湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 幾種常見(jiàn)解不等式的解法

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1、湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：幾種常見(jiàn)解不等式的解法 高考要求 不等式在生產(chǎn)實(shí)踐和相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)中應(yīng)用廣泛，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要工具，所以不等式是高考數(shù)學(xué)命題的重點(diǎn)，解不等式的應(yīng)用非常廣泛，如求函數(shù)的定義域、值域，求參數(shù)的取值范圍等，高考試題中對(duì)于解不等式要求較高，往往與函數(shù)概念，特別是二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等有關(guān)概念和性質(zhì)密切聯(lián)系，應(yīng)重視；從歷年高考題目看，關(guān)于解不等式的內(nèi)容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的則是間接考查解不等式 重難點(diǎn)歸納 解不等式對(duì)學(xué)生的運(yùn)算化簡(jiǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，對(duì)解

2、不等式的考查將會(huì)更是熱點(diǎn)，解不等式需要注意下面幾個(gè)問(wèn)題 (1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法 (2)掌握用零點(diǎn)分段法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法 (3)掌握無(wú)理不等式的三種類型的等價(jià)形式，指數(shù)和對(duì)數(shù)不等式的幾種基本類型的解法 (4)掌握含絕對(duì)值不等式的幾種基本類型的解法 (5)在解不等式的過(guò)程中，要充分運(yùn)用自己的分析能力，把原不等式等價(jià)地轉(zhuǎn)化為易解的不等式 (6)對(duì)于含字母的不等式，要能按照正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論 典型題例示范講解 例1已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)，且f(1)=1，

3、若m、n∈［－1，1］，m+n≠0時(shí)＞0 (1)用定義證明f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)； (2)解不等式 f(x+)＜f()； (3)若f(x)≤t2－2at+1對(duì)所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求t的取值范圍 錯(cuò)解分析 (2)問(wèn)中利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式時(shí)，x+∈［－1，1］，∈［－1，1］必不可少，這恰好是容易忽略的地方 技巧與方法 (1)問(wèn)單調(diào)性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已知條件不等式是關(guān)鍵，(3)問(wèn)利用單調(diào)性把f(x)轉(zhuǎn)化成“1”是點(diǎn)睛之筆 (1)證明 任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，則f(x1)－f(x2)=f(x1)

4、+f(－x2)=·(x1－x2)∵－1≤x1＜x2≤1， ∴x1+(－x2)≠0，由已知＞0，又 x1－x2＜0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上為增函數(shù) (2)解 ∵f(x)在［－1，1］上為增函數(shù)， ∴ 解得 {x|－≤x＜－1，x∈R} (3)解 由(1)可知f(x)在［－1，1］上為增函數(shù)，且f(1)=1， 故對(duì)x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t2－2at+1對(duì)所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立，故t2－2at≥0，記g(a)=t2－2at，對(duì)a∈［－1，1］，g(a)≥0，只

5、需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0， 解得，t≤－2或t=0或t≥2 ∴t的取值范圍是 {t|t≤－2或t=0或t≥2} 例2設(shè)不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M［1，4］，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 命題意圖 考查二次不等式的解與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系 知識(shí)依托 本題主要涉及一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想 錯(cuò)解分析 M=是符合題設(shè)條件的情況之一，出發(fā)點(diǎn)是集合之間的關(guān)系考慮是否全面，易遺漏；構(gòu)造關(guān)于a的不等式要全面、合理，易出錯(cuò) 技巧與方法 該題實(shí)質(zhì)上

6、是二次函數(shù)的區(qū)間根問(wèn)題，充分考慮二次方程、二次不等式、二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是關(guān)鍵所在；數(shù)形結(jié)合的思想使題目更加明朗 解 M［1，4］有兩種情況 其一是M=，此時(shí)Δ＜0；其二是M≠，此時(shí)Δ=0或Δ＞0，分三種情況計(jì)算a的取值范圍 設(shè)f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2) (1)當(dāng)Δ＜0時(shí)，－1＜a＜2，M=［1，4］ (2)當(dāng)Δ=0時(shí)，a=－1或2 當(dāng)a=－1時(shí)M={－1}［1，4］；當(dāng)a=2時(shí)，m={2}［1，4］ (3)當(dāng)Δ＞0時(shí)，a＜－1或a＞2 設(shè)方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1＜x2， 那么M

7、=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4 即，解得 2＜a＜，∴M［1，4］時(shí)，a的取值范圍是(－1，) 例3解關(guān)于x的不等式＞1(a≠1) 解 原不等式可化為 ＞0， ①當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解 由于 ∴原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞) ②當(dāng)a＜1時(shí)，原不等式與(x－)(x－2) ＜0同解 由于, 若a＜0，,解集為(，2)； 若a=0時(shí)，，解集為； 若0＜a＜1，,解集為(2，) 綜上所述 當(dāng)a＞1時(shí)解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為(2，)；當(dāng)a=0時(shí)，解集為；當(dāng)a＜0時(shí)，解集為(，2）

8、 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 設(shè)函數(shù)f(x)=，已知f(a)＞1，則a的取值范圍是( ) A (－∞，－2)∪(－，+∞) B (－，) C (－∞，－2)∪(－，1) D (－2，－)∪(1，+∞) 2 已知f(x)、g(x)都是奇函數(shù)，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是(，)，則f(x)·g(x)＞0的解集是__________ 3 已知關(guān)于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，則a的取值范圍是_______ 4 已知適合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值為3 (1)求p的值； (2)若f(x)

9、=，解關(guān)于x的不等式f-－1(x)＞(k∈R+) 5 設(shè)f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=，問(wèn)是否存在a、b、c∈R，使得不等式 x2+≤f(x)≤2x2+2x+對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，證明你的結(jié)論 參考答案 1 解析 由f(x)及f(a)＞1可得 ① 或 ② 或 ③ 解①得a＜－2，解②得－＜a＜1，解③得x∈∴a的取值范圍是(－∞，－2)∪(－，1）答案 C 2 解析 由已知b＞a2∵f(x)，g(x)均為奇函數(shù)， ∴f(x)＜0的解集是(－b，－a2)，g(x)＜0的解集是(－) 由f(x)·g(x)＞0可得 ∴x∈(a2，)∪(

10、－，－a2) 答案 (a2，)∪(－，－a2) 3 解析 原方程可化為cos2x－2cosx－a－1=0，令t=cosx，得t2－2t－a－1=0，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程t2－2t－a－1=0在［－1，1］上至少有一個(gè)實(shí)根 令f(t)=t2－2t－a－1，對(duì)稱軸t=1， 畫(huà)圖象分析可得解得a∈［－2，2］ 答案 ［－2，2］ 4 解 (1)∵適合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值為3， ∴x－3≤0，∴|x－3|=3－x 若|x2－4x+p|=－x2+4x－p，則原不等式為x2－3x+p+2≥0， 其解集不可能為{x|x≤3}的子集，∴|x2－

11、4x+p|=x2－4x+p ∴原不等式為x2－4x+p+3－x≤0，即x2－5x+p－2≤0， 令x2－5x+p－2=(x－3)(x－m)，可得m=2，p=8 (2)f(x)=，∴f-－1(x)=log8 (－1＜x＜1， ∴有l(wèi)og8＞log8，∴l(xiāng)og8(1－x)＜log8k，∴1－x＜k，∴x＞1－k ∵－1＜x＜1，k∈R+，∴當(dāng)0＜k＜2時(shí)，原不等式解集為{x|1－k＜x＜1}；當(dāng)k≥2時(shí)，原不等式的解集為{x|－1＜x＜1 5 解 由f(1)=得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+x=－1， 由f(x)≤2x2+2x+推得f(－1)≤ 由f(x)≥x2+推得f(－1)≥，∴f(－1)=， ∴a－b+c=，故2(a+c)=5，a+c=且b=1，∴f(x)=ax2+x+(－a) 依題意 ax2+x+(－a)≥x2+對(duì)一切x∈R成立， ∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)2≤0，∴f(x)=x2+x+1 易驗(yàn)證 x2+x+1≤2x2+2x+對(duì)x∈R都成立 ∴存在實(shí)數(shù)a=，b=1，c=1， 使得不等式 x2+≤f(x)≤2x2+2x+對(duì)一切x∈R都成立