湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 靈活運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題

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1、湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：靈活運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題 高考要求 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象和性質(zhì)結(jié)合起來(lái) 本節(jié)主要幫助考生掌握?qǐng)D象和性質(zhì)并會(huì)靈活運(yùn)用 重難點(diǎn)歸納 1 考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)題目，此類題目要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上要對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運(yùn)用 2 三角函數(shù)與其他知識(shí)相結(jié)合的綜合題目，此類題目要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和邏輯思維能力 在今后的命題趨勢(shì)中綜合性題型仍會(huì)成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng) 3 三角函數(shù)與實(shí)際問題的綜合應(yīng)用

2、 此類題目要求考生具有較強(qiáng)的知識(shí)遷移能力和數(shù)學(xué)建模能力，要注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用 典型題例示范講解 例1設(shè)z1=m+(2－m2)i, z2=cosθ+(λ+sinθ)i, 其中m,λ,θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范圍 錯(cuò)解分析 考生不易運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法來(lái)解決問題 技巧與方法 對(duì)于解法一，主要運(yùn)用消參和分離變量的方法把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題；對(duì)于解法二，主要運(yùn)用三角函數(shù)的平方關(guān)系把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題 解法一 ∵z1=2z2，∴m+(2－m2)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴

3、∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2(sinθ－)2－ 當(dāng)sinθ=時(shí)λ取最小值－，當(dāng)sinθ=－1時(shí)，λ取最大值2 解法二 ∵z1=2z2 ∴∴, ∴=1 ∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0, 設(shè)t=m2,則0≤t≤4, 令f(t)=t2－(3－4λ)t+4λ2－8λ, 則或f(0)·f(4)≤0 ∴ ∴－≤λ≤0或0≤λ≤2 ∴λ的取值范圍是［－，2］ 例2如右圖，一滑雪運(yùn)動(dòng)員自h=50m高處A點(diǎn)滑至O點(diǎn)，由于運(yùn)動(dòng)員的技巧(不計(jì)阻力)，在O點(diǎn)保持速率v0不為，并以傾角θ起跳，落至B點(diǎn)，令OB=L，試問，α=30°時(shí)，

4、L的最大值為多少？當(dāng)L取最大值時(shí)，θ為多大？ 錯(cuò)解分析 考生不易運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決物理問題，知識(shí)的遷移能力不夠靈活 技巧與方法 首先運(yùn)用物理學(xué)知識(shí)得出目標(biāo)函數(shù)，其次運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問題 解 由已知條件列出從O點(diǎn)飛出后的運(yùn)動(dòng)方程 由①②整理得 v0cosθ= ∴v02+gLsinα=g2t2+≥=gL 運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)滑至O點(diǎn)，機(jī)械守恒有:mgh=mv02, ∴v02=2gh,∴L≤=200(m) 即Lmax=200(m),又g2t2= ∴ 得cosθ=cosα,∴θ=α=30°∴L最大值為200米，當(dāng)L最大時(shí)，起跳仰角為30°

5、 例3如下圖，某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b (1)求這段時(shí)間的最大溫差 (2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式 錯(cuò)解分析 不易準(zhǔn)確判斷所給圖象所屬的三角函數(shù)式的各個(gè)特定系數(shù)和字母 技巧與方法 數(shù)形結(jié)合的思想，以及運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式 解 (1)由圖示，這段時(shí)間的最大溫差是30－10=20(℃)； (2)圖中從6時(shí)到14時(shí)的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的半個(gè)周期的圖象 ∴=14－6,解得ω=, 由圖示A=(30－10)=10，b=(30+10)=20，這時(shí)y=10sin(x+φ)+20

6、,將x=6,y=10代入上式可取φ=π 綜上所求的解析式為y=10sin(x+π)+20,x∈［6,14］ 例4　已知α、β為銳角，且x(α+β－)＞0,試證不等式f(x)=x＜2對(duì)一切非零實(shí)數(shù)都成立 證明 若x＞0，則α+β＞∵α、β為銳角，∴0＜－α＜β＜;0＜－β＜, ∴0＜sin(－α)＜sinβ 0＜sin(－β)＜sinα， ∴0＜cosα＜sinβ,0＜cosβ＜sinα,∴0＜＜1,0＜＜1, ∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)＜f(0)=2 若x＜0,α+β＜,∵α、β為銳角， 0＜β＜－α＜,0＜α＜－β＜, 0＜sinβ＜s

7、in(－α),∴sinβ＜cosα,0＜sinα＜sin(－β), ∴sinα＜cosβ,∴＞1, ＞1, ∵f(x)在(－∞,0）上單調(diào)遞增，∴f(x)＜f(0)=2,∴結(jié)論成立 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 函數(shù)y=－x·cosx的部分圖象是( ) 2 函數(shù)f(x)=cos2x+sin(+x)是( ) A 非奇非偶函數(shù) B 僅有最小值的奇函數(shù) C 僅有最大值的偶函數(shù) D 既有最大值又有最小值的偶函數(shù) 3 函數(shù)f(x)=()｜c(diǎn)osx｜在［－π，π］上的單調(diào)減區(qū)間為_________ 4 設(shè)ω＞0，若函數(shù)f(x)=2sinωx在［－，

8、］上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是_________ 5 設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不論α、β為何實(shí)數(shù)恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0 (1)求證 b+c=－1； (2)求證c≥3； (3)若函數(shù)f(sinα)的最大值為8，求b，c的值 參考答案 1 函數(shù)y=－xcosx是奇函數(shù)，圖象不可能是A和C，又當(dāng)x∈(0, )時(shí)，y＜0答案 D 2 解析 f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x－1+cosx=2［(cosx+］－1答案 D 3 解 在［－π,π］上，y=｜c(diǎn)osx｜的單調(diào)遞增區(qū)間是［－,0］及

9、［,π］ 而f(x)依｜c(diǎn)osx｜取值的遞增而遞減,故［－,0］及［,π］為f(x)的遞減區(qū)間 4 解 由－≤ωx≤，得f(x)的遞增區(qū)間為［－,］，由題設(shè)得 5 解 (1)∵－1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立，∴f(1)≥0 ∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立 ∴f(1)≤0 從而知f(1)=0∴b+c+1=0 (2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0 又因?yàn)閎+c=－1,∴c≥3 (3)∵f(sinα)=sin2α+(－1－c)sinα+c=(sinα－)2+c－()2, 當(dāng)sinα=－1時(shí)，［f(sinα)］max=8,由解得b=－4,c=3