湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 求函數(shù)值域的常用方法及值域的應(yīng)用

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1、湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：求函數(shù)值域的常用方法及值域的應(yīng)用 高考要求 函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一 本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會(huì)用函數(shù)的值域解決實(shí)際應(yīng)用問題 重難點(diǎn)歸納 (1)求函數(shù)的值域 此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法 配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等 無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域 (2)函數(shù)的綜合性題目 此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識(shí)相結(jié)合的題目 此類問題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強(qiáng)

2、的運(yùn)算能力 在今后的命題趨勢(shì)中綜合性題型仍會(huì)成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng) (3)運(yùn)用函數(shù)的值域解決實(shí)際問題 此類問題關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而利用所學(xué)知識(shí)去解決此類題要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力 典型題例示范講解 例1設(shè)計(jì)一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840 cm2,畫面的寬與高的比為λ(λ<1),畫面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最??？ 如果要求λ∈［］，那么λ為何值時(shí)，能使宣傳畫所用紙張面積最小？ 命題意圖 本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問題，同時(shí)考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)

3、解決實(shí)際問題的能力 知識(shí)依托 主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識(shí) 錯(cuò)解分析 證明S(λ)在區(qū)間［］上的單調(diào)性容易出錯(cuò)，其次不易把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決 技巧與方法 本題屬于應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，并把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決 解 設(shè)畫面高為x cm,寬為λx cm,則λx2=4840,設(shè)紙張面積為S cm2, 則S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160, 將x=代入上式得 S=5000+44 (8+), 當(dāng)8=,即λ=<1)時(shí)S取得最小值 此時(shí)高 x==88 cm,　寬 λx=×88=55

4、 cm 如果λ∈［］，可設(shè)≤λ1<λ2≤,則由S的表達(dá)式得 又≥,故8－>0,∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在區(qū)間［］內(nèi)單調(diào)遞增 從而對(duì)于λ∈［］,當(dāng)λ=時(shí)，S(λ)取得最小值 答 畫面高為88 cm,寬為55 cm時(shí)，所用紙張面積最小 如果要求λ∈［］,當(dāng)λ=時(shí)，所用紙張面積最小 例2已知函數(shù)f(x)=,x∈［1,+∞ (1)當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值 (2)若對(duì)任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍 命題意圖 本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運(yùn)算能力 知識(shí)依托

5、本題主要通過求f(x)的最值問題來求a的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想 錯(cuò)解分析 考生不易考慮把求a的取值范圍的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決 技巧與方法 解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把f(x)>0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運(yùn)用分類討論思想解得 (1)解 當(dāng)a=時(shí)，f(x)=x++2 ∵f(x)在區(qū)間［1，+∞上為增函數(shù)， ∴f(x)在區(qū)間［1，+∞上的最小值為f(1)= (2)解法一 在區(qū)間［1，+∞上， f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立 設(shè)y=x2+2x+a,x∈［1,+∞∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1遞增

6、， ∴當(dāng)x=1時(shí)，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a>0時(shí)，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3  解法二 f(x)=x++2,x∈［1,+∞當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)的值恒為正； 當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)遞增，故當(dāng)x=1時(shí)，f(x)min=3+a, 當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min=3+a>0時(shí)，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3 例3設(shè)m是實(shí)數(shù)，記M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+) (1)證明 當(dāng)m∈M時(shí)，f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則m∈M (2)當(dāng)m∈M時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值

7、(3)求證 對(duì)每個(gè)m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1 　(1)證明 先將f(x)變形 f(x)=log3［(x－2m)2+m+］, 當(dāng)m∈M時(shí)，m>1,∴(x－m)2+m+>0恒成立，故f(x)的定義域?yàn)镽 反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則只須x2－4mx+4m2+m+>0,令Δ＜0,即16m2－4(4m2+m+)＜0,解得m>1,故m∈M (2)解析 設(shè)u=x2－4mx+4m2+m+, ∵y=log3u是增函數(shù)，∴當(dāng)u最小時(shí)，f(x)最小 而u=(x－2m)2+m+,顯然，當(dāng)x=m時(shí)，u取最小值為m+,此時(shí)f(2m)=log3(m+)為最小值

8、 (3)證明 當(dāng)m∈M時(shí)，m+=(m－1)+ +1≥3,當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)等號(hào)成立 ∴l(xiāng)og3(m+)≥log33=1 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 函數(shù)y=x2+ (x≤－)的值域是( ) A(－∞,－ B［－,+∞　C［,+∞　D(－∞,－］ 2 函數(shù)y=x+的值域是( ) A (－∞,1 B (－∞,－1　　　C R D ［1,+∞ 3 一批貨物隨17列貨車從A市以V千米/小時(shí)勻速直達(dá)B市，已知兩地鐵路線長(zhǎng)400千米，為了安全，兩列貨車間距離不得小于()2千米 ，那么這批物資全部運(yùn)到B市，最快需要_________小時(shí)(不計(jì)貨車的車身長(zhǎng))

9、 4 設(shè)x1、x2為方程4x2－4mx+m+2=0的兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)m=_________時(shí)，x12+x22有最小值_________ 5 某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí)，固定成本為5000元，而每生產(chǎn)100臺(tái)產(chǎn)品時(shí)直接消耗成本要增加2500元，市場(chǎng)對(duì)此商品年需求量為500臺(tái)，銷售的收入函數(shù)為R(x)=5x－x2(萬元)(0≤x≤5),其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位 百臺(tái)) (1)把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)； (2)年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)所得的利潤(rùn)最大？ (3)年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)才不虧本？ 6 已知函數(shù)f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］ (1)若f(x)的定義域?yàn)?

10、－∞,+∞)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)若f(x)的值域?yàn)?－∞,+∞),求實(shí)數(shù)a的取值范圍 參考答案 1 解析 ∵m1=x2在(－∞,－）上是減函數(shù)，m2=在(－∞,－）上是減函數(shù)，∴y=x2+在x∈(－∞,－)上為減函數(shù),∴y=x2+ (x≤－)的值域?yàn)椋郏?∞答案 B 2令=t(t≥0), ∵y=+t=－ (t－1)2+1≤1∴值域?yàn)?－∞,1 答案 A 3 解析 t=+16×()2/V=+≥2=8 答案 8 4 解析 由韋達(dá)定理知 x1+x2=m,x1x2=,∴x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2=m2－=(m－)2－, 又x

11、1,x2為實(shí)根，∴Δ≥0 ∴m≤－1或m≥2， y=(m－)2－在區(qū)間(－∞,1）上是減函數(shù)，在［2，+∞上是增函數(shù)，又拋物線y開口向上且以m=為對(duì)稱軸 故m=1時(shí)， ymin= 答案 －1 5 解 (1）利潤(rùn)y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)之差，由題意，當(dāng)x≤5時(shí)，產(chǎn)品能全部售出，當(dāng)x>5時(shí)，只能銷售500臺(tái)，所以 y= (2）在0≤x≤5時(shí)，y=－x2+4 75x－0 5,當(dāng)x=－=4 75(百臺(tái)）時(shí)，ymax=10 78125(萬元），當(dāng)x>5(百臺(tái)）時(shí)，y＜12－0 25×5=10 75(萬元），所以當(dāng)生產(chǎn)475臺(tái)時(shí)，

12、利潤(rùn)最大  (3）要使企業(yè)不虧本，即要求 解得5≥x≥4 75－≈0 1(百臺(tái)）或5＜x＜48(百臺(tái)）時(shí)，即企業(yè)年產(chǎn)量在10臺(tái)到4800臺(tái)之間時(shí)，企業(yè)不虧本 6 解 (1）依題意(a2－1）x2+(a+1)x+1>0對(duì)一切x∈R恒成立，當(dāng)a2－1≠0時(shí)，其充要條件是，∴a＜－1或a> 又a=－1時(shí)，f(x)=0滿足題意，a=1時(shí)不合題意 故a≤－1或a>為所求 (2）依題意只要t=(a2－1)x2+(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，則f(x)的值域?yàn)镽，故有,解得1＜a≤,又當(dāng)a2－1=0即a=1時(shí)，t=2x+1符合題意而a=－1時(shí)不合題意，∴1≤a≤為所求