湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 函數(shù)的連續(xù)及其應(yīng)用

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1、湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：函數(shù)的連續(xù)及其應(yīng)用 高考要求 函數(shù)的連續(xù)性是新增加的內(nèi)容之一 它把高中的極限知識(shí)與大學(xué)知識(shí)緊密聯(lián)在一起 在高考中，必將這一塊內(nèi)容溶入到函數(shù)內(nèi)容中去，因而一定成為高考的又一個(gè)熱點(diǎn) 本節(jié)內(nèi)容重點(diǎn)闡述這一塊知識(shí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系 重難點(diǎn)歸納 1 深刻理解函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)的概念 等式f(x)=f(x0)的涵義是 (1)f(x0)在x=x0處有定義，即f(x0)存在； (2)f(x)存在，這里隱含著f(x)在點(diǎn)x=x0附近有定義； (3)f(x)在點(diǎn)x0處的極限值等于這一點(diǎn)的函數(shù)值，即f(x)=f(x0)

2、 函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，反映在圖象上是f(x)的圖象在點(diǎn)x=x0處是不間斷的 2 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0不連續(xù)，就是f(x)的圖象在點(diǎn)x=x0處是間斷的 其情形 (1)f(x)存在；f(x0)存在，但f(x)≠f(x0); (2)f(x)存在，但f(x0)不存在 (3) f(x)不存在 3 由連續(xù)函數(shù)的定義，可以得到計(jì)算函數(shù)極限的一種方法 如果函數(shù)f(x)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，點(diǎn)x0是定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，那么求x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限，只要求出f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)就可以了，即f(x)=f(x0) 典型題例示范講解 例1已知函數(shù)f

3、(x)=, (1)求f(x)的定義域，并作出函數(shù)的圖象； (2)求f(x)的不連續(xù)點(diǎn)x0; (3)對(duì)f(x)補(bǔ)充定義，使其是R上的連續(xù)函數(shù) 命題意圖 函數(shù)的連續(xù)性，尤其是在某定點(diǎn)處的連續(xù)性在函數(shù)圖象上有最直觀的反映 因而畫函數(shù)圖象去直觀反映題目中的連續(xù)性問題也就成為一種最重要的方法 知識(shí)依托 本題是分式函數(shù)，所以解答本題的閃光點(diǎn)是能準(zhǔn)確畫出它的圖象 錯(cuò)解分析 第(3)問是本題的難點(diǎn)，考生通過自己對(duì)所學(xué)連續(xù)函數(shù)定義的了解 應(yīng)明確知道第(3)問是求的分?jǐn)?shù)函數(shù)解析式 技巧與方法 對(duì)分式化簡(jiǎn)變形，注意等價(jià)性，觀察圖象進(jìn)行解答 解 (1)當(dāng)x+2≠0時(shí)，

4、有x≠－2 因此，函數(shù)的定義域是(－∞,－2)∪(－2,+∞) 當(dāng)x≠－2時(shí)，f(x)= =x－2, 其圖象如上圖 (2)由定義域知，函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn)是x0=－2 (3)因?yàn)楫?dāng)x≠－2時(shí)，f(x)=x－2, 所以=－4 因此，將f(x)的表達(dá)式改寫為f(x)= 則函數(shù)f(x)在R上是連續(xù)函數(shù) 例2求證 方程x=asinx+b(a＞0,b＞0)至少有一個(gè)正根，且它不大于a+b 命題意圖 要判定方程f(x)=0是否有實(shí)根 即判定對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù)y=f(x)的圖象是否與x軸有交點(diǎn)，因此根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，只要找到圖象上的兩點(diǎn)，滿足一點(diǎn)在x軸上方，另一點(diǎn)在

5、x軸下方即可 本題主要考查這種解題方法 知識(shí)依托 解答本題的閃光點(diǎn)要找到合適的兩點(diǎn)，使函數(shù)值其一為負(fù)，另一為正 錯(cuò)解分析 因?yàn)楸绢}為超越方程，因而考生最易想到畫圖象觀察，而忽視連續(xù)性的性質(zhì)在解這類題目中的簡(jiǎn)便作用 證明 設(shè)f(x)=asinx+b－x, 則f(0)=b＞0,f(a+b)=a·sin(a+b)+b－(a+b)=a［sin(a+b)－1］≤0, 又f(x)在(0,a+b］內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，所以存在一個(gè)x0∈(0,a+b］，使f(x0)=0,即x0是方程f(x)=0的根，也就是方程x=a·sinx+b的根 因此，方程x=asinx+b至少存在一個(gè)正根，

6、且它不大于a+b 例3已知函數(shù)f(x)= (1)討論f(x)在點(diǎn)x=－1,0,1處的連續(xù)性； (2)求f(x)的連續(xù)區(qū)間 解 (1)f(x)=3, f(x)=－1,所以f(x)不存在，所以f(x)在x=－1處不連續(xù)， 但f(x)=f(－1)=－1, f(x)≠f(－1),所以f(x)在x=－1處右連續(xù)，左不連續(xù) f(x)=3=f(1), f(x)不存在，所以f(x)不存在，所以f(x)在x=1不連續(xù)，但左連續(xù)，右不連續(xù) 又f(x)=f(0)=0,所以f(x)在x=0處連續(xù) (2)f(x)中，區(qū)間(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三個(gè)函數(shù)都是初等函數(shù)，因此

7、f(x)除不連續(xù)點(diǎn)x=±1外，再也無不連續(xù)點(diǎn)， 所以f(x)的連續(xù)區(qū)間是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 若f(x)=在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則f(0)等于( ) A B C 1 D 0 2 設(shè)f(x)=則f(x)的連續(xù)區(qū)間為( ) A (0，2) B (0，1) C (0，1)∪(1，2) D (1，2) 3 =_________ 4 若f(x)=處處連續(xù)，則a的值為_________ 5 已知函數(shù)f(x)= (1)f(x)在x=0處是否連續(xù)？說明理由； (2)討論f(x)在閉

8、區(qū)間［－1,0］和［0,1］上的連續(xù)性 6 已知f(x)= (1)求f(－x); (2)求常數(shù)a的值，使f(x)在區(qū)間(－∞,+∞)內(nèi)處處連續(xù) 7 求證任何一個(gè)實(shí)系數(shù)一元三次方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0(a0,a1,a2,a3∈R,a0≠0)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根 8 求函數(shù)f(x)=的不連續(xù)點(diǎn)和連續(xù)區(qū)間 參考答案 1 解析 答案 A 2 解析 即f(x)在x=1點(diǎn)不連續(xù)，顯知f(x)在(0,1)和(1,2)連續(xù) 答案 C 3 解析 利用函數(shù)的連續(xù)性，即, 答案 答案 5 解 f

9、(x)= (1) f(x)=－1, f(x)=1,所以f(x)不存在，故f(x)在x=0處不連續(xù) (2)f(x)在(－∞,+∞)上除x=0外，再無間斷點(diǎn)，由(1)知f(x)在x=0處右連續(xù)， 所以f(x)在［－1，0］上是不連續(xù)函數(shù)，在［0,1］上是連續(xù)函數(shù) 6 解 (1)f(－x)= (2)要使f(x)在(－∞,+∞)內(nèi)處處連續(xù)，只要f(x)在x=0連續(xù)， f(x)= = f(x)=(a+bx)=a,因?yàn)橐猣(x)在x=0處連續(xù)， 只要 f(x)= f(x)= f(x)=f(0),所以a= 7 證明 設(shè)f(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3,函數(shù)f(x)在(－∞,+∞)連續(xù)， 且x→+∞時(shí)，f(x)→+∞;x→－∞時(shí)，f(x)→－∞, 所以必存在a∈(－∞,+∞),b∈(－∞,+∞),使f(a)·f(b)＜0, 所以f(x)的圖象至少在(a,b)上穿過x軸一次，即f(x)=0至少有一實(shí)根 8 解 不連續(xù)點(diǎn)是x=1,連續(xù)區(qū)間是(－∞,1),(1,+∞)