湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習 數(shù)學歸納法的解題應用

《湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習 數(shù)學歸納法的解題應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習 數(shù)學歸納法的解題應用（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習：數(shù)學歸納法的解題應用 高考要求 數(shù)學歸納法是高考考查的重點內(nèi)容之一 類比與猜想是應用數(shù)學歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的一種主要思想方法 重難點歸納 (1)數(shù)學歸納法的基本形式 設P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若 1°P(n0)成立(奠基) 2°假設P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立 (2)數(shù)學歸納法的應用 具體常用數(shù)學歸納法證明 恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計算問題，數(shù)列的通項與和等 典型題例示

2、范講解 例1試證明 不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有 an+cn＞2bn 命題意圖 本題主要考查數(shù)學歸納法證明不等式 知識依托 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學歸納法證明不等式的一般步驟 錯解分析 應分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應只證明一種情況 技巧與方法 本題中使用到結(jié)論 (ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a 證明 (1)設a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q＞0且q≠1) ∴an+cn=+bnqn=bn(

3、+qn)＞2bn (2)設a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N*) 下面用數(shù)學歸納法證明 ①當n=2時，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴ ②設n=k時成立，即 則當n=k+1時， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) ＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1 也就是說，等式對n=k+1也成立 由①②知，an+cn＞2bn對一切自然數(shù)n均成立 例2在數(shù)列{an}中，a1=1，當n≥2時，an,Sn,Sn－成等比數(shù)列 (1)求a2,a3,a4，并推出an的表達式

4、； (2)用數(shù)學歸納法證明所得的結(jié)論； (3)求數(shù)列{an}所有項的和 錯解分析 (2)中，Sk=－應舍去，這一點往往容易被忽視 技巧與方法 求通項可證明{}是以{}為首項，為公差的等差數(shù)列，進而求得通項公式 解 ∵an,Sn,Sn－成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2) (*) (1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－由a1=1，a2=－,S3=+a3 代入(*)式得 a3=－ 同理可得 a4=－,由此可推出 an= (2)①當n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立

5、 ②假設n=k(k≥2)時，ak=－成立故Sk2=－·(Sk－) ∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0∴Sk= (舍) 由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－) 由①②知，an=對一切n∈N成立 (3)由(2)得數(shù)列前n項和Sn=,∴S=Sn=0 例3是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c) 解 假設存在a、b、c使題設的等式成立， 這時令n=1,2,3,有 于是，對n=1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n(n+1)2= 記Sn

6、=1·22+2·32+…+n(n+1)2 設n=k時上式成立，即Sk= (3k2+11k+10) 那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 = (3k2+5k+12k+24) =［3(k+1)2+11(k+1)+10］ 也就是說，等式對n=k+1也成立 綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數(shù)n均成立 學生鞏固練習 1 已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為( ) A 30 B 26 C 36 D 6

7、 2 用數(shù)學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證( ) A n=1 B n=2 C n=3 D n=4 3 觀察下列式子 …則可歸納出________ 4 已知a1=,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為________，由此猜想an=________ 5 用數(shù)學歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中n∈N* 6 若n為大于1的自然數(shù)，求證 參考答案 1 解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n

8、)能被36整除 證明 n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時， f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時， f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3 =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2) f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36 答案 C 2 解析 由題意知n≥3，∴應驗證n=3 答案 C 3 解析 (n∈N*) (n∈N*) 、、、 5 證明 (1)當n=1時，42×1+1+31+2=91能被13整除 (2)假設當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時， 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2) ∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴當n=k+1時也成立 由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除 6 證明 (1)當n=2時， (2)假設當n=k時成立，即