湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 排列、組合的應(yīng)用問題

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1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：排列、組合的應(yīng)用問題 高考要求 排列、組合是每年高考必定考查的內(nèi)容之一，縱觀全國高考數(shù)學(xué)題，每年都有1～2道排列組合題，考查排列組合的基礎(chǔ)知識、思維能力 重難點歸納 1 排列與組合的應(yīng)用題，是高考常見題型，其中主要考查有附加條件的應(yīng)用問題 解決這類問題通常有三種途徑 (1)以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素 (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置 (3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù) 前兩種方式叫直接解法，后一種方式叫間接(剔除)解

2、法 2 在求解排列與組合應(yīng)用問題時，應(yīng)注意 (1)把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題； (2)通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理； (3)分析題目條件，避免“選取”時重復(fù)和遺漏； (4)列出式子計算和作答 3 解排列與組合應(yīng)用題常用的方法有 直接計算法與間接(剔除)計算法；分類法與分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆綁法等八種 4 經(jīng)常運用的數(shù)學(xué)思想是 ①分類討論思想；②轉(zhuǎn)化思想；③對稱思想 典型題例示范講解 例1在∠AOB的OA邊上取m個點，在OB邊上取n個點(均除O點外)，連同O點共m+n+1個點，現(xiàn)任取其中三個點為頂

3、點作三角形，可作的三角形有( ) 命題意圖 考查組合的概念及加法原理 知識依托 法一分成三類方法；法二，間接法，去掉三點共線的組合 錯解分析 A中含有構(gòu)不成三角形的組合，如 CC中，包括O、Bi、Bj;CC中，包含O、Ap、Aq，其中Ap、Aq,Bi、Bj分別表示OA、OB邊上不同于O的點；B漏掉△AiOBj；D有重復(fù)的三角形 如CC中有△AiOBj,CC中也有△AiOBj 技巧與方法 分類討論思想及間接法 解法一 第一類辦法 從OA邊上(不包括O)中任取一點與從OB邊上(不包括O)中任取兩點，可構(gòu)造一個三角形，有CC個；第二類辦法 從OA

4、邊上(不包括O)中任取兩點與OB邊上(不包括O)中任取一點，與O點可構(gòu)造一個三角形，有CC個；第三類辦法 從OA邊上(不包括O)任取一點與OB邊上(不包括O)中任取一點，與O點可構(gòu)造一個三角形，有CC個 由加法原理共有N=CC+CC+CC個三角形 解法二 從m+n+1中任取三點共有C個，其中三點均在射線OA(包括O點)，有C個，三點均在射線OB(包括O點)，有C個 所以，個數(shù)為N=C－C－C個 答案 C 例2四名優(yōu)等生保送到三所學(xué)校去，每所學(xué)校至少得一名，則不同的保送方案的總數(shù)是_________ 命題意圖 本題主要考查排列、組合、乘法原理概念，以及靈活應(yīng)用上述概念

5、處理數(shù)學(xué)問題的能力 知識依托 排列、組合、乘法原理的概念 錯解分析 根據(jù)題目要求每所學(xué)校至少接納一位優(yōu)等生，常采用先安排每學(xué)校一人，而后將剩的一人送到一所學(xué)校，故有3A種 忽略此種辦法是 將同在一所學(xué)校的兩名學(xué)生按進入學(xué)校的前后順序，分為兩種方案，而實際題目中對進入同一所學(xué)校的兩名學(xué)生是無順序要求的 技巧與方法 解法一，采用處理分堆問題的方法 解法二，分兩次安排優(yōu)等生，但是進入同一所學(xué)校的兩名優(yōu)等生是不考慮順序的 解法一 分兩步 先將四名優(yōu)等生分成2，1，1三組，共有C種；而后，對三組學(xué)生安排三所學(xué)校，即進行全排列，有A33種 依乘法原理，共有N=C

6、=36(種) 解法二 分兩步 從每個學(xué)校至少有一名學(xué)生，每人進一所學(xué)校，共有A種；而后，再將剩余的一名學(xué)生送到三所學(xué)校中的一所學(xué)校，有3種 值得注意的是 同在一所學(xué)校的兩名學(xué)生是不考慮進入的前后順序的 因此，共有N=A·3=36(種) 答案 36 例3有五張卡片，它們的正、反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？ 解法一(間接法) 任取三張卡片可以組成不同三位數(shù)C·23·A(個)，其中0在百位的有C·22·A (個)，這是不合題意的，故共有不同三位數(shù) C·23·A－C·22·A=432(個）

7、 解法二 (直接法) 第一類 0與1卡片放首位，可以組成不同三位數(shù)有 (個); 第二類 0與1卡片不放首位，可以組成不同三位數(shù)有 (個) 故共有不同三位數(shù) 48+384＝432(個） 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 從集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點的直線有_________條(用數(shù)值表示) 2 圓周上有2n個等分點(n＞1)，以其中三個點為頂點的直角三角形的個數(shù)為_________ 3 某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2，3張為不同花色的A，有5次出牌機會，每次

8、只能出一種點數(shù)的牌但張數(shù)不限，此人有多少種不同的出牌方法？ 4 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a、b、c，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中選取3個不同的值，則可確定坐標(biāo)原點在拋物線內(nèi)部的拋物線多少條？ 5有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù) (1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置 (2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊 (3)全體排成一行，其中男生必須排在一起 (4)全體排成一行，男、女各不相鄰 (5)全體排成一行，男生不能排在一起 (6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變

9、 (7)排成前后二排，前排3人，后排4人 (8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人 6 20個不加區(qū)別的小球放入編號為1、2、3的三個盒子中，要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號數(shù)，求不同的放法種數(shù) 7 用五種不同的顏色，給圖中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色，每部分涂一色，相鄰部分涂不同色，則涂色的方法共有幾種？ 參考答案 解析 因為直線過原點，所以C=0，從1，2，3，5，7，11這6個數(shù)中任取2個作為A、B兩數(shù)的順序不同，表示的直線不同，所以直線的條數(shù)為A=30 答案 30 2 解析 2n個等分點可作出n條直徑，從中任選一條直徑共有

10、C種方法；再從以下的(2n－2)個等分點中任選一個點，共有C種方法，根據(jù)乘法原理 直角三角形的個數(shù)為 C·C=2n(n－1)個 答案 2n(n－1) 3 解 出牌的方法可分為以下幾類 (1)5張牌全部分開出，有A種方法； (2)2張2一起出，3張A一起出，有A種方法； (3)2張2一起出，3張A一起出，有A種方法； (4)2張2一起出，3張A分兩次出，有CA種方法； (5)2張2分開出，3張A一起出，有A種方法； (6)2張2分開出，3張A分兩次出，有CA種方法 因此，共有不同的出牌方法A+A+A+AA+A+CA=860種 4 解 由圖形特征分析，a

11、＞0,開口向上，坐標(biāo)原點在內(nèi)部f(0)=c＜0;a＜0,開口向下，原點在內(nèi)部f(0)=c＞0,所以對于拋物線y=ax2+bx+c來講，原點在其內(nèi)部af(0)=ac＜0,則確定拋物線時，可先定一正一負(fù)的a和c，再確定b,故滿足題設(shè)的拋物線共有CCAA=144條 5 解 (1)利用元素分析法，甲為特殊元素，故先安排甲左、右、中共三個位置可供甲選擇 有A種，其余6人全排列，有A種 由乘法原理得AA=2160種 (2)位置分析法 先排最右邊，除去甲外，有A種，余下的6個位置全排有A種，但應(yīng)剔除乙在最右邊的排法數(shù)AA種 則符合條件的排法共有AA－AA=3720種 (3)捆綁

12、法 將男生看成一個整體，進行全排列 再與其他元素進行全排列 共有AA=720種 (4)插空法 先排好男生，然后將女生插入其中的四個空位，共有AA=144種 (5)插空法 先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA=1440種 (6)定序排列 第一步，設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為N，第二步，對甲、乙、丙進行全排列，則為七個人的全排列，因此A=N×A，∴N== 840種  (7)與無任何限制的排列相同，有A=5040種 (8)從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間的排法有A種，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相鄰的排法有AA 最后再把選出的

13、3人的排列插入到甲、乙之間即可 共有A×A×A=720種 6 解 首先按每個盒子的編號放入1個、2個、3個小球，然后將剩余的14個小球排成一排，如圖，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有15個空檔，其中“O”表示小球，“|”表示空檔 將求小球裝入盒中的方案數(shù)，可轉(zhuǎn)化為將三個小盒插入15個空檔的排列數(shù) 對應(yīng)關(guān)系是 以插入兩個空檔的小盒之間的“O”個數(shù)，表示右側(cè)空檔上的小盒所裝有小球數(shù) 最左側(cè)的空檔可以同時插入兩個小盒 而其余空檔只可插入一個小盒，最右側(cè)空檔必插入小盒，于是，若有兩個小盒插入最左側(cè)空檔，有C種；若恰有一個小盒插入最左側(cè)空檔，有種；若沒有小盒插入最左側(cè)空檔，有C種 由加法原理，有N==120種排列方案，即有120種放法 7 解 按排列中相鄰問題處理 (1)(4)或(2)(4) 可以涂相同的顏色 分類 若(1)(4)同色，有A種，若(2)(4)同色，有A種，若(1)(2)(3)(4)均不同色，有A種 由加法原理，共有N=2A+A=240種