湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 處理具有單調(diào)性、奇偶性函數(shù)問題的方法（1）

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1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：處理具有單調(diào)性、奇偶性函數(shù)問題的方法（1） 高考要求 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣 特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出 　本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識(shí)單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象 幫助考生學(xué)會(huì)怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識(shí) 重難點(diǎn)歸納 (1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性 若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷，注意變換中的等價(jià)性 若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性 同時(shí)，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針

2、對(duì)所列的訓(xùn)練認(rèn)真體會(huì)，用好數(shù)與形的統(tǒng)一 復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性 問題的解決關(guān)鍵在于 既把握復(fù)合過程，又掌握基本函數(shù) (2)加強(qiáng)逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一 正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目 (3)運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性去解決有關(guān)函數(shù)的綜合性題目 此類題目要求考生必須具有駕馭知識(shí)的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力 (4)應(yīng)用問題 在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實(shí)際問題的過程中，往往還要用到等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，把問題中較復(fù)雜、抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡單的式子去解決 特別是 往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)際應(yīng)用題中的最值問題 典型題例示范講解 例1已知奇函數(shù)f

3、(x)是定義在(－3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,設(shè)不等式解集為A，B=A∪{x|1≤x≤},求函數(shù)g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值 命題意圖 本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目，考生必須具有綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問題的能力 知識(shí)依托 主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題 錯(cuò)解分析 題目不等式中的“f”號(hào)如何去掉是難點(diǎn)，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時(shí)，學(xué)生容易漏掉定義域 技巧與方法 借助奇偶性脫去“f”號(hào)，轉(zhuǎn)化為x的不等式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行集合運(yùn)算和求最值 解 由且x≠0,故0

4、(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是減函數(shù)， ∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,綜上得2f(0)對(duì)所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由 命題意圖

5、 本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運(yùn)算能力 知識(shí)依托 主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題 錯(cuò)解分析 考生不易運(yùn)用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題，特別不易考慮運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法 技巧與方法 主要運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題 解 ∵f(x)是R上的奇函數(shù)，且在［0，+∞)上是增函數(shù)，∴f(x)是R上的增函數(shù) 于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m), 即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0

6、 設(shè)t=cosθ,則問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在［0，1］上的最小值為正 ∴當(dāng)<0,即m<0時(shí)，g(0)=2m－2>0m>1與m<0不符； 當(dāng)0≤≤1時(shí)，即0≤m≤2時(shí)，g(m)=－+2m－2>04－21,即m>2時(shí)，g(1)=m－1>0m>1 ∴m>2 綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>4－2 另法(僅限當(dāng)m能夠解出的情況) cos2θ－mcosθ+2m－2>0對(duì)于θ∈［0,］恒成立， 等價(jià)于m>(2－co

7、s2θ)/(2－cosθ) 對(duì)于θ∈［0,］恒成立∵當(dāng)θ∈［0,］時(shí)，(2－cos2θ)/(2－cosθ) ≤4－2，∴m>4－2 例3　已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0, 解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0  解 ∵f(2)=0,∴原不等式可化為f［log2(x2+5x+4)］≥f(2) 又∵f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，∴f(x)在(－∞,0）上為減函數(shù)且f(－2)=f(2)=0 ∴不等式可化為　　log2(x2+5x+4)≥2 　　　　　　① 或　　　　　　　　log2(x2+5x+4)≤－2 ②

8、由①得x2+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0 ③ 由②得0＜x2+5x+4≤得≤x＜－4或－1＜x≤ ④ 由③④得原不等式的解集為 {x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0} 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 設(shè)f(x)是(－∞,+∞)上的奇函數(shù)，f(x+2)=－f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x,則f(7 5)等于( ) A 0 5 B －0 5 C 1 5 D －1 5 2 已知定義域?yàn)?－1，1)的奇函數(shù)y=f(x)又是減函數(shù)，且f(a－3)+f(9－a2)<0,?jiǎng)ta的取值范圍是( ) A (2，3) B (3，

9、) C (2，4) D (－2，3) 3 若f(x)為奇函數(shù)，且在(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－3)=0,則xf(x)<0的解集為_________ 4 如果函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，在(－1，0)上是增函數(shù)，且f(x+2)=－f(x),試比較f(),f(),f(1)的大小關(guān)系_________ 5 已知f(x)是偶函數(shù)而且在(0，+∞)上是減函數(shù)，判斷f(x)在(－∞,0)上的增減性并加以證明 6 已知f(x)= (a∈R)是R上的奇函數(shù)， (1)求a的值； (2)求f(x)的反函數(shù)f－1(x); (3)對(duì)任意給定的k∈R+,解不等式f－1(x)>

10、lg 7 定義在(－∞,4］上的減函數(shù)f(x)滿足f(m－sinx)≤f(－+cos2x)對(duì)任意x∈R都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍 參考答案: 1 解析 f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2) =－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5 答案 B 2 解析 ∵f(x)是定義在(－1，1）上的奇函數(shù)又是減函數(shù)，且f(a－3)+f(9－a2)＜0 ∴f(a－3)＜f(a2－9) ∴ ∴a∈(2,3) 答案 A 3 解析 由題意可知 xf(x)＜0 ∴

11、x∈(－3,0)∪(0,3) 4 解析 ∵f(x)為R上的奇函數(shù)∴f()=－f(－),f()=－f(－),f(1)=－f(－1), 又f(x)在(－1，0)上是增函數(shù)且－>－>－1 ∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1) 答案 f()＜f()＜f(1) 5 解 函數(shù)f(x)在(－∞,0）上是增函數(shù)，設(shè)x1＜x2＜0,因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假設(shè)可知－x1>－x2>0,又已知f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函數(shù)f(x)在(－∞,0)上是增函數(shù) 6 解 (1）a=1 (2)f(x)= (x∈R)f－-1(x)=log2 (－1＜x＜1 (3)由log2>log2log2(1－x)＜log2k,∴當(dāng)0＜k＜2時(shí)，不等式解集為{x|1－k＜x＜1;當(dāng)k≥2時(shí)，不等式解集為{x|－1＜x＜1 7解 ，對(duì)x∈R恒成立, ∴m∈［,3］∪{}