湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專(zhuān)題講座復(fù)習(xí) 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值

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1、湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專(zhuān)題講座復(fù)習(xí)：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值 高考要求 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)和求值是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一 通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)使考生掌握化簡(jiǎn)和求值問(wèn)題的解題規(guī)律和途徑，特別是要掌握化簡(jiǎn)和求值的一些常規(guī)技巧，以?xún)?yōu)化我們的解題效果，做到事半功倍 重難點(diǎn)歸納 1 求值問(wèn)題的基本類(lèi)型 ①給角求值，②給值求值，③給式求值，④求函數(shù)式的最值或值域，⑤化簡(jiǎn)求值 2 技巧與方法 ①要尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特角為特殊角，熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式 ②注意切割化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運(yùn)用 ③對(duì)于條件求值問(wèn)題，要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的

2、關(guān)系，尋找解題的突破口，很難入手的問(wèn)題，可利用分析法 ④求最值問(wèn)題，常用配方法、換元法來(lái)解決 典型題例示范講解 例1不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值 錯(cuò)解分析 公式不熟，計(jì)算易出錯(cuò) 技巧與方法 解法一利用三角公式進(jìn)行等價(jià)變形；解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，使解法更簡(jiǎn)單更精妙，需認(rèn)真體會(huì) 解法一 sin220°+cos280°+sin220°cos80° = (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80° =1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°) =1－cos40°

3、+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°) +sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220° =1－cos40°－(1－cos40°)= 解法二 設(shè)x=sin220°+cos280°+sin20°cos80° y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，則x+y=1+1－sin60°=， x－y=－cos40°+cos160°+sin100°=－2sin100°sin60°+sin100°=0∴x=y=， 即x=sin220°+cos280°

4、+sin20°cos80°= 例2設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值為f(a)，試確定滿(mǎn)足f(a)=的a值，并對(duì)此時(shí)的a值求y的最大值 知識(shí)依托 二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題 錯(cuò)解分析 考生不易考查三角函數(shù)的有界性，對(duì)區(qū)間的分類(lèi)易出錯(cuò) 技巧與方法 利用等價(jià)轉(zhuǎn)化把問(wèn)題化歸為二次函數(shù)問(wèn)題，還要用到配方法、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)講座等 解 由y=2(cosx－)2－及cosx∈［－1，1］得 f(a)＝∵f(a)=,∴1－4a=a=［2,+∞ 或?。?a－1=，解得a=－1，此時(shí)，y=2(cosx+)2+， 當(dāng)cosx=1時(shí)

5、，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5 例3已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)的x的值； (3)若當(dāng)x∈［，］時(shí)，f(x)的反函數(shù)為f－1(x)，求f-－1(1)的值 命題意圖 本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數(shù)等知識(shí)，還考查計(jì)算變形能力，綜合運(yùn)用知識(shí)的能力 知識(shí)依托 熟知三角函數(shù)公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)、反函數(shù)等知識(shí) 錯(cuò)解分析 在求f-－1(1)的值時(shí)易走彎路 技巧與方法 等價(jià)轉(zhuǎn)化，逆向思維 解 (1)f(x)=2cosx

6、sin(x+)－sin2x+sinxcosx =2cosx(sinxcos+cosxsin)－sin2x+sinxcosx =2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)∴f(x)的最小正周期T=π (2)當(dāng)2x+=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)時(shí)，f(x)取得最小值－2 (3)令2sin(2x+)=1，又x∈［］,∴2x+∈［,］,∴2x+=， 則x=，故f-－1(1)= 例4　已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________ 解法一 ∵＜β＜α＜,∴0＜α－β＜ π＜α+β＜, ∴ ∴sin2α=si

7、n［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) 解法二 ∵sin(α－β)=,cos(α+β)=－, ∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－ sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－∴sin2α= 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的兩根均tanα、tanβ，且α，β∈ (－)，則tan的值是( ) A B －2 C D 或－2 2 已知sinα=，α∈(，π)，tan(π－β)= ，則tan(

8、α－2β)=______ 3 設(shè)α∈()，β∈(0，)，cos(α－)=，sin(+β)=，則sin(α+β)=_________ 4 不查表求值: 5 已知cos(+x)=，(＜x＜)，求的值 參考答案 1 解析 ∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0 tanα+tanβ=3a+1＞0, 又α、β∈(－,)∴α、β∈(－,θ),則∈(－,0), 又tan(α+β)=, 整理得2tan2=0 解得tan=－2 答案 B 2 解析 ∵sinα=,α∈(,π),∴cosα=－ 則tanα=－,又tan(π－β)=可得tanβ=－, 答案 3 解析 α∈(),α－∈(0, ),又cos(α－)= 4 答案 2