湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習 化歸思想

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1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習：化歸思想 高考要求 化歸與轉換的思想，就是在研究和解決數(shù)學問題時采用某種方式，借助某種函數(shù)性質、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉化，進而達到解決問題的思想 等價轉化總是將抽象轉化為具體，復雜轉化為簡單、未知轉化為已知，通過變換迅速而合理的尋找和選擇問題解決的途徑和方法 重難點歸納 轉化有等價轉化與不等價轉化 等價轉化后的新問題與原問題實質是一樣的 不等價轉化則部分地改變了原對象的實質，需對所得結論進行必要的修正 應用轉化化歸思想解題的原則應是化難為易、化生為熟、化繁為簡，盡量是等價轉化 常見的轉化有

2、正與反的轉化、數(shù)與形的轉化、相等與不等的轉化、整體與局部的轉化、空間與平面相互轉化、復數(shù)與實數(shù)相互轉化、常量與變量的轉化、數(shù)學語言的轉化 典型題例示范講解 例1對任意函數(shù)f(x), x∈D，可按圖示構造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下 ①輸入數(shù)據x0∈D，經數(shù)列發(fā)生器輸出x1=f(x0)； ②若x1D，則數(shù)列發(fā)生器結束工作；若x1∈D，則將x1反饋回輸入端，再輸出x2=f(x1)，并依此規(guī)律繼續(xù)下去 現(xiàn)定義 （1）若輸入x0=，則由數(shù)列發(fā)生器產生數(shù)列{xn}，請寫出{xn}的所有項； （2）若要數(shù)列發(fā)生器產生一個無窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據x0的值； （3）若輸

3、入x0時，產生的無窮數(shù)列{xn}，滿足對任意正整數(shù)n均有xn＜xn+1；求x0的取值范圍 命題意圖 本題主要考查學生的閱讀審題，綜合理解及邏輯推理的能力 知識依托 函數(shù)求值的簡單運算、方程思想的應用 解不等式及化歸轉化思想的應用 解題的關鍵就是應用轉化思想將題意條件轉化為數(shù)學語言 錯解分析 考生易出現(xiàn)以下幾種錯因（1）審題后不能理解題意（2）題意轉化不出數(shù)學關系式，如第2問（3）第3問不能進行從一般到特殊的轉化 技巧與方法 此題屬于富有新意，綜合性、抽象性較強的題目 由于陌生不易理解并將文意轉化為數(shù)學語言 這就要求我們慎讀題意，把握主脈，體會數(shù)學轉換 解

4、 （1）∵f(x)的定義域D=（–∞,–1)∪(–1,+∞) ∴數(shù)列{xn}只有三項， （2）∵,即x2–3x+2=0 ∴x=1或x=2，即x0=1或2時 故當x0=1時，xn=1，當x0=2時，xn=2（n∈N*） （3）解不等式，得x＜–1或1＜x＜2 要使x1＜x2，則x2＜–1或1＜x1＜2對于函數(shù) 若x1＜–1，則x2=f(x1)＞4，x3=f(x2)＜x2 若1＜x1＜2時，x2=f(x1)＞x1且1＜x2＜2 依次類推可得數(shù)列{xn}的所有項均滿足xn+1＞xn（n∈N*) 綜上所述，x1∈(1,2) 由x1=f(x0),得x0∈(1,2) 例2設

5、橢圓C1的方程為(a＞b＞0)，曲線C2的方程為y=，且曲線C1與C2在第一象限內只有一個公共點P （1）試用a表示點P的坐標； （2）設A、B是橢圓C1的兩個焦點，當a變化時，求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域； （3）記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個 設g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積，試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式 命題意圖 本題考查曲線的位置關系，函數(shù)的最值等基礎知識，考查推理運算能力及綜合運用知識解題的能力 知識依托兩曲線交點個數(shù)的轉化及充要條件，求函數(shù)值域、解不等式 錯解分析

6、 第（1）問中將交點個數(shù)轉化為方程組解的個數(shù)，考查易出現(xiàn)計算錯誤，不能借助Δ找到a、b的關系 第（2）問中考生易忽略a＞b＞0這一隱性條件 第（3）問中考生往往想不起將min{g(a),S(a)}轉化為解不等式g(a)≥S(a) 技巧與方法 將難以下手的題目轉化為自己熟練掌握的基本問題，是應用化歸思想的靈魂 要求必須將各知識的內涵及關聯(lián)做到轉化有目標、轉化有橋梁、轉化有效果 解 （1）將y=代入橢圓方程，得化簡，得b2x4–a2b2x2+a2=0 由條件，有Δ=a4b4–4a2b2=0，得ab=2解得x=或x=–（舍去） 故P的坐標為() (2)∵在△ABP中

7、，｜AB｜=2，高為, ∴∵a＞b＞0,b= ∴a＞,即a＞,得0＜＜1 于是0＜S（a）＜，故△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域為(0,) (3)g(a)=c2=a2–b2=a2– 解不等式g(a)≥S(a)，即a2–≥ 整理，得a8–10a4+24≥0，即(a4–4)(a4–6)≥0解得a≤（舍去）或a≥ 故f(a)=min{g(a), S(a)} 例3一條路上共有9個路燈，為了節(jié)約用電，擬關閉其中3個，要求兩端的路燈不能關閉，任意兩個相鄰的路燈不能同時關閉，那么關閉路燈的方法總數(shù)為 解析 9個燈中關閉3個等價于在6個開啟的路燈中，選3個間隔（不包括兩

8、端外邊的裝置）插入關閉的過程故有C=10種答案 10 例4 已知平面向量=(–1), =() （1）證明⊥; （2）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使=+(t2–3) ，=–k+t，且⊥，試求函數(shù)關系式k=f(t); （3）據（2）的結論，討論關于t的方程f(t)–k=0的解的情況 (1)證明 ∵·==0，∴⊥ (2)解 ∵⊥,∴·=即［+（t2–3) ］·(–k+t)=0，整理后得 –k2+［t–k(t2–3)］·+t(t2–3)·2=0 ∵·=0, 2=4, 2=1 ∴上式化為–4k+t(t2–3)=0，∴k=t(t2–3) (3)解 討論方程t(

9、t2–3)–k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=t(t2–3)與直線y=k的交點個數(shù)，于是f′(t)=(t2–1)=(t+1)(t–1) 令f′(t)=0,解得t1=–1,t2=1 當t變化時，f′(t),f(t)的變化情況如下表 t (–∞,–1) –1 (–1,1) 1 (1,+∞) f′(t) + 0 – 0 + f(t) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 當t=–1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=； 當t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=– 而f(t)=(t2–3)t=0時，得t=–,0, 所以f(t)的圖象大

10、致如右 于是當k>或k<–時，直線y=k與曲線y=f(t)僅有一個交點，則方程有一解； 當k=或k=–時，直線與曲線有兩個交點，則方程有兩解；當k=0，直線與曲線有三個交點，但k、t不同時為零，故此時也有兩解；當–