2020版高三數(shù)學《6年高考4年模擬》：第九章 解析幾何第二節(jié) 圓錐曲線新人教A版

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1、第二節(jié) 圓錐曲線 第一部分 六年高考薈萃 2020年高考題 一、選擇題 1.（2020湖南文）5. 設拋物線上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 2.（2020浙江理）（8）設、分別為雙曲線的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為 （A） （B） （C） （D） 解析：利用題設條件和雙曲線性質在三角形中尋找等量關系，得出a與b之間的等量關系，可知答案選C，本題主要考察三角與雙曲線的相關知識點，突出了對計算能力和綜合運

2、用知識能力的考察，屬中檔題 3.（2020全國卷2理）（12）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點．若，則 （A）1 （B） （C） （D）2 【答案】B 【命題意圖】本試題主要考察橢圓的性質與第二定義. 【解析】設直線l為橢圓的有準線，e為離心率，過A，B分別作AA1，BB1垂直于l，A1，B為垂足，過B作BE垂直于AA1與E，由第二定義得，，由，得，∴ 即k=，故選B. 4.（2020陜西文）9.已知拋物線y2＝2px（p>0）的準線與圓（x－3）2＋y2＝16相切，則p的值為

3、 （A） （B）1 （C）2 （D）4 【答案】 C 解析：本題考查拋物線的相關幾何性質及直線與圓的位置關系 法一：拋物線y2＝2px（p>0）的準線方程為，因為拋物線y2＝2px（p>0）的準線與圓（x－3）2＋y2＝16相切，所以 法二：作圖可知，拋物線y2＝2px（p>0）的準線與圓（x－3）2＋y2＝16相切與點（-1,0） 所以 5.（2020遼寧文）（9）設雙曲線的一個焦點為，虛軸的一個端點為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為 （A） （B） （C） （D） 【

4、答案】D 解析：選D.不妨設雙曲線的焦點在軸上，設其方程為：， 則一個焦點為 一條漸近線斜率為：，直線的斜率為：，， ，解得. 6.（2020遼寧文）（7）設拋物線的焦點為，準線為，為拋物線上一點，，為垂足，如果直線斜率為，那么 （A） （B） 8 （C） （D） 16 【答案】 B 解析：選B.利用拋物線定義，易證為正三角形，則 7.（2020遼寧理） (9)設雙曲線的—個焦點為F；虛軸的—個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【

5、命題立意】本題考查了雙曲線的焦點、虛軸、漸近線、離心率，考查了兩條直線垂直的條件，考查了方程思想。 【解析】設雙曲線方程為，則F（c,0）,B(0,b) 直線FB：bx+cy-bc=0與漸近線y=垂直，所以，即b2=ac 所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或（舍去） 8.（2020遼寧理）(7)設拋物線y2=8x的焦點為F，準線為l,P為拋物線上一點,PA⊥l,A為垂足．如果直線AF的斜率為,那么|PF|= (A) (B)8 (C) (D) 16 【答案】B 【命題立意】本題考查了拋物線的定義、拋物線的焦點與準線、直線與拋物線的位置關系，考查了等

6、價轉化的思想。 【解析】拋物線的焦點F（2，0），直線AF的方程為，所以點、，從而|PF|=6+2=8 9.（2020全國卷2文）（12）已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，過右焦點F且斜率為k（k>0）的直線于C相交于A、B兩點，若。則k = （A）1 （B） （C） （D）2 【答案】B 【解析】，∵ ，∴ ， ∵ ，設，，∴ ，直線AB方程為。代入消去，∴ ，∴ ， ，解得， 10.（2020浙江文）（10）設O為坐標原點，,是雙曲線（a＞0，b＞0）的焦點，若在雙曲線上存在點P，滿足∠P=60°，∣OP∣=,則該雙曲線的漸近線方程為 （

7、A）x±y=0 （B）x±y=0 （C）x±=0 （D）±y=0 【答案】 D 解析：選D，本題將解析幾何與三角知識相結合，主要考察了雙曲線的定義、標準方程，幾何圖形、幾何性質、漸近線方程，以及斜三角形的解法，屬中檔題 11.（2020重慶理）（10）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內的軌跡是 A. 直線 B. 橢圓 C. 拋物線 D. 雙曲線 【答案】 D 解析：排除法 軌跡是軸對稱圖形，排除A、C，軌跡與已知直線不能有交點，排除B 12

8、.（2020山東文）（9）已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線與、兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為 （A） (B) (C) (D) 【答案】B 13.（2020四川理）（9）橢圓的右焦點，其右準線與軸的交點為A，在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點，則橢圓離心率的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 解析：由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點

9、， 即F點到P點與A點的距離相等 而|FA|＝ |PF|∈[a－c,a＋c] 于是∈[a－c,a＋c] 即ac－c2≤b2≤ac＋c2 ∴ T 又e∈(0,1) 故e∈ 【答案】D 14.（2020天津理）(5)已知雙曲線的一條漸近線方程是y=,它的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】本題主要考查雙曲線與拋物線的幾何性質與標準方程，屬于容易題。 依題意知，所以雙曲線的方程為 【溫馨提示】選擇、填空中的圓錐曲線問題通?？疾?/p>

10、圓錐曲線的定義與基本性質，這部分內容也是高考的熱點內容之一，在每年的天津卷中三種軟件曲線都會在題目中出現(xiàn)。 15.（2020廣東文）7.若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 A. B. C. D. 【答案】B 16.（2020福建文）11．若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為 A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【解析】由題意，F(xiàn)（-1，0），設點P，則有,解

11、得， 因為，，所以 ==，此二次函數(shù)對應的拋物線的對稱軸為，因為，所以當時，取得最大值，選C。 【命題意圖】本題考查橢圓的方程、幾何性質、平面向量的數(shù)量積的坐標運算、二次函數(shù)的單調性與最值等，考查了同學們對基礎知識的熟練程序以及知識的綜合應用能力、運算能力。 17.（2020全國卷1文）（8）已知、為雙曲線C:的左、右焦點，點P在C上，∠=，則 (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 【答案】B 【命題意圖】本小題主要考查雙曲線定義、幾何性質、余弦定理，考查轉化的數(shù)學思想，通過本題可以有效地考查考生的綜合運用能力及運算能力. 【解析1】.由余

12、弦定理得 cos∠P= 4 【解析2】由焦點三角形面積公式得： 4 18.（2020全國卷1理）(9)已知、為雙曲線C:的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則P到x軸的距離為 (A) (B) (C) (D) 【答案】 B 19.（2020四川文）（10）橢圓的右焦點為F，其右準線與軸的交點為．在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓離心率的取值范圍是 （A）（0，] （B）（0，] （C）[，1） （D）[，1） 【答案】D 【解析】由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點， 即F點到P點

13、與A點的距離相等 而|FA|＝ |PF|∈[a－c,a＋c] 于是∈[a－c,a＋c] 即ac－c2≤b2≤ac＋c2 ∴ T 又e∈(0,1) 故e∈ 20.（2020四川文）(3)拋物線的焦點到準線的距離是 (A) 1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】C 【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4 又交點到準線的距離就是p 21.（2020湖北文）9.若直線與曲線有公共點，則b的取值范圍是 A.[,] B.[,3] C.[-1,] D.[,3] 22.（2020山東理）(7)由曲線y=,y=圍成

14、的封閉圖形面積為[來源:W] （A） (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】由題意得:所求封閉圖形的面積為,故選A。 【命題意圖】本題考查定積分的基礎知識，由定積分求曲線圍成封閉圖形的面積。 23.（2020安徽理）5、雙曲線方程為，則它的右焦點坐標為 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】雙曲線的，，，所以右焦點為. 【誤區(qū)警示】本題考查雙曲線的交點，把雙曲線方程先轉化為標準方程，然后利用求出c即可得出交點坐標.但因方程不是標準形式，很多學生會誤認為或，從而得出錯誤結論. 24.（2020湖北理數(shù)）9.若直線y=x+b與曲線有公共點，則

15、b的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】曲線方程可化簡為，即表示圓心為（2，3）半徑為2的半圓，依據(jù)數(shù)形結合，當直線與此半圓相切時須滿足圓心（2，3）到直線y=x+b距離等于2，解得，因為是下半圓故可得（舍），當直線過（0，3）時，解得b=3,故所以C正確. 25.（2020福建理） A． ①④ B． ②③ C．②④　　　　　D．③④ 【答案】C 【解析】經(jīng)分析容易得出②④正確，故選C。 【命題意圖】本題屬新題型，考查函數(shù)的相關知識。 26.（2020福建理）7．若點O和點分別是雙曲線的中心和左焦點,點P為雙

16、曲線右支上的任意一點,則的取值范圍為 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因為是已知雙曲線的左焦點，所以，即，所以雙曲線方程為，設點P，則有，解得，因為，，所以=，此二次函數(shù)對應的拋物線的對稱軸為，因為，所以當時，取得最小值，故的取值范圍是，選B。 【命題意圖】本題考查待定系數(shù)法求雙曲線方程，考查平面向量的數(shù)量積的坐標運算、二次函數(shù)的單調性與最值等，考查了同學們對基礎知識的熟練程序以及知識的綜合應用能力、運算能力。 27.（2020福建理數(shù)）2．以拋物線的焦點為圓心,且過坐標原點的圓的方程為( ) A． B．

17、C． D． 【答案】D 【解析】因為已知拋物線的焦點坐標為（1，0），即所求圓的圓心，又圓過原點，所以圓的半徑為，故所求圓的方程為，即，選D。 【命題意圖】本題考查拋物線的幾何性質以及圓的方程的求法，屬基礎題。 二、填空題 1.（2020上海文）8.動點到點的距離與它到直線的距離相等，則的軌跡方程為 。 【答案】y2=8x 【解析】考查拋物線定義及標準方程 定義知的軌跡是以為焦點的拋物線，p=2所以其方程為y2=8x 2.（2020浙江理）（13）設拋物線的焦點為，點.若線段的中點在拋物線上，則到該拋物線準線的距離為_____________。 【解析】

18、利用拋物線的定義結合題設條件可得出p的值為，B點坐標為（）所以點B到拋物線準線的距離為，本題主要考察拋物線的定義及幾何性質，屬容易題 3.（2020全國卷2理）（15）已知拋物線的準線為，過且斜率為的直線與相交于點，與的一個交點為．若，則 ． 【答案】2 【命題意圖】本題主要考查拋物線的定義與性質. 【解析】過B作BE垂直于準線于E，∵，∴M為中點，∴，又斜率為，，∴，∴，∴M為拋物線的焦點，∴2. 4.（2020全國卷2文）(15)已知拋物線C：y2=2px（p>0）的準線l，過M（1,0）且斜率為的直線與l相交于A，與C的一個交點為B，若，則p=_______

19、__ 【解析】2：本題考查了拋物線的幾何性質 設直線AB：，代入得，又∵ ，∴ ，解得，解得（舍去） 5.（2020江西理）15.點在雙曲線的右支上，若點A到右焦點的距離等于，則= 【答案】 2 【解析】考查圓錐曲線的基本概念和第二定義的轉化，讀取a=2.c=6,, 6.（2020安徽文）(12)拋物線的焦點坐標是 答案： 【解析】拋物線，所以，所以焦點. 【誤區(qū)警示】本題考查拋物線的交點.部分學生因不會求，或求出后，誤認為焦點，還有沒有弄清楚焦點位置，從而得出錯誤結論. 7.（2020重慶文）（13）已知過拋物線的焦點的直線交該拋物線于、兩點，，

20、則____________ . 【答案】 2 解析：由拋物線的定義可知 故2 8.（2020重慶理）(14)已知以F為焦點的拋物線上的兩點A、B滿足,則弦AB的中點到準線的距離為___________. 解析：設BF=m,由拋物線的定義知 中，AC=2m,AB=4m, 直線AB方程為 與拋物線方程聯(lián)立消y得 所以AB中點到準線距離為 9.（2020北京文）（13）已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為 ；漸近線方程為 。 答案：() 10.（2020北京理）（13）已知雙曲線的離

21、心率為2，焦點與橢圓的 焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為 ；漸近線方程為 。 【答案】（，0） 11..（2020天津文）（13）已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點與拋物線的焦點相同。則雙曲線的方程為 。 【答案】 【解析】本題主要考查了雙曲線和拋物線的幾何性質及雙曲線的標準方程，屬于容易題。 由漸近線方程可知 ① 因為拋物線的焦點為（4，0），所以c=4 ② 又 ③ 聯(lián)立①②③，解得，所以雙曲線的方程為 【溫馨提示】求圓錐曲線的標準方程通常利用待定洗漱法求解，注意雙曲線中c最大。 12

22、.（2020福建文數(shù)）13． 若雙曲線-=1(b>0)的漸近線方程式為y=，則ｂ等于　　　　　　　　。 【答案】1 【解析】由題意知，解得b=1。 【命題意圖】本小題考查雙曲線的幾何性質、待定系數(shù)法，屬基礎題。 13.（2020全國卷1文數(shù)）(16)已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段 的延長線交于點， 且，則的離心率為 . 【答案】 【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質、第二定義、平面向量知識，考查了數(shù)形結合思想、方程思想,本題凸顯解析幾何的特點：“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質可尋求到簡化問題的捷徑.

23、 【解析1】如圖，, 作軸于點D1,則由，得 ,所以, 即,由橢圓的第二定義得 又由,得 【解析2】設橢圓方程為第一標準形式，設，F(xiàn)分 BD所成的比為2，，代入 ， 14.（2020全國卷1理） 15.（2020湖北文）15.已知橢圓的兩焦點為,點滿足,則||+|的取值范圍為_______，直線與橢圓C的公共點個數(shù)_____。 【答案】 【解析】依題意知，點P在橢圓內部.畫出圖形，由數(shù)形結合可得，當P在原點處時，當P在橢圓頂點處時，取到為 ，故范圍為.因為在橢圓的內部，則直線上的點（x, y）均在橢圓外，故此直線與橢圓不可能有交點，故交點數(shù)為0個. 16.（202

24、0江蘇卷）6、在平面直角坐標系xOy中，雙曲線上一點M，點M的橫坐標是3，則M到雙曲線右焦點的距離是__________ 【解析】考查雙曲線的定義。，為點M到右準線的距離，=2，MF=4。 三、解答題 1.（2020上海文）23（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分. 已知橢圓的方程為，、和為的三個頂點. （1）若點滿足，求點的坐標； （2）設直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點； （3）設點在橢圓內且不在軸上，如何構作過中點的直線，使得與橢圓的兩個交點、滿足？令，，點的坐標是（-8，-1），若橢圓上的點、滿足，求點

25、、的坐標. 解析：(1) ； (2) 由方程組，消y得方程， 因為直線交橢圓于、兩點， 所以D>0，即， 設C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中點坐標為(x0,y0)， 則， 由方程組，消y得方程(k2-k1)x=p， 又因為，所以， 故E為CD的中點； (3) 因為點P在橢圓Γ內且不在x軸上，所以點F在橢圓Γ內，可以求得直線OF的斜率k2，由知F為P1P2的中點，根據(jù)(2)可得直線l的斜率，從而得直線l的方程． ，直線OF的斜率，直線l的斜率， 解方程組，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)． 2.（2020湖南文）19.（本小題

26、滿分13分） 為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川山上相距8Km的A、B兩點各建一個考察基地，視冰川面為平面形，以過A、B兩點的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（圖4）?？疾旆秶紸、B兩點的距離之和不超過10Km的區(qū)域。 （I） 求考察區(qū)域邊界曲線的方程： （II） 如圖4所示，設線段 是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍。問：經(jīng)過多長時間，點A恰好在冰川邊界線上？ 3.（2020浙江理）(21) （本題滿分15分）已知m＞1，直線

27、，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點. （Ⅰ）當直線過右焦點時，求直線的方程； （Ⅱ）設直線與橢圓交于兩點，，的重心分別為.若原點在以線段為直徑的圓內，求實數(shù)的取值范圍. 解析：本題主要考察橢圓的幾何性質，直線與橢圓，點與圓的位置關系等基礎知識，同時考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。 （Ⅰ）解：因為直線經(jīng)過，所以,得， 又因為，所以， 故直線的方程為。 （Ⅱ）解：設。 由，消去得 則由，知， 且有。 由于， 故為的中點， 由， 可知 設是的中點，則， 由題意可知 即 即 而 所以

28、 即 又因為且 所以。 所以的取值范圍是。 4.（2020全國卷2理）（21）（本小題滿分12分） 己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點，且BD的中點為． （Ⅰ）求C的離心率； （Ⅱ）設C的右頂點為A，右焦點為F，，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切． 【命題意圖】本題主要考查雙曲線的方程及性質，考查直線與圓的關系，既考查考生的基礎知識掌握情況，又可以考查綜合推理的能力. 【參考答案】 【點評】高考中的解析幾何問題一般為綜合性較強的題目，命題者將好多考點以圓錐曲線為背景來考查，如向量問題、三角形問題、函數(shù)問題等等，試題的難

29、度相對比較穩(wěn)定. 5.（2020陜西文）20.（本小題滿分13分） （Ⅰ）求橢圓C的方程； (Ⅱ)設n 為過原點的直線，l是與n垂直相交與點P，與橢圓相交于A,B兩點的直線 立？若存在，求出直線l的方程；并說出；若不存在，請說明理由。 6.（2020遼寧文）（20）（本小題滿分12分） 設，分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓 相交于,兩點，直線的傾斜角為，到直線的距離為. （Ⅰ）求橢圓的焦距； （Ⅱ）如果,求橢圓的方程. 解：（Ⅰ）設焦距為，由已知可得到直線l的距離 所以橢圓的焦距為4. （Ⅱ）設直線的方程為

30、聯(lián)立 解得 因為 即 得 故橢圓的方程為 7.（2020遼寧理）(20)（本小題滿分12分） 設橢圓C：的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60o,. (I) 求橢圓C的離心率； (II) 如果|AB|=，求橢圓C的方程. 解： 設，由題意知＜0，＞0. （Ⅰ）直線l的方程為 ，其中. 聯(lián)立得 解得 因為，所以. 即 得離心率 . ……6分 （Ⅱ）因為，所以. 由得.所以，得a=3，. 橢圓C的方程為. ……12分

31、 8.（2020全國卷2文）（22）（本小題滿分12分） 已知斜率為1的直線1與雙曲線C：相交于B、D兩點，且BD的中點為M（1.3） （Ⅰ）（Ⅰ）求C的離心率； （Ⅱ）（Ⅱ）設C的右頂點為A，右焦點為F，|DF|·|BF|=17證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切。 【解析】本題考查了圓錐曲線、直線與圓的知識，考查學生運用所學知識解決問題的能力。 （1）由直線過點（1，3）及斜率可得直線方程，直線與雙曲線交于BD兩點的中點為（1，3），可利用直線與雙曲線消元后根據(jù)中點坐標公式找出A,B的關系式即求得離心率。 （2）利用離心率將條件|FA||FB|=17，用含A的代數(shù)式表示，即

32、可求得A，則A點坐標可得（1，0），由于A在X軸上所以，只要證明2AM=BD即證得。 （2020江西理數(shù)）21. （本小題滿分12分） 設橢圓，拋物線。 （1） 若經(jīng)過的兩個焦點，求的離心率； （2） 設A（0，b），,又M、N為與不在y軸上的兩個交點，若△AMN的垂心為，且△QMN的重心在上，求橢圓和拋物線的方程。 【解析】考查橢圓和拋物線的定義、基本量，通過交點三角形來確認方程。 （1）由已知橢圓焦點(c,0)在拋物線上，可得：，由 。 (2)由題設可知M、N關于y軸對稱，設,由的垂心為B，有 。 由點在拋物線上，，解得： 故，得重心坐標.

33、 由重心在拋物線上得：，，又因為M、N在橢圓上得：，橢圓方程為，拋物線方程為。 9.（2020安徽文數(shù)）17、（本小題滿分12分） 橢圓經(jīng)過點，對稱軸為坐標軸， 焦點在軸上，離心率。 (Ⅰ)求橢圓的方程； (Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程。 【命題意圖】本題考查橢圓的定義及標準方程，橢圓的簡單幾何性質，直線的點斜式方程與一般方程，點到直線的距離公式等基礎知識；考查解析幾何的基本思想、綜合運算能力. 【解題指導】（1）設橢圓方程為，把點代入橢圓方程，把離心率用表示，再根據(jù)，求出，得橢圓方程；（2）可以設直線l上任一點坐標為，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊距離相等得. 解：（Ⅰ

34、）設橢圓E的方程為 【規(guī)律總結】對于橢圓解答題，一般都是設橢圓方程為，根據(jù)題目滿足的條件求出，得橢圓方程，這一問通常比較簡單；（2）對于角平分線問題，利用角平分線的幾何意義，即角平分線上的點到角兩邊距離相等得方程. 10.（2020重慶文數(shù)）（21）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分. ） 已知以原點為中心，為右焦點的雙曲線的離心率. （Ⅰ）求雙曲線的標準方程及其漸近線方程； （Ⅱ）如題（21）圖，已知過點的直線：與過點（其中）的直線：的交點在雙曲線上，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點，求的值. 11.（2020浙江文）（22）、（本題滿分15分）已知m

35、是非零實數(shù)，拋物線（p>0） 的焦點F在直線上。 （I）若m=2，求拋物線C的方程 （II）設直線與拋物線C交于A、B，△A,△的重心分別為G,H 求證：對任意非零實數(shù)m,拋物線C的準線與x軸的焦點在以線段GH為直徑的圓外。 12.（2020重慶理）（20）（本小題滿分12分，（I）小問5分，（II）小問7分） 已知以原點O為中心，為右焦點的雙曲線C的離心率。 （I） 求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程； （II） 如題（20）圖，已知過點的直線與過點（其中）的直線的交點E在雙曲線C上，直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點，求的面積。 13.（2020北京文）（

36、19）（本小題共14分） 已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是，，離心率是，直線y=t橢圓C交與不同的兩點M，N，以線段為直徑作圓P,圓心為P。 （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標； （Ⅲ）設Q（x，y）是圓P上的動點，當t變化時，求y的最大值。 解：（Ⅰ）因為，且，所以 所以橢圓C的方程為 （Ⅱ）由題意知 由 得 所以圓P的半徑為 解得 所以點P的坐標是（0，） （Ⅲ）由（Ⅱ）知，圓P的方程。因為點在圓P上。所以 設，則 當，即，且，取最大值2. 14.（2020北京理）（19）（本小題共14分） 在平面直角坐標系

37、xOy中，點B與點A（-1,1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于. (Ⅰ)求動點P的軌跡方程； (Ⅱ)設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。 （I）解：因為點B與A關于原點對稱，所以點得坐標為. 設點的坐標為 由題意得 化簡得 . 故動點的軌跡方程為 （II）解法一：設點的坐標為，點，得坐標分別為,. 則直線的方程為，直線的方程為 令得，. 于是得面積 又直線的方程為，， 點到直線的距離.

38、 于是的面積 當時，得 又， 所以=，解得。 因為，所以 故存在點使得與的面積相等，此時點的坐標為. 解法二：若存在點使得與的面積相等，設點的坐標為 則. 因為, 所以 所以 即 ，解得 因為，所以 故存在點S使得與的面積相等，此時點的坐標為. 15.（2020四川理）（20）（本小題滿分12分） 已知定點A(－1，0)，F(xiàn)(2，0)，定直線l：x＝，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設點P的軌跡為E，過點F的直線交E于

39、B、C兩點，直線AB、AC分別交l于點M、N （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由. 本小題主要考察直線、軌跡方程、雙曲線等基礎知識，考察平面機襲擊和的思想方法及推理運算能力. 解：(1)設P(x,y)，則 化簡得x2－=1(y≠0)………………………………………………………………4分 (2)①當直線BC與x軸不垂直時，設BC的方程為y＝k(x－2)(k≠0) 與雙曲線x2－=1聯(lián)立消去y得 (3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0 由題意知3－k2≠0且△＞0 設B(x1,y1),C(x2,y2)， 則 y1y2＝k2

40、(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4] ＝k2(＋4) ＝ 因為x1、x2≠－1 所以直線AB的方程為y＝(x＋1) 因此M點的坐標為() ,同理可得 因此 ＝ ＝0 ②當直線BC與x軸垂直時，起方程為x＝2，則B(2,3),C(2,－3) AB的方程為y＝x＋1,因此M點的坐標為()， 同理可得 因此＝0 綜上＝0，即FM⊥FN 故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點F………………………………………………12分 16.（2020天津文）（21）（本小題滿分14分） 已知橢

41、圓（a>b>0）的離心率e=，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，已知點A的坐標為（-a，0）. （i）若，求直線l的傾斜角； （ii）若點Q在線段AB的垂直平分線上，且.求的值. 【解析】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、兩點間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質及數(shù)形結合的思想，考查綜合分析與運算能力.滿分14分. （Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b. 由題意可知，即ab=2. 解方程組得a=2，b=1. 所

42、以橢圓的方程為. (Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知點A的坐標是（-2,0）.設點B的坐標為，直線l的斜率為k.則直線l的方程為y=k（x+2）. 于是A、B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得 . 由，得.從而. 所以. 由，得. 整理得，即，解得k=. 所以直線l的傾斜角為或. （ii）解：設線段AB的中點為M，由（i）得到M的坐標為. 以下分兩種情況： （1）當k=0時，點B的坐標是（2,0），線段AB的垂直平分線為y軸，于是 由，得。 （2）當時，線段AB的垂直平分線方程為。 令，解得。 由，， ， 整理得。故。所以。 綜上，或 17.（2020

43、天津理）（20）（本小題滿分12分） 已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4。 （1） 求橢圓的方程； （2） 設直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為（），點在線段的垂直平分線上，且，求的值 【解析】本小題主要考察橢圓的標準方程和幾何性質，直線的方程，平面向量等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質及數(shù)形結合的思想，考查運算和推理能力，滿分12分 （1）解：由，得，再由，得 由題意可知， 解方程組 得 a=2,b=1 所以橢圓的方程為 (2)解：由（1）可知A（-2,0）。設B點的坐標為（x1,,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(

44、x+2), 于是A,B兩點的坐標滿足方程組 由方程組消去Y并整理，得 由得 設線段AB是中點為M，則M的坐標為 以下分兩種情況： （1）當k=0時，點B的坐標為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是 （2）當K時，線段AB的垂直平分線方程為 令x=0，解得 由 整理得 綜上 18.（2020廣東理） 21．（本小題滿分14分） 設A(),B()是平面直角坐標系xOy上的兩點，先定義由點A到點B的一種折線距離p(A,B)為. 當且僅當時等號成立，即三點共線時等號成立. （2）當點C(x, y) 同時滿足①P+P= P，②P= P時，點是

45、線段的中點. ，即存在點滿足條件。 19.（2020廣東理）20．（本小題滿分為14分） 一條雙曲線的左、右頂點分別為A1,A2，點，是雙曲線上不同的兩個動點。 （1）求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程式； （2）若過點H(0, h)（h>1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且 ,求h的值。 故，即。 （2）設，則由知，。 將代入得 ，即， 由與E只有一個交點知，，即 。 同理，由與E只有一個交點知，，消去得，即，從而，即。 20.（2020廣東文）21.（本小題滿分14分） 已知曲線,點是曲線上的點， 21.（20

46、20福建文）19．（本小題滿分12分） 已知拋物線C：過點A （1 , -2）。 （I）求拋物線C 的方程，并求其準線方程； （II）是否存在平行于OA（O為坐標原點）的直線L，使得直線L與拋物線C有公共點，且直線OA與L的距離等于？若存在，求直線L的方程；若不存在，說明理由。 22.（2020全國卷1理）（21）(本小題滿分12分) 已知拋物線的焦點為F，過點的直線與相交于、兩點，點A關于軸的對稱點為D. （Ⅰ）證明：點F在直線BD上； （Ⅱ）設，求的內切圓M的方程 . 23.（2020湖北文）20.（本小題滿分13分） 已知一條曲線C在y軸右邊，C上沒一點到點F

47、（1,0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1。 （Ⅰ）求曲線C的方程 （Ⅱ）是否存在正數(shù)m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線，都有＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由。 24.（2020山東理）（21）（本小題滿分12分） 如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和. （Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程； （Ⅱ）設直線、的斜率分別為、，證明； （Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說

48、明理由. 【解析】（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，，所以，所以橢圓的標準方程為；所以橢圓的焦點坐標為（，0），因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標準方程為 。 【命題意圖】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力。其中問題（3）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力， 25.（2020湖南理）19.（本小題滿分13分） 為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8km的A,B兩點各建一個考察基

49、地。視冰川面為平面形，以過A,B兩點的直線為x軸，線段AB的的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（圖6）在直線x=2的右側，考察范圍為到點B的距離不超過km區(qū)域；在直線x=2的左側，考察范圍為到A,B兩點的距離之和不超過km區(qū)域。 （Ⅰ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程； （Ⅱ）如圖6所示，設線段P1P2,P2P3是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界線），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間。 化 融 區(qū) 域 P3(8,6) 已 冰 B（4，0） A（-4,0）

50、 x （，-1）P1 26.（2020湖北理）19(本小題滿分12分) 已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1,0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都 是1. (Ⅰ)求曲線C的方程； （Ⅱ）是否存在正數(shù)m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線，都有？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由。 27.（2020安徽理數(shù)）19、（本小題滿分13分） 已知橢圓經(jīng)過點，對稱軸為坐標軸，焦點 在軸上，離心率。 (Ⅰ)求橢圓的方程； (Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程； (Ⅲ)在橢圓上是否存在關于直線對稱的相異兩點？

51、 若存在，請找出；若不存在，說明理由。 28.（2020江蘇卷）18、（本小題滿分16分） 在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m>0,。 （1）設動點P滿足,求點P的軌跡； （2）設，求點T的坐標； （3）設,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）。 [解析] 本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎知識?？疾檫\算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。 （1）設點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。 由，得 化簡得。 故所求點P

52、的軌跡為直線。 （2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，） 直線MTA方程為：，即， 直線NTB 方程為：，即。 聯(lián)立方程組，解得：， 所以點T的坐標為。 （3）點T的坐標為 直線MTA方程為：，即， 直線NTB 方程為：，即。 分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到， 解得：、。 （方法一）當時，直線MN方程為： 令，解得：。此時必過點D（1，0）； 當時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。 所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）。 （方法二）若，則由及，得， 此時直線MN的方程為，過點D（1，0）。 若，則，直線MD的斜率， 直線N

53、D的斜率，得，所以直線MN過D點。 因此，直線MN必過軸上的點（1，0）。 2020年高考題 一、選擇題 1.（2020全國卷Ⅰ理）設雙曲線（a＞0,b＞0）的漸近線與拋物線y=x2 +1相切，則該雙曲線的離心率等于( ) A. B.2 C. D. 【解析】設切點，則切線的斜率為. 由題意有又 解得: . 【答案】C 2.（2020全國卷Ⅰ理）已知橢圓的右焦點為,右準線為，點，線段交于點，若,則=( ) A. B. 2

54、 C. D. 3 【解析】過點B作于M,并設右準線與X軸的交點為N，易知FN=1.由題意,故.又由橢圓的第二定義,得.故選A 【答案】A 3.（2020浙江理）過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為．若，則雙曲線的離心率是 ( ) A． B． C． D． 【解析】對于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點為B，C，則有 ，因． 【答案】C 4.（2020浙江文）已知橢圓的左焦點為，右頂

55、點為，點在橢圓上，且軸， 直線交軸于點．若，則橢圓的離心率是（ ） A． B． C． D． 【解析】對于橢圓，因為，則 【答案】D 5.（2020北京理）點在直線上，若存在過的直線交拋物線于兩點，且，則稱點為“點”，那么下列結論中正確的是 （ ） A．直線上的所有點都是“點” B．直線上僅有有限個點是“點” C．直線上的所有點都不是“點” D．直線上有無窮多個點（點不是所有的點）是“點” 【解析】本題主要考

56、查閱讀與理解、信息遷移以及學生的學習潛力,考查學生分析問題和解決問題的能力. 屬于創(chuàng)新題型. 本題采作數(shù)形結合法易于求解，如圖， 設， 則， ∵， ∴ 消去n,整理得關于x的方程 （1） ∵恒成立， ∴方程（1）恒有實數(shù)解，∴應選A. 【答案】A 6.(2020山東卷理)設雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有一個公共點，則雙曲線的離心率為( ). A. B. 5 C. D. 【解析】雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一

57、解,所以△=, 所以,,故選D. 【答案】D 【命題立意】:本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,以及直線與拋物線的位置關系,只有一個公共點,則解方程組有唯一解.本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能. 7.(2020山東卷文)設斜率為2的直線過拋物線的焦點F,且和軸交于點A,若△OAF(O為坐標原點)的面積為4,則拋物線方程為( ). A. B. C. D. 【解析】　拋物線的焦點F坐標為,則直線的方程為,它與軸的交點為A,所以△OAF的面積為,解得.所以拋物線方程為,故選B. 【答

58、案】B 【命題立意】:本題考查了拋物線的標準方程和焦點坐標以及直線的點斜式方程和三角形面積的計算.考查數(shù)形結合的數(shù)學思想,其中還隱含著分類討論的思想,因參數(shù)的符號不定而引發(fā)的拋物線開口方向的不定以及焦點位置的相應變化有兩種情況,這里加絕對值號可以做到合二為一. 8.（2020全國卷Ⅱ文）雙曲線的漸近線與圓相切，則r= ( ) A. B.2 C.3 D.6 【解析】本題考查雙曲線性質及圓的切線知識，由圓心到漸近線的距離等于r，可求r=. 【答案】A 9.（2020全國卷Ⅱ文）已知直線與拋物線C:相

59、交A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點。若,則k=　(　　) Ａ. 　　Ｂ. Ｃ. 　?。? 【解析】本題考查拋物線的第二定義，由直線方程知直線過定點即拋物線焦點（2，0），由及第二定義知聯(lián)立方程用根與系數(shù)關系可求k=. 【答案】D 1０.（2020安徽卷理）下列曲線中離心率為的是 Ａ. ?。? Ｃ. Ｄ. 【解析】由得，選B. 【答案】Ｂ 11.（2020福建卷文）若雙曲線的離心率為2，則等于( ) A. 2 B. C.

60、 D. 1 【解析】　由，解得a=1或a=3，參照選項知而應選D. 【答案】D 12.（2020安徽卷文）下列曲線中離心率為的 是(. ( ) A. B. C. D. 【解析】依據(jù)雙曲線的離心率可判斷得..選B。 【答案】B 13.（2020江西卷文）設和為雙曲線()的兩個焦點, 若，是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為 A． B． C． D．3 【解析】由有,則,故選B. 【答案】B 14.（2020江西卷理）過橢

61、圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為 A． B． C． D． 【解析】因為，再由有從而可得，故選B 【答案】B 15.（2020天津卷文）設雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（ ） A. B . C . D. 【解析】由已知得到，因為雙曲線的焦點在x軸上，故漸近線方程為 【答案】C 【考點定位】本試題主要考查了雙曲線的幾何性質和運用?？疾炝送瑢W們的運算能力和推理能力。 16.(2020湖北卷理)已知雙曲線的準線過橢圓

62、的焦點，則直線與橢圓至多有一個交點的充要條件是( ) A. B. C. D. 【解析】易得準線方程是 所以 即所以方程是 聯(lián)立可得由可解得A. 【答案】A 17.（2020四川卷文、理）已知雙曲線的左、右焦點分別是、，其一條漸近線方程為，點在雙曲線上.則·＝( ) A. －12 B. －2 C. 0 D. 4 【解析】由漸近線方程為知雙曲線是等軸雙曲線，∴雙曲線方程是，于是兩焦點坐標分別是（

63、－2，0）和（2，0），且或.不妨去，則，. ∴·＝ 【答案】C 18.（2020全國卷Ⅱ理）已知直線與拋物線相交于兩點，為的焦點，若，則( ) A. B. C. D. 【解析】設拋物線的準線為直線 恒過定點P .如圖過 分 別作于,于, 由, 則,點B為AP的中點.連結,則, 點的橫坐標為, 故點的坐標為 , 故選D. 【答案】D 19.（2020全國卷Ⅱ理）已知雙曲線的右焦點為,過且斜率為的直線交于兩點，若,則的離心率為 ( ) m A． B

64、. C. D. 【解析】設雙曲線的右準線為,過分 別作于,于, ,由直線AB的斜率為,知直線AB的傾斜角, 由雙曲線的第二定義有 . 又 . 【答案】A 20.（2020湖南卷文）拋物線的焦點坐標是（ ） A．（2，0） B．（- 2，0） C．（4，0） D．（- 4，0） 【解析】由,易知焦點坐標是，故選B. 【答案】B 21.（2020寧夏海南卷理）雙曲線-=1的焦點到漸近線的距離為( ) A. B.2 C.

65、 D.1 【解析】雙曲線-=1的焦點(4,0)到漸近線的距離為, 【答案】A 22.（2020陜西卷文）“”是“方程”表示焦點在y軸上的橢圓”的 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】將方程轉化為 , 根據(jù)橢圓的定義，要使焦點在y軸上必須滿足所以. 【答案】C 23.（2020全國卷Ⅰ文）設雙曲線的漸近線與拋物線相切，則該雙曲線的離心率等于（ ） A. B.

66、2 C. D. 【解析】由題雙曲線的一條漸近線方程為，代入拋物線方程整理得，因漸近線與拋物線相切，所以，即，故選擇C. 【答案】C 24.（2020湖北卷文）已知雙曲線（b＞0）的焦點，則b=( ) A.3 B. C. D. 【解析】可得雙曲線的準線為,又因為橢圓焦點為所以有.即b2=3故b=.故C. 【答案】C 27.（2020天津卷理）設拋物線=2x的焦點為F，過點M（，0）的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準線相交于C，=2，則BCF與ACF的面積之比=( ) A. B. C. D. 【解析】由題知， 又 由A、B、M三點共線有即，故， ∴，故選擇A。 【答案】A 28.（2020四川卷理）已知直線和直線，拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是（ ） A.2 B.3