo)系， （1）C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,,0),F(0, ,),B(-1,,0), ,,, （2）平面ABD的法向量 解出,cos=,所求二面角F—BD—A的大小arccos (3)點(diǎn)A到平面FBD的距離為d, . 題

65、組一（1月份更新） 一、選擇填空 1. 連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦．半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長(zhǎng)度分別等于2、4，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，有下列四個(gè)命題： ①弦AB、CD可能相交于點(diǎn)M ②弦AB、CD可能相交于點(diǎn)N　?、跰N的最大值為5 ④MN的最小值為l，其中真命題的個(gè)數(shù)為　　　 A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 答案 C 2.（2020昆明一中第三次模擬）如圖，正四棱柱中，,則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A．

66、 B． C． D. 答案 D 3.某幾何體的一條棱長(zhǎng)為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段，則a+b的最大值為（ ）A.　B.　C.　D. 答案 C 4.等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點(diǎn)，則所成角的余弦值等于 A C B D P 答案 . 二、解答題 1.如圖，在三棱錐中，， ，． （Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離． 解法一：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)． ，．，． A C B E P ，平面． 平面，． （Ⅱ），， ．又，． 又，即，且， 平面．取中點(diǎn)．連結(jié)． ，．是在平面內(nèi)的射影， ． A C B D P H 是二面角的平面角．在中，，，，． 二面角的大小為． （Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，平面平面．過(guò)作，垂足為． 平面平面，平面．的長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離． A C B