湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習 導數(shù)的運算法則及基本公式應用

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1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習：導數(shù)的運算法則及基本公式 應用高考要求 導數(shù)是中學限選內容中較為重要的知識，本節(jié)內容主要是在導數(shù)的定義，常用求等公式 四則運算求導法則和復合函數(shù)求導法則等問題上對考生進行訓練與指導 重難點歸納 1 深刻理解導數(shù)的概念，了解用定義求簡單的導數(shù) 表示函數(shù)的平均改變量，它是Δx的函數(shù)，而f′(x0)表示一個數(shù)值，即f′(x)=，知道導數(shù)的等價形式  2 求導其本質是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的結構形式轉化為已知極限的形式，即導數(shù)的定義，這是順利求導的關鍵 3 對于函數(shù)求導，一般要遵循先

2、化簡，再求導的基本原則，求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤 4 復合函數(shù)求導法則，像鏈條一樣，必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中的一環(huán) 必須正確分析復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經過怎樣的順序復合而成的，分清其間的復合關系 典型題例示范講解 例1求函數(shù)的導數(shù) 命題意圖 本題3個小題分別考查了導數(shù)的四則運算法則，復合函數(shù)求導的方法，以及抽象函數(shù)求導的思想方法 這是導數(shù)中比較典型的求導類型 知識依托 解答本題的閃光點是要分析函數(shù)的結構和特征，挖掘量的隱含條件，將問

3、題轉化為基本函數(shù)的導數(shù) 錯解分析 本題難點在求導過程中符號判斷不清，復合函數(shù)的結構分解為基本函數(shù)出差錯 技巧與方法 先分析函數(shù)式結構，找準復合函數(shù)的式子特征，按照求導法則進行求導 (2)解 y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－by v=x,y=sinγ γ=ωx y′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′=3μ2(av′－by′)=3μ2(av′－by′γ′) =3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx) (3)解法一 設y=f(μ),μ=,v=x2+1,則y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·v－·2x =

4、f′()··2x = 解法二 y′=［f()］′=f′()·()′ =f′()·(x2+1)·(x2+1)′=f′()·(x2+1) ·2x =f′() 例2利用導數(shù)求和 (1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1(x≠0,n∈N*) (2)Sn=C+2C+3C+…+nC,(n∈N*) 命題意圖 培養(yǎng)考生的思維的靈活性以及在建立知識體系中知識點靈活融合的能力 知識依托 通過對數(shù)列的通項進行聯(lián)想，合理運用逆向思維 由求導公式(xn)′=nxn－1,可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導數(shù) 關鍵要抓住數(shù)列通項的形式結構 錯解分析 本題難點是考生易犯思維定勢的錯誤，受

5、此影響而不善于聯(lián)想 技巧與方法 第(1)題要分x=1和x≠1討論，等式兩邊都求導 解 (1)當x=1時Sn=1+2+3+…+n=n(n+1); 當x≠1時，∵x+x2+x3+…+xn=,兩邊都是關于x的函數(shù)，求導得 (x+x2+x3+…+xn)′=()′即Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1= (2)∵(1+x)n=1+Cx+Cx2+…+Cxn, 兩邊都是關于x的可導函數(shù)，求導得n(1+x)n－1=C+2Cx+3Cx2+…+nCxn－1, 令x=1得，n·2n－1=C+2C+3C+…+nC,即Sn=C+2C+…+nC=n·2n－1 例3 已知曲線C y=x

6、3－3x2+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(x0,y0)(x0≠0)，求直線l的方程及切點坐標 解 由l過原點，知k=(x0≠0),點(x0,y0)在曲線C上，y0=x03－3x02+2x0, ∴=x02－3x0+2 y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2 2x02－3x0=0,∴x0=0或x0= 由x≠0,知x0= ∴y0=()3－3()2+2·=－ ∴k==－ ∴l(xiāng)方程y=－x 切點(，－) 學生鞏固練習 1 y=esinxcos(sinx)，則y′(0)等于( ) A 0

7、B 1 C －1 D 2 2 經過原點且與曲線y=相切的方程是( ) A x+y=0或+y=0 B x－y=0或+y=0 C x+y=0或－y=0 D x－y=0或－y=0 3 若f′(x0)=2, =_________ 4 設f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),則f′(0)=_________ 5 已知曲線C1:y=x2與C2:y=－(x－2)2,直線l與C1、C2都相切，求直線l的方程 6 求函數(shù)的導數(shù) (1)y=(x2－2x+3)e2x; (2)y= 7 有一個長度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻

8、上，假設其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動，求當其下端離開墻腳1 4 m時，梯子上端下滑的速度 參考答案 1 解析 y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1答案 B 2 解析 設切點為(x0,y0),則切線的斜率為k=,另一方面，y′=()′=, 故y′(x0)=k,即或x02+18x0+45=0 得x0(1)=－3, x0 (2)=－15,對應有y0(1)=3,y0(2)=, 因此得兩個切點A(－3，3)或B(－15,), 從而得y′(A)= =－1及y′(B)= , 由于切線過

9、原點，故得切線 lA:y=－x或lB:y=－ 答案 A 3 解析 根據(jù)導數(shù)的定義 f′(x0)=(這時) 答案 －1 4 解析 設g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),則f(x)=xg(x), 于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！答案 n! 5 解 設l與C1相切于點P(x1,x12),與C2相切于Q(x2,－(x2－2)2) 對于C1 y′=2x,則與C1相切于點P的切線方程為 y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12 ① 對于C2 y′=－2(x

10、－2),與C2相切于點Q的切線方程為 y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4 ② ∵兩切線重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0 ∴直線l方程為y=0或y=4x－4 6 解 (1)注意到y(tǒng)＞0,兩端取對數(shù)，得lny=ln(x2－2x+3)+lne2x=ln(x2－2x+3)+2x (2)兩端取對數(shù)，得ln|y|=(ln|x|－ln|1－x|),兩邊解x求導，得 7 解 設經時間t秒梯子上端下滑s米,則s=5－, 當下端移開1 4 m時，t0=, 又s′=－ (25－9t2)·(－9·2t)=9t, 所以s′(t0)=9×=0 875(m/s)