湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 直線與圓錐曲線問(wèn)題的處理方法(2)

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1、湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：直線與圓錐曲線問(wèn)題的處理方法(2) 高考要求 直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等 突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開(kāi)考生“檔次”，有利于選拔的功能 重難點(diǎn)歸納 1 直線與圓錐曲線有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法 2 當(dāng)直線與圓錐曲

2、線相交時(shí) 涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式)；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化 同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍 典型題例示范講解 例1如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(－4，0)、F2(4，0)，過(guò)點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列 (1)求該弦橢圓的方程； (2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

3、 (3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍 命題意圖 本題考查直線、橢圓、等差數(shù)列等基本知識(shí)，一、二問(wèn)較簡(jiǎn)單，第三問(wèn)巧妙地借助中垂線來(lái)求參數(shù)的范圍，設(shè)計(jì)新穎，綜合性，靈活性強(qiáng) 知識(shí)依托 橢圓的定義、等差數(shù)列的定義，處理直線與圓錐曲線的方法 錯(cuò)解分析 第三問(wèn)在表達(dá)出“k=y0”時(shí)，忽略了“k=0”時(shí)的情況，理不清題目中變量間的關(guān)系 技巧與方法 第一問(wèn)利用橢圓的第一定義寫方程；第二問(wèn)利用橢圓的第二定義(即焦半徑公式)求解，第三問(wèn)利用m表示出弦AC的中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y0,利用y0的范圍求m的范圍 解 (1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B

4、|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3 故橢圓方程為=1 (2)由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|= 因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(－x1)+(－x2)=2×,由此得出 x1+x2=8設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),則x0==4 (3)解法一 由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上 得 ①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,即9×=0(x1≠x2) 將 (k≠0)代入上式， 得

5、9×4+25y0(－)=0 (k≠0)即k=y0(當(dāng)k=0時(shí)也成立) 由點(diǎn)P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0 由點(diǎn)P(4，y0)在線段BB′(B′與B關(guān)于x軸對(duì)稱)的內(nèi)部，得－＜y0＜,所以－＜m＜ 例2若拋物線上總存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，求的范圍 解法一 （對(duì)稱曲線相交法） 曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線方程為 如果拋物線上總存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，則兩曲線 與必有不在直線上的兩個(gè)不同的交點(diǎn)(如圖所示)，從而可由 ∵　　 ∴　代入得　有兩個(gè)不同的解，∴　 解法二 （點(diǎn)差法） 設(shè)拋物線上以為端點(diǎn)的弦

6、關(guān)于直線對(duì)稱，且以為中點(diǎn)是拋物線（即）內(nèi)的點(diǎn) 從而有　 由 (1)-(2)得 　 ∴　 由 從而有　 例3　試確定的取值范圍，使得橢圓上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱 解 設(shè)橢圓上以為端點(diǎn)的弦關(guān)于直線對(duì)稱，且以為中點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn) 從而有　 由 (1)-(2)得 　 ∴　由 由在直線上 從而有　 例4　已知直線過(guò)定點(diǎn)A(4,0)且與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，若以PQ為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)O，求的值 解 可設(shè)直線的方程為代入 得　 設(shè)， 則 由題意知，OP⊥OQ，則即　∴此時(shí)，拋物線的方程為 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 在拋物線y

7、2=16x內(nèi)，通過(guò)點(diǎn)(2，1)且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線的方程是_________ 2 已知兩點(diǎn)M(1，)、N(－4，－)，給出下列曲線方程 ①4x+2y－1=0, ②x2+y2=3, ③+y2=1, ④－y2=1,在曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_________ 3 已知雙曲線C的兩條漸近線都過(guò)原點(diǎn)，且都以點(diǎn)A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)A1與A點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱 (1)求雙曲線C的方程 (2)設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)A，斜率為k,當(dāng)0＜k＜1時(shí)，雙曲線C的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線l的距離為，試求k的值及此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo)

8、 參考答案: 1 解析 設(shè)所求直線與y2=16x相交于點(diǎn)A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2)即kAB=8 故所求直線方程為y=8x－15答案 8x－y－15=0 2 解析 點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上，判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否存在交點(diǎn) 答案 ②③④ 3 解 (1)設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx,由d==1,解得k=±1 即漸近線為y=±x,又點(diǎn)A關(guān)于y=x對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，)∴a==b,所求雙曲線C的方程為x2－y2=2 (2)設(shè)直線l y=k(x－)(0＜k＜1,依題意B點(diǎn)在平行的直線l′上，且l與l′間的距離為設(shè)直線l′ y=kx+m,應(yīng)有,化簡(jiǎn)得m2+2km=2 ② 把l′代入雙曲線方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0,由Δ=4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0 可得m2+2k2=2 ③ ②、③兩式相減得k=m,代入③得m2=,解得m=,k=, 此時(shí)x=,y= 故B(2,)