湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題

《湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題 高考要求 縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長(zhǎng)率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險(xiǎn)，圓鋼堆壘等問題 這就要求同學(xué)們除熟練運(yùn)用有關(guān)概念式外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度 重難點(diǎn)歸納 1 解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題既要有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí),又要有良好的思維能力和分析、解決問題的

2、能力；解答應(yīng)用性問題，應(yīng)充分運(yùn)用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再綜合其他相關(guān)知識(shí)來(lái)解決問題 2 縱觀近幾年高考應(yīng)用題看，解決一個(gè)應(yīng)用題，重點(diǎn)過三關(guān) (1)事理關(guān) 需要讀懂題意，明確問題的實(shí)際背景，即需要一定的閱讀能力 (2)文理關(guān) 需將實(shí)際問題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系 (3)事理關(guān) 在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中；要求考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的檢索能力，認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成用實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化 構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型后，要正確得到問題的解，還需要比較扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)理能力 典型題例示范講解

3、例1從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加 (1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元，寫出an,bn的表達(dá)式； (2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？ 命題意圖 本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，本題有很強(qiáng)的區(qū)分度，屬于應(yīng)用題型，正是近幾年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型 知識(shí)依托

4、本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識(shí)為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識(shí)點(diǎn) 錯(cuò)解分析 (1)問an、bn實(shí)際上是兩個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，易與“通項(xiàng)”混淆；(2)問是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式，易出現(xiàn)偏差 技巧與方法 正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，(2)問中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧 解 (1)第1年投入為800萬(wàn)元，第2年投入為800×(1－)萬(wàn)元，… 第n年投入為800×(1－)n－1萬(wàn)元，所以，n年內(nèi)的總投入為 an=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1 =800×(1－)k－1=400

5、0×［1－()n］ 第1年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)，…， 第n年旅游業(yè)收入400×(1+)n－1萬(wàn)元 所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為 bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1 =400×()k－1=1600×［()n－1］ (2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bn－an＞0，即1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得 5x2－7x+2＞0 解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去) 即()n＜，由此得n≥5 ∴至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入 例2已

6、知Sn=1++…+,(n∈N*)，設(shè)f(n)=S2n+1－Sn+1,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立 命題意圖 本題主要考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問題，需較強(qiáng)的綜合分析問題、解決問題的能力 知識(shí)依托 本題把函數(shù)、不等式恒成立等問題組合在一起，構(gòu)思巧妙 錯(cuò)解分析 本題學(xué)生很容易求f(n)的和，但由于無(wú)法求和，故對(duì)不等式難以處理 技巧與方法 解決本題的關(guān)鍵是把f(n)(n∈N*)看作是n的函數(shù)，此時(shí)不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為 函數(shù)f(n)的最小值大于［logm(m

7、－1)］2－［log(m－1)m］2 解 ∵Sn=1++…+ (n∈N*) ∴f(n+1)＞f(n)∴f(n)是關(guān)于n的增函數(shù)∴f(n) min=f(2)= ∴要使一切大于1的自然數(shù)n， f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立 只要＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立即可 由得m＞1且m≠2 此時(shí)設(shè)［logm(m－1)］2=t 則t＞0于是　解得0＜t＜1 由此得0＜［logm(m－1)］2＜1 解得m＞且m≠2 例3　已知二次函數(shù)y=f(x)在x=處取得最小值－ (t＞0),f(1)=0 (1)求y=f

8、(x)的表達(dá)式； (2)若任意實(shí)數(shù)x都滿足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］為多項(xiàng)式，n∈N*),試用t表示an和bn； (3)設(shè)圓Cn的方程為(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，記Sn為前n個(gè)圓的面積之和，求rn、Sn 解 (1)設(shè)f(x)=a(x－)2－，由f(1)=0得a=1 ∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1 (2)將f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得 (x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1， 上式對(duì)任意的x∈R都成立

9、，取x=1和x=t+1分別代入上式得 且t≠0， 解得an=［(t+1)n+1－1］，bn=［1－(t+1n) (3)由于圓的方程為(x－an)2+(y－bn)2=rn2， 又由(2)知an+bn=1，故圓Cn的圓心On在直線x+y=1上， 又圓Cn與圓Cn+1相切，故有rn+rn+1=｜an+1－an｜=(t+1)n+1 設(shè){rn}的公比為q，則 ②÷①得q==t+1， 代入①得rn= ∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=［(t+1)2n－1］ 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 已知二次函數(shù)y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，當(dāng)a=

10、1，2，…，n，…時(shí)，其拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)依次為d1,d2，…,dn,…,則 (d1+d2+…+dn)的值是( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2 在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的兩個(gè)點(diǎn)，若1，x1，x2，4依次成等差數(shù)列，而1，y1，y2，8依次成等比數(shù)列，則△OP1P2的面積是_________ 3 從盛滿a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加滿，再倒出b升，再用水加滿；這樣倒了n次，則容器中有純酒精_________升 4 據(jù)2000年3月5日九屆人大五次會(huì)議《政府工作報(bào)告

11、》 “2001年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95933億元，比上年增長(zhǎng)7 3%，”如果“十·五”期間(2001年~2020年)每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么到“十·五”末我國(guó)國(guó)內(nèi)年生產(chǎn)總值約為_________億元 參考答案: 1 解析 當(dāng)a=n時(shí)y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1由｜x1－x2｜=，得dn=， ∴d1+d2+…+dn 答案 A 2 解析 由1,x1,x2,4依次成等差數(shù)列得 2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3 又由1，y1,y2,8依次成等比數(shù)列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4, ∴P1(2,2),P2(3,4) ∴=(3,4)∴ 答案 1 3 解析 第一次容器中有純酒精a－b即a(1－)升，第二次有純酒精a(1－)－，即a(1－)2升，故第n次有純酒精a(1－)n升 答案 a(1－)n 4 解析 從2001年到2020年每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成以95933為首項(xiàng)，以7 3%為公比的等比數(shù)列，∴a5=95933(1+7 3%)4≈120000(億元) 答案 120000