湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 化歸思想

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1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：化歸思想 高考要求 化歸與轉(zhuǎn)換的思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問題的思想 等價(jià)轉(zhuǎn)化總是將抽象轉(zhuǎn)化為具體，復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單、未知轉(zhuǎn)化為已知，通過變換迅速而合理的尋找和選擇問題解決的途徑和方法 重難點(diǎn)歸納 轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與不等價(jià)轉(zhuǎn)化 等價(jià)轉(zhuǎn)化后的新問題與原問題實(shí)質(zhì)是一樣的 不等價(jià)轉(zhuǎn)化則部分地改變了原對象的實(shí)質(zhì)，需對所得結(jié)論進(jìn)行必要的修正 應(yīng)用轉(zhuǎn)化化歸思想解題的原則應(yīng)是化難為易、化生為熟、化繁為簡，盡量是等價(jià)轉(zhuǎn)化 常見的轉(zhuǎn)化有

2、正與反的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、相等與不等的轉(zhuǎn)化、整體與局部的轉(zhuǎn)化、空間與平面相互轉(zhuǎn)化、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)相互轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化 典型題例示范講解 例1對任意函數(shù)f(x), x∈D，可按圖示構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下 ①輸入數(shù)據(jù)x0∈D，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x1=f(x0)； ②若x1D，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x1∈D，則將x1反饋回輸入端，再輸出x2=f(x1)，并依此規(guī)律繼續(xù)下去 現(xiàn)定義 （1）若輸入x0=，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{xn}，請寫出{xn}的所有項(xiàng)； （2）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x0的值； （3）若輸

3、入x0時(shí)，產(chǎn)生的無窮數(shù)列{xn}，滿足對任意正整數(shù)n均有xn＜xn+1；求x0的取值范圍 命題意圖 本題主要考查學(xué)生的閱讀審題，綜合理解及邏輯推理的能力 知識依托 函數(shù)求值的簡單運(yùn)算、方程思想的應(yīng)用 解不等式及化歸轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 解題的關(guān)鍵就是應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想將題意條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言 錯解分析 考生易出現(xiàn)以下幾種錯因（1）審題后不能理解題意（2）題意轉(zhuǎn)化不出數(shù)學(xué)關(guān)系式，如第2問（3）第3問不能進(jìn)行從一般到特殊的轉(zhuǎn)化 技巧與方法 此題屬于富有新意，綜合性、抽象性較強(qiáng)的題目 由于陌生不易理解并將文意轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言 這就要求我們慎讀題意，把握主脈，體會數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換 解

4、 （1）∵f(x)的定義域D=（–∞,–1)∪(–1,+∞) ∴數(shù)列{xn}只有三項(xiàng)， （2）∵,即x2–3x+2=0 ∴x=1或x=2，即x0=1或2時(shí) 故當(dāng)x0=1時(shí)，xn=1，當(dāng)x0=2時(shí)，xn=2（n∈N*） （3）解不等式，得x＜–1或1＜x＜2 要使x1＜x2，則x2＜–1或1＜x1＜2對于函數(shù) 若x1＜–1，則x2=f(x1)＞4，x3=f(x2)＜x2 若1＜x1＜2時(shí)，x2=f(x1)＞x1且1＜x2＜2 依次類推可得數(shù)列{xn}的所有項(xiàng)均滿足xn+1＞xn（n∈N*) 綜上所述，x1∈(1,2) 由x1=f(x0),得x0∈(1,2) 例2設(shè)

5、橢圓C1的方程為(a＞b＞0)，曲線C2的方程為y=，且曲線C1與C2在第一象限內(nèi)只有一個公共點(diǎn)P （1）試用a表示點(diǎn)P的坐標(biāo)； （2）設(shè)A、B是橢圓C1的兩個焦點(diǎn)，當(dāng)a變化時(shí)，求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域； （3）記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個 設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積，試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達(dá)式 命題意圖 本題考查曲線的位置關(guān)系，函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查推理運(yùn)算能力及綜合運(yùn)用知識解題的能力 知識依托兩曲線交點(diǎn)個數(shù)的轉(zhuǎn)化及充要條件，求函數(shù)值域、解不等式 錯解分析

6、 第（1）問中將交點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程組解的個數(shù)，考查易出現(xiàn)計(jì)算錯誤，不能借助Δ找到a、b的關(guān)系 第（2）問中考生易忽略a＞b＞0這一隱性條件 第（3）問中考生往往想不起將min{g(a),S(a)}轉(zhuǎn)化為解不等式g(a)≥S(a) 技巧與方法 將難以下手的題目轉(zhuǎn)化為自己熟練掌握的基本問題，是應(yīng)用化歸思想的靈魂 要求必須將各知識的內(nèi)涵及關(guān)聯(lián)做到轉(zhuǎn)化有目標(biāo)、轉(zhuǎn)化有橋梁、轉(zhuǎn)化有效果 解 （1）將y=代入橢圓方程，得化簡，得b2x4–a2b2x2+a2=0 由條件，有Δ=a4b4–4a2b2=0，得ab=2解得x=或x=–（舍去） 故P的坐標(biāo)為() (2)∵在△ABP中

7、，｜AB｜=2，高為, ∴∵a＞b＞0,b= ∴a＞,即a＞,得0＜＜1 于是0＜S（a）＜，故△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域?yàn)?0,) (3)g(a)=c2=a2–b2=a2– 解不等式g(a)≥S(a)，即a2–≥ 整理，得a8–10a4+24≥0，即(a4–4)(a4–6)≥0解得a≤（舍去）或a≥ 故f(a)=min{g(a), S(a)} 例3一條路上共有9個路燈，為了節(jié)約用電，擬關(guān)閉其中3個，要求兩端的路燈不能關(guān)閉，任意兩個相鄰的路燈不能同時(shí)關(guān)閉，那么關(guān)閉路燈的方法總數(shù)為 解析 9個燈中關(guān)閉3個等價(jià)于在6個開啟的路燈中，選3個間隔（不包括兩

8、端外邊的裝置）插入關(guān)閉的過程故有C=10種答案 10 例4 已知平面向量=(–1), =() （1）證明⊥; （2）若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使=+(t2–3) ，=–k+t，且⊥，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t); （3）據(jù)（2）的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)–k=0的解的情況 (1)證明 ∵·==0，∴⊥ (2)解 ∵⊥,∴·=即［+（t2–3) ］·(–k+t)=0，整理后得 –k2+［t–k(t2–3)］·+t(t2–3)·2=0 ∵·=0, 2=4, 2=1 ∴上式化為–4k+t(t2–3)=0，∴k=t(t2–3) (3)解 討論方程t(

9、t2–3)–k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=t(t2–3)與直線y=k的交點(diǎn)個數(shù)，于是f′(t)=(t2–1)=(t+1)(t–1) 令f′(t)=0,解得t1=–1,t2=1 當(dāng)t變化時(shí)，f′(t),f(t)的變化情況如下表 t (–∞,–1) –1 (–1,1) 1 (1,+∞) f′(t) + 0 – 0 + f(t) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 當(dāng)t=–1時(shí)，f(t)有極大值，f(t)極大值=； 當(dāng)t=1時(shí)，f(t)有極小值，f(t)極小值=– 而f(t)=(t2–3)t=0時(shí)，得t=–,0, 所以f(t)的圖象大

10、致如右 于是當(dāng)k>或k<–時(shí)，直線y=k與曲線y=f(t)僅有一個交點(diǎn)，則方程有一解； 當(dāng)k=或k=–時(shí)，直線與曲線有兩個交點(diǎn)，則方程有兩解；當(dāng)k=0，直線與曲線有三個交點(diǎn)，但k、t不同時(shí)為零，故此時(shí)也有兩解；當(dāng)–