湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習 處理具有單調(diào)性、奇偶性函數(shù)問題的方法（2）

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1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習：處理具有單調(diào)性、奇偶性函數(shù)問題的方法（2） 高考要求 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣 特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出 　本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象 幫助考生學會怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識 重難點歸納 (1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性 若為具體函數(shù)，嚴格按照定義判斷，注意變換中的等價性 若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學性、合理性 同時，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針

2、對所列的訓練認真體會，用好數(shù)與形的統(tǒng)一 復合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性 問題的解決關(guān)鍵在于 既把握復合過程，又掌握基本函數(shù) (2)加強逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一 正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目 (3)運用奇偶性和單調(diào)性去解決有關(guān)函數(shù)的綜合性題目 此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力 (4)應(yīng)用問題 在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實際問題的過程中，往往還要用到等價轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，把問題中較復雜、抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡單的式子去解決 特別是 往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實際應(yīng)用題中的最值問題 典型題例示范講解 例1已知函數(shù)f(

3、x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當且僅當0

4、f(), 令x=y=0,得f(0)=0, 令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0 ∴f(x)=－f(－x) ∴f(x)為奇函數(shù) (2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減 令00,1－x1x2>0，∴>0, 又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0 ∴x2－x1<1－x2x1, ∴0<<1,由題意知f()<0， 即f(x2)

5、0 ∴f(x)在(－1，1)上為減函數(shù) 例2設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)

6、解 設(shè)03a2－2a+1 解之，得00,f(x)=是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明

7、f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù) (1)解 依題意，對一切x∈R,有f(x)=f(－x),即+aex 整理，得(a－)(ex－)=0 因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1 (2)證法一（定義法） 設(shè)0＜x1＜x2, 則f(x1)－f(x2)= 由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1－e＜0, ∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù) 證法二（導數(shù)法） 由f(x)=ex+e－x，得f′(x)=ex－e－x=e－x·(e2x－1) 當x∈(0,+∞)時，e－x>0,e2x－1>0 此時f′

8、(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函數(shù) 學生鞏固練習 1 下列函數(shù)中的奇函數(shù)是( ) A f(x)=(x－1) B f(x)= C f(x)= D f(x)= 2 函數(shù)f(x)=的圖象( ) A 關(guān)于x軸對稱 B 關(guān)于y軸對稱 C 關(guān)于原點對稱 D 關(guān)于直線x=1對稱 3 函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則y=f(|x+1|)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是____ 4 若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0

9、_______ 5 已知函數(shù)f(x)=ax+ (a>1) (1)證明 函數(shù)f(x)在(－1，+∞)上為增函數(shù) (2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負數(shù)根 6 求證函數(shù)f(x)=在區(qū)間(1，+∞)上是減函數(shù) 參考答案: 1 解析 f(－x)= =－f(x)， 故f(x)為奇函數(shù) 答案 C 2 解析 f(－x)=－f(x),f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱 答案 C 3 解析 令t=|x+1|,則t在(－∞,－1上遞減，又y=f(x)在R上單調(diào)遞增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上遞減答案 (－∞,－1 4 解析 ∵

10、f(0)=f(x1)=f(x2)=0, ∴f(0)=d=0 f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x， ∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞單調(diào)遞增，故a>0 又知0＜x1＜x,得x1+x2>0, ∴b=－a(x1+x2)＜0 答案 (－∞,0） 5 證明 (1）設(shè)－1＜x1＜x2＜+∞,則x2－x1>0, >1且>0, ∴>0,又x1+1>0,x2+1>0 ∴>0, 于是f(x2)－f(x1)=+ >0∴f(x)在(－1，+∞）上為遞增函數(shù) (2）證法一 設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)=0, 則且由0＜＜1得0＜－＜1, 即＜x0＜2與x0＜0矛盾，故f(x)=0沒有負數(shù)根 證法二 設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0, 則＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1與f(x0)=0矛盾， 若x0＜－1,則>0, >0， ∴f(x0)>0與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負數(shù)根 6 證明 ∵x≠0,∴f(x)=, 設(shè)1＜x1＜x2＜+∞,則 ∴f(x1)>f(x2),故函數(shù)f(x)在(1，+∞）上是減函數(shù) (本題也可用求導方法解決）