第二章 函數(shù)教案 新課標 人教版

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1、第二章 函數(shù)教案 一、函數(shù)的概念與表示 1、映射 （1）映射：設A、B是兩個集合，如果按照某種映射法則f，對于集合A中的任一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，則這樣的對應（包括集合A、B以及A到B的對應法則f）叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B。 （2）象與原象：如果給定一個從集合A到集合B的映射，那么集合A中的元素a對應的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。 注意點：（1）對映射定義的理解。（2）判斷一個對應是映射的方法。 2、函數(shù) （1）函數(shù)的定義 ①原始定義：設在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與

2、它對應，那么就稱y是x的函數(shù)，x叫作自變量。 ②近代定義：設A、B都是非空的數(shù)的集合，f：x→y是從A到B的一個對應法則，那么從A到B的映射f：A→B就叫做函數(shù)，記作y=f(x)，其中，原象集合A叫做函數(shù)的定義域，象集合C叫做函數(shù)的值域。 （2）構(gòu)成函數(shù)概念的三要素 ①定義域②對應法則③值域 3、函數(shù)的表示方法①解析法②列表法③圖象法 注意：強調(diào)分段函數(shù)與復合函數(shù)的表示形式。 二、函數(shù)的解析式與定義域 1、函數(shù)解析式：函數(shù)的解析式就是用數(shù)學運算符號和括號把數(shù)和表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫解析式，解析式亦稱“解析表達式”或“表達式”，簡稱“式”。（注意分段函數(shù)） 求函數(shù)解析式的

3、方法： （1） 定義法 （2）變量代換法 （3）待定系數(shù)法 （4）函數(shù)方程法 （5）參數(shù)法 （6）實際問題 2、函數(shù)的定義域：要使函數(shù)有意義的自變量x的取值的集合。 求函數(shù)定義域的主要依據(jù)： （1）分式的分母不為零； （2）偶次方根的被開方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義； （3）對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零； （4）指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1； 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算而得到的，那么它的定義域是由各基本函數(shù)定義域的交集。 3。復合函數(shù)定義域：已知f(x)的定義域為,其復合函數(shù)的定義域

4、應由不等式解出。 三、函數(shù)的值域 1．函數(shù)的值域的定義 在函數(shù)y=f(x)中，與自變量x的值對應的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。 2．確定函數(shù)的值域的原則 ①當函數(shù)y=f(x)用表格給出時，函數(shù)的值域是指表格中實數(shù)y的集合； ②當函數(shù)y=f(x)用圖象給出時，函數(shù)的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數(shù)y的集合； ③當函數(shù)y=f(x)用解析式給出時，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應法則唯一確定； ④當函數(shù)y=f(x)由實際問題給出時，函數(shù)的值域由問題的實際意義確定。 3．求函數(shù)值域的方法 ①直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值

5、范圍； ②二次函數(shù)法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域； ③反函數(shù)法：將求函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求它的反函數(shù)的值域； ④判別式法：運用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍； ⑤單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域； ⑥不等式法：利用不等式的性質(zhì)求值域； ⑦圖象法：當一個函數(shù)圖象可作時，通過圖象可求其值域； ⑧幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。 四．函數(shù)的奇偶性 1．定義:　設y=f(x)，x∈A，如果對于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為偶函數(shù)。設y=f(x)，x∈A，如果對于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為奇函數(shù)。如果函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱函數(shù)y=具有奇偶性

6、。 2.性質(zhì)： ①函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱， ②y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關于軸對稱,　　 y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關于原點對稱, ③偶函數(shù)在定義域內(nèi)關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在定義域內(nèi)關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同， ④偶函數(shù)無反函數(shù)，奇函數(shù)的反函數(shù)還是奇函數(shù)， ⑤若函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱，則它可表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和 ⑥奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[兩函數(shù)的定義域D1 ，D2，D1∩D2要關于原點對稱] ⑦對于F(x)=f[g(x)]:若g

7、(x)是偶函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù) 若g(x)是奇函數(shù)且f(x)是奇函數(shù)，則F(x)是奇函數(shù) 若g(x)是奇函數(shù)且f(x)是偶函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù) 3．奇偶性的判斷 ①看定義域是否關于原點對稱　　　　　②看f(x)與f(-x)的關系 五、函數(shù)的單調(diào)性 1、函數(shù)單調(diào)性的定義； 2、判斷函數(shù)單調(diào)性（求單調(diào)區(qū)間）的方法： （1）從定義入手，（2）從圖象入手，（3）從函數(shù)運算入手，（4）從熟悉的函數(shù)入手 （5）從復合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律入手 注：函數(shù)的定義域優(yōu)先 3、函數(shù)單調(diào)性的證明：定義法“取值—作差—變形—定號—結(jié)論”。 4、一般規(guī)律 （1）若f(x),g(x)均為增

8、函數(shù)，則f(x)+g(x)仍為增函數(shù)； （2）若f(x)為增函數(shù)，則-f(x)為減函數(shù)； （3）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調(diào)性； （4）設是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則在M上是減函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則在M上是增函數(shù)。 六、反函數(shù) 1、 反函數(shù)的概念：設函數(shù)y=f(x)的定義域為A，值域為C，由y=f(x)求出，若對于C中的每一個值y，在A中都有唯一的一個值和它對應，那么叫以y為自變量的函數(shù)，這個函數(shù)叫函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作，通常情況下，一般用x表示自變量，所以記作。 注：在理解反函數(shù)的概念時應注意下列問題。 （1）只有從定

9、義域到值域上一一映射所確定的函數(shù)才有反函數(shù)； （2）反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域和定義域； 2、求反函數(shù)的步驟 （1）解關于x的方程y=f(x)，達到以y表示x的目的； （2）把第一步得到的式子中的x換成y，y換成x； （3）求出并說明反函數(shù)的定義域（即函數(shù)y=f(x)的值域）。 3、關于反函數(shù)的性質(zhì) （1）y=f(x)和y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱； （2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的單調(diào)性； （3）y=f(x)和x=f-1(y)互為反函數(shù)，但對同一坐標系下它們的圖象相同； （4）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，從中

10、求出x，即是f-1(a)； （5）f-1[f(x)]=x; （6）若點P(a,b)在y=f(x)的圖象上，又在y=f-1(x)的圖象上，則P(b,a)在y=f(x)的圖象上； （7）證明y=f(x)的圖象關于直線y=x對稱，只需證得y=f(x)反函數(shù)和y=f(x)相同； 七．二次函數(shù) 1．二次函數(shù)的解析式的三種形式 (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，其中a是開口方向與大小，c是Y軸上的截距，而是對稱軸。 (2)頂點式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是拋物線的頂點坐標。 (3)兩根式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x

11、1,x2是拋物線與x軸兩交點的坐標。 求一個二次函數(shù)的解析式需三個獨立條件，如：已知拋物線過三點，已知對稱軸和兩點，已知頂點和對稱 軸。又如，已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，方程f(x)-x=0的兩根為，則可設 f(x)-x=或。 2．二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象是一條拋物線，對稱軸，頂點坐標 （1）a>0時，拋物線開口向上，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時， （2）a<0時，拋物線開口向下，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時， 3．二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)當時圖象與x軸有兩個交點 M1(x1,0),M2(x2,0)

12、 4．二次函數(shù)與一元二次方程關系 方程的根為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的取值。二次函數(shù)與一元二次不等式的關系一元二次不等式的解集為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的取值范圍。 二次函數(shù) △情況 一元二次方程 一元二次不等式解集 Y=ax2+bx+c (a>0) △=b2-4ac ax2+bx+c=0 (a>0) ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) 圖象與解 △>0 △=0 △<0 方程無解 R 八．指數(shù)式與對數(shù)

13、式 1．冪的有關概念 (1)正整數(shù)指數(shù)冪，(2)零指數(shù)冪 (3)負整數(shù)指數(shù)冪(4)正分數(shù)指數(shù)冪 ； (5)負分數(shù)指數(shù)冪 (6)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義. 2．有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì) 3．根式 （1）根式的定義:一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式，叫做根指數(shù)，叫被開方數(shù)。 (2)根式的性質(zhì): ①當是奇數(shù)，則；當是偶數(shù)，則 ②負數(shù)沒有偶次方根， ③零的任何次方根都是零 4．對數(shù) (1)對數(shù)的概念 如果,那么b叫做以a為底N的對數(shù),記 (2)對數(shù)的性質(zhì)：①零與負數(shù)沒有對數(shù) ② ③ (3)對數(shù)的運算性質(zhì)

14、 其中a>0,a≠0,M>0,N>0 (4)對數(shù)換底公式： （5）對數(shù)的降冪公式： 九．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 1、 指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax (a>0 , a≠1)互為反函數(shù)，從概念、圖象、性質(zhì)去理解它們的區(qū)別和聯(lián)系 名稱 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 一般形式 Y=ax (a>0且a≠1) y=logax (a>0 , a≠1) 定義域 (-∞,+ ∞) (0,+ ∞) 值域 (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) 過定點 （０，1） （1，０） 圖象 指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax (a>0 , a≠

15、1)圖象關于y=x對稱 單調(diào)性 a> 1,在(-∞,+ ∞)上為增函數(shù) ０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上為減函數(shù) a>1,在(0,+ ∞)上為增函數(shù) ０＜a<1, 在(0,+ ∞)上為減函數(shù) 值分布 y>1 ? y<1? y>0? y<0? 比較兩個冪值的大小，是一類易錯題，解決這類問題，首先要分清底數(shù)相同還是指數(shù)相同 2、 ，如果底數(shù)相同，可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；指數(shù)相同，可以利用指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象關系（對數(shù)式比較大小同理） 記住下列特殊值為底數(shù)的函數(shù)圖象： 　　　　　 3、 研究指數(shù)，對數(shù)函數(shù)問題，盡量化為同底，并注意對數(shù)問題中的定義域限

16、制 4、 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中的絕大部分問題是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復合問題，討論復合函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的重要途徑。 十．函數(shù)的圖象 　1、作函數(shù)圖象的基本方法有兩種： （1） 描點法：1、先確定函數(shù)定義域，討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性，單調(diào)性，周期性）2、列表（注意特殊點，如：零點，最大最小，與軸的交點）　3、描點，連線　如：作出函數(shù)的圖象． （2） 圖象變換法：利用基本初等函數(shù)變換作圖 ① 平移變換：（左正右負，上正下負）即 ② ③ 對稱變換：（對稱誰，誰不變，對稱原點都要變） ④ 伸縮變換： 訓練題 一、選擇題： 1、若與在區(qū)間上都是減函數(shù)，則的取值

17、范圍是 （A） （B） （C） （D） 2、定義在上的函數(shù)滿足，當時，，則 （A） （B） （C） （D） 3、已知函數(shù)f (x)的導數(shù)為且圖象過點（0，－5），當函數(shù)f (x)取得極大值－5時，x的值應為 A．－1 B．0 C．1 D．±1 4、已知，且，則二次函數(shù)式的最小值為 A． B． C． 24 D． 5、若函數(shù)的圖象如圖所示，則的范圍是（ ） A． B．（0，3） C．（1，3）

18、 D．（2，3） 6、已知M={y|y=x2}，N={y|x2＋y2=2}，則MN=( ) A、{(1，1)，(－1，1)} B、{1} C、[0，1] D、[0，] 7、已知f(x)是R上的偶函數(shù)，對都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，則f(2020)=( ) A、2020 B、2 C、1 D、0 8、若關于的不等式至少有一個負數(shù)解，那么實數(shù)的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 9、設函數(shù)在點x=1處連續(xù)，則＝ A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 10、設

19、函數(shù)、滿足，則與的大小關系是　　　　　　　　 （　） A. 　　B. C. 　D. 11、已知函數(shù)在區(qū)間[－1,2 ]上是減函數(shù)，那么b＋c A.有最大值 B. 有最大值 C.有最小值 D. 有最小值 12、已知函數(shù) （ ） A． B．－ C．3 D．－3 13、函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x都滿足f()=f()，并且f(x)=0有3個實根，則這3個實根之和為( ) A．1 B．0 C．3 D． 14、設f(x)、g(x)是定義域為R的恒大于零的可導函數(shù)，且，則當a

20、 g(x)> f(b) g(b) B．f(x) g(a)> f(a) g(x) C．f(x) g(b)> f(b) g(x) D．f(x) g(x)> f(a) g(a) 15、函數(shù)的反函數(shù)是( ) A. B. C. D. 16、已知函數(shù)，則的反函數(shù)為（ ） A. B. C. D. 17、設函數(shù). 若函數(shù)的圖象與的圖象關于直線對稱,則的值為 A. B.

21、 C. 3 D. 5 函數(shù)的增區(qū)間為（ ）. A. B . C. D. 17、設函數(shù)f(x)=，則f(log23)=( ) A. B. C. D. 已知函數(shù)f(x)=x?sinx則的大小關系為（　 ） (A)　　　　　(B) (C)　　　　　(D) 二、填空題： 18、若直線與函數(shù)，且的圖象有兩個公共點，則的取值范圍是 ． 19、方程f(x)=x的根稱為f

22、(x)的不動點，若函數(shù)有唯一不動點，且，，則 。 20、設函數(shù)則滿足的x值為 已知函數(shù)是R上的減函數(shù)，A（0，-3），B（-2，3）是其圖象上的兩點，那么不等式的解集是____________________。 21、已知集合是同時滿足下列兩個性質(zhì)的函數(shù)的全體： ①在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；②在的定義域內(nèi)存在區(qū)間，使得在上的值域是． （Ⅰ）判斷函數(shù)是否屬于集合？并說明理由．若是，請找出區(qū)間； （（Ⅱ）若函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍． 22、已知函數(shù)單調(diào)遞增，在[1， 3]單調(diào)遞減. （1）求b、c之間的關系式

23、； （2）當時，是否存在實數(shù)m，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請說明理由. 21、解：（Ⅰ）的定義域是， ，在上是單調(diào)減函數(shù)． 則在上的值域是． 由 解得：或（舍去）或（舍去） 函數(shù)屬于集合，且這個區(qū)間是． （Ⅱ）設，則易知是定義域上的增函數(shù)． ，存在區(qū)間，滿足，． 即方程在內(nèi)有兩個不等實根． [法一]：方程在內(nèi)有兩個不等實根，等價于方程 在內(nèi)有兩個不等實根． 即方程在內(nèi)有兩個不等實根． 根據(jù)一元二次方程根的分布有 解得． 因此，實數(shù)的取值范圍是． [法二]：要使方程在內(nèi)有兩個不等實根， 即使方程在內(nèi)有兩個不等實根． 如圖，當直線經(jīng)過點時，， 當直線與曲線相切時， 方程兩邊平方，得，由，得． 因此，利用數(shù)形結(jié)合得實數(shù)的取值范圍是． 22、解： （1） （2），其增區(qū)間為若存在m，則有 ① 這與①式矛盾，∴不存在實數(shù)m.