湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習 導數(shù)的應用問題

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1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習：導數(shù)的應用問題 高考要求 利用導數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間［a,b］上的最大最小值，或利用求導法解決一些實際應用問題是函數(shù)內容的繼續(xù)與延伸，這種解決問題的方法使復雜問題變得簡單化，因而已逐漸成為新高考的又一熱點 本節(jié)內容主要是指導考生對這種方法的應用 重難點歸納 1 f(x)在某個區(qū)間內可導，若f′(x)＞0,則f(x)是增函數(shù)；若f′(x)＜0,則f(x)是減函數(shù) 2 求函數(shù)的極值點應先求導，然后令y′=0得出全部導數(shù)為0的點，(導數(shù)為0的點不一定都是極值點，例如 y=x3,當x=0時，導數(shù)是0，

2、但非極值點)，導數(shù)為0的點是否是極值點，取決于這個點左、右兩邊的增減性，即兩邊的y′的符號，若改變符號，則該點為極值點；若不改變符號，則非極值點，一個函數(shù)的極值點不一定在導數(shù)為0的點處取得，但可得函數(shù)的極值點一定導數(shù)為0 3 可導函數(shù)的最值可通過(a,b)內的極值和端點的函數(shù)值比較求得，但不可導函數(shù)的極值有時可能在函數(shù)不可導的點處取得，因此，一般的連續(xù)函數(shù)還必須和導數(shù)不存在的點的函數(shù)值進行比較，如y=|x|,在x=0處不可導，但它是最小值點 典型題例示范講解 例1已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1時取得極值，且f(1)=－1 (1)試求常數(shù)a、b、c

3、的值； (2)試判斷x=±1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由 命題意圖 利用一階導數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值的方法是導數(shù)在研究函數(shù)性質方面的繼續(xù)深入 是導數(shù)應用的關鍵知識點，通過對函數(shù)極值的判定，可使學生加深對函數(shù)單調性與其導數(shù)關系的理解 知識依托 解題的成功要靠正確思路的選擇 本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設結構進行逆向聯(lián)想，合理地實現(xiàn)了問題的轉化，使抽象的問題具體化 這是解答本題的閃光點 錯解分析 本題難點是在求導之后，不會應用f′(±1)=0的隱含條件，因而造成了解決問題的最大思維障礙 技巧與方法 考查函數(shù)f(x)是實數(shù)域上的可導函數(shù)，可先求導

4、確定可能的極值，再通過極值點與導數(shù)的關系，建立由極值點x=±1所確定的相等關系式，運用待定系數(shù)法求值 解 (1)f′(x)=3ax2+2bx+c ∵x=±1是函數(shù)f(x)的極值點， ∴x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的兩根 由根與系數(shù)的關系，得 又f(1)=－1,∴a+b+c=－1, ③ 由①②③解得a=, (2)f(x)=x3－x, ∴f′(x)=x2－=(x－1)(x+1) 當x＜－1或x＞1時，f′(x)＞0 當－1＜x＜1時，f′(x)＜0 ∴函數(shù)f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函數(shù)

5、，在(－1，1)上是減函數(shù) ∴當x=－1時，函數(shù)取得極大值f(－1)=1, 當x=1時，函數(shù)取得極小值f(1)=－1 例2在甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最省？ 命題意圖 學習的目的，就是要會實際應用，本題主要是考查學生運用導數(shù)知識解決實際問題的意識，思想方法以及能力 知識依托 解決實際應用問題關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù) 把“問題情

6、景”譯為數(shù)學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系近似化，形式化，抽象成數(shù)學問題，再劃歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學方法求解 錯解分析 本題難點是如何把實際問題中所涉及的幾個變量轉化成函數(shù)關系式 技巧與方法 根據(jù)題設條件作出圖形，分析各已知條件之間的關系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當選定變化，構造相應的函數(shù)關系 解法一 根據(jù)題意知，只有點C在線段AD上某一適當位置，才能使總運費最省，設C點距D點x km,則∵BD=40,AC=50－x, ∴BC= 又設總的水管費用為y元，依題意有 y=30(5a－x)+5a (0＜x＜50) y′=－3a+

7、,令y′=0,解得x=30 在(0,50)上，y只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義， 函數(shù)在x=30(km)處取得最小值，此時AC=50－x=20(km) ∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省 解法二 設∠BCD=Q,則BC=,CD=40cotθ,(0＜θ＜),∴AC=50－40cotθ 設總的水管費用為f(θ),依題意， 有f(θ)=3a(50－40·cotθ)+5a·=150a+40a· ∴f′(θ)=40a· 令f′(θ)=0,得cosθ=根據(jù)問題的實際意義，當cosθ=時，函數(shù)取得最小值， 此時sinθ=,∴cotθ=,∴AC=50－40c

8、otθ=20(km),即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省 例3已知f(x)=x2+c,且f［f(x)］=f(x2+1) (1)設g(x)=f［f(x)］,求g(x)的解析式； (2)設φ(x)=g(x)－λf(x),試問 是否存在實數(shù)λ,使φ(x)在(－∞,－1)內為減函數(shù)，且在(－1，0)內是增函數(shù) 解 (1)由題意得f［f(x)］=f(x2+c)=(x2+c)2+c f(x2+1)=(x2+1)2+c,∵f［f(x)］=f(x2+1)∴(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,∴x2+c=x2+1,∴c=1 ∴f(x)=x2+1,g(x)=f［

9、f(x)］=f(x2+1)=(x2+1)2+1 (2)φ(x)=g(x)－λf(x)=x4+(2－λ)x2+(2－λ) 若滿足條件的λ存在，則φ′(x)=4x3+2(2－λ)x ∵函數(shù)φ(x)在(－∞,－1)上是減函數(shù)， ∴當x＜－1時，φ′(x)＜0 即4x3+2(2－λ)x＜0對于x∈(－∞,－1)恒成立 ∴2(2－λ)＞－4x2, ∵x＜－1,∴－4x2＜－4 ∴2(2－λ)≥－4,解得λ≤4 又函數(shù)φ(x)在(－1,0)上是增函數(shù) ∴當－1＜x＜0時，φ′(x)＞0 即4x2+2(2－λ)x＞0對于x∈(－1,0)恒成立 ∴2(2－λ)＜－4x2, ∵－1＜x

10、＜0,∴－4＜4x2＜0 ∴2(2－λ)≤－4,解得λ≥4 故當λ=4時φ(x)在(－∞,－1)上是減函數(shù)，在(－1,0)上是增函數(shù)，即滿足條件的λ存在 學生鞏固練習 1 設f(x)可導，且f′(0)=0,又=－1,則f(0)( ) A 可能不是f(x)的極值 B 一定是f(x)的極值 C 一定是f(x)的極小值 D 等于0 2 設函數(shù)fn(x)=n2x2(1－x)n(n為正整數(shù))，則fn(x)在［0,1］上的最大值為( ) A 0 B 1 C D 3 函數(shù)f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)的

11、單調區(qū)間_______ 4 在半徑為R的圓內，作內接等腰三角形，當?shù)走吷细邽開______時它的面積最大 5 設f(x)=ax3+x恰有三個單調區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調區(qū)間 參考答案 1 解析 由=－1,故存在含有0的區(qū)間(a,b)使當x∈(a,b),x≠0時＜0,于是當x∈(a,0)時f′(0)＞0,當x∈(0,b)時，f′(0)＜0,這樣f(x)在(a,0)上單增，在(0,b)上單減 答案 B 2 解析 ∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1 =n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］, 令f′n(

12、x)=0,得x1=0,x2=1,x3=, 易知fn(x)在x=時取得最大值， 最大值fn()=n2()2(1－)n=4·()n+1答案 D 3 解析 函數(shù)的定義域是x＞或x＜－2, f′(x)= (3x2+5x－2)′=, ①若a＞1,則當x＞時，logae＞0,6x+5＞0,(3x－1)(x+2)＞0, ∴f′(x)＞0,∴函數(shù)f(x)在(,+∞)上是增函數(shù)，x＜－2時，f′(x)＜0 ∴函數(shù)f(x)在(－∞,－2)上是減函數(shù) ②若0＜a＜1,則當x＞時，f′(x)＜0,∴f(x)在(,+∞)上是減函數(shù)， 當x＜－2時，f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,

13、－2)上是增函數(shù) 答案 (－∞,－2) 4 解析 設圓內接等腰三角形的底邊長為2x,高為h， 那么h=AO+BO=R+,解得 x2=h(2R－h(huán)),于是內接三角形的面積為 S=x·h= 從而 令S′=0,解得h=R,由于不考慮不存在的情況，所在區(qū)間(0,2R)上列表如下  h (0,R) R (,2R) S′ + 0 － S 增函數(shù) 最大值 減函數(shù) 由此表可知，當x=R時，等腰三角形面積最大 答案 R 5 解 f′(x)=3ax2+1 若a＞0,f′(x)＞0對x∈(－∞,+∞)恒成立， 此時f(x)只有一個單調區(qū)間，矛盾 若a=0,f′(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一個單調區(qū)間，矛盾 若a＜0,∵f′(x)=3a(x+)·(x－), 此時f(x)恰有三個單調區(qū)間 ∴a＜0且單調減區(qū)間為(－∞,－)和(,+∞)， 單調增區(qū)間為(－, )