湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專(zhuān)題講座復(fù)習(xí) 不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用

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1、湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專(zhuān)題講座復(fù)習(xí)：不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用 高考要求 不等式是繼函數(shù)與方程之后的又一重點(diǎn)內(nèi)容之一，作為解決問(wèn)題的工具，與其他知識(shí)綜合運(yùn)用的特點(diǎn)比較突出 不等式的應(yīng)用大致可分為兩類(lèi) 一類(lèi)是建立不等式求參數(shù)的取值范圍或解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題；另一類(lèi)是建立函數(shù)關(guān)系，利用均值不等式求最值問(wèn)題、本難點(diǎn)提供相關(guān)的思想方法，使考生能夠運(yùn)用不等式的性質(zhì)、定理和方法解決函數(shù)、方程、實(shí)際應(yīng)用等方面的問(wèn)題 重難點(diǎn)歸納 1 應(yīng)用不等式知識(shí)可以解決函數(shù)、方程等方面的問(wèn)題，在解決這些問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是把非不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，在化歸與轉(zhuǎn)化中，要注意等價(jià)性 2

2、對(duì)于應(yīng)用題要通過(guò)閱讀，理解所給定的材料，尋找量與量之間的內(nèi)在聯(lián)系，抽象出事物系統(tǒng)的主要特征與關(guān)系，建立起能反映其本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而建立起數(shù)學(xué)模型，然后利用不等式的知識(shí)求出題中的問(wèn)題 典型題例示范講解 例1用一塊鋼錠燒鑄一個(gè)厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如右圖)設(shè)容器高為h米，蓋子邊長(zhǎng)為a米， (1)求a關(guān)于h的解析式； (2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)h為何值時(shí)，V最大？求出V的最大值(求解本題時(shí)，不計(jì)容器厚度) 命題意圖 本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，棱錐表面積和體積的計(jì)算及用均值定論求函數(shù)的最值 知識(shí)依托 本題求得體積V的關(guān)系式后，應(yīng)用均

3、值定理可求得最值 錯(cuò)解分析 在求得a的函數(shù)關(guān)系式時(shí)易漏h＞0 技巧與方法 本題在求最值時(shí)應(yīng)用均值定理 解 ①設(shè)h′是正四棱錐的斜高，由題設(shè)可得 消去 ②由 (h＞0)得 所以V≤，當(dāng)且僅當(dāng)h=即h=1時(shí)取等號(hào) 故當(dāng)h=1米時(shí)，V有最大值，V的最大值為立方米 例2已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)|f(x)|≤1 (1)證明 |c|≤1； (2)證明 當(dāng)－1 ≤x≤1時(shí)，|g(x)|≤2； (3)設(shè)a＞0，有－1≤x≤1時(shí)， g(x)的最大值為2，求f(x) 命題意圖 本

4、題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、含有絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力 知識(shí)依托 二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性是藥引，而絕對(duì)值不等式的性質(zhì)靈活運(yùn)用是本題的靈魂 錯(cuò)解分析 本題綜合性較強(qiáng)，其解答的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)f(x)的單調(diào)性的深刻理解，以及對(duì)條件“－1≤x≤1時(shí)|f(x)|≤1”的運(yùn)用；絕對(duì)值不等式的性質(zhì)使用不當(dāng)，會(huì)使解題過(guò)程空洞，缺乏嚴(yán)密，從而使題目陷于僵局 技巧與方法 本題(2)問(wèn)有三種證法，證法一利用g(x)的單調(diào)性；證法二利用絕對(duì)值不等式 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|；而證法三則是整體處理g(x)與f(x)的關(guān)系

5、 (1)證明 由條件當(dāng)=1≤x≤1時(shí)，|f(x)|≤1，取x=0得 |c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1 (2)證法一 依題設(shè)|f(0)|≤1而f(0)=c， 所以|c|≤1 當(dāng)a＞0時(shí)，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函數(shù)， 于是g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1) ∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1， ∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2， g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(|f(－2)|+|c|)≥－2， 因此得|g(x)|≤2 (－1≤x≤1)； 當(dāng)a＜0時(shí)，g(x)=ax+b在［－1，1］上

6、是減函數(shù)， g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)， ∵|f(x)|≤1 (－1≤x≤1)，|c|≤1∴|g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2 綜合以上結(jié)果，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，都有|g(x)|≤2 證法二 ∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)∴|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1， ∵f(x)=ax2+bx+c，∴|a－b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1，因此，根據(jù)絕對(duì)值不等式性質(zhì)得 |a－b|=|(a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2， |a+b|=|(a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2，

7、 ∵g(x)=ax+b，∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2，函數(shù)g(x)=ax+b的圖象是一條直線(xiàn)， 因此|g(x)|在［－1，1］上的最大值只能在區(qū)間的端點(diǎn)x=－1或x=1處取得， 于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2，(－1＜x＜1 當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，有0≤≤1，－1≤≤0， ∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，∴|f |≤1，|f()|≤1； 因此當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，|g(x)|≤|f |+|f()|≤2 (3)解 因?yàn)閍＞0，g(x)在［－1，1］上是增函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)取得最大值2， 即g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2

8、① ∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1 因?yàn)楫?dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)， 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，直線(xiàn)x=0為f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸，由此得－＜0 ，即b=0 由①得a=2，所以f(x)=2x2－1 例3設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的兩個(gè)根x1、x2滿(mǎn)足0＜x1＜x2＜ (1)當(dāng)x∈［0，x1時(shí)，證明x＜f(x)＜x1； (2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=x0對(duì)稱(chēng)，證明 x0＜ 解 (1)令F(x)=f(x)－x，因?yàn)閤1，x2是方程f(x)－x=0的根，

9、所以F(x)=a(x－x1)(x－x2) 當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，由于x1＜x2，得(x－x1)(x－x2)＞0， 又a＞0，得F(x)=a(x－x1)(x－x2)＞0，即x＜f(x) x1－f(x)=x1－［x+F(x)］=x1－x+a(x1－x)(x－x2)=(x1－x)［1+a(x－x2)］ ∵0＜x＜x1＜x2＜，∴x1－x＞0，1+a(x－x2)=1+ax－ax2＞1－ax2＞0 ∴x1－f(x)＞0，由此得f(x)＜x1 (2)依題意 x0=－，因?yàn)閤1、x2是方程f(x)－x=0的兩根，即x1，x2是方程ax2+(b－1)x+c=0的根 ∴x1+x2=－

10、∴x0=－，因?yàn)閍x2＜1， ∴x0＜ 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間［0，+∞)的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)a＞b＞0，給出下列不等式，其中正確不等式的序號(hào)是( ) ①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b) ③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a) A ①③ B ②④ C ①④ D ②③ 2 下列四個(gè)命題中 ①a+b≥2 ②sin2x+≥4 ③設(shè)x，y都是正數(shù)，若=1，則x+y的最小值是

11、12 ④若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，則|x－y|＜2ε，其中所有真命題的序號(hào)是__________ 3 某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與車(chē)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車(chē)站的距離成正比，如果在距車(chē)站10公里處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車(chē)站__________公里處 4 已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，a＞0)，設(shè)方程f(x)=x的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2 (1)如果x1＜2＜x2＜4，設(shè)函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=x0，求證x0＞－1； (2)如果|x1|＜

12、2，|x2－x1|=2，求b的取值范圍 參考答案 1 解析 由題意f(a)=g(a)＞0，f(b)=g(b)＞0，且f(a)＞f(b)，g(a)＞g(b) ∴f(b)－f(－a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b) 而g(a)－g(－b)=g(a)－g(b)∴g(a)+g(b)－［g(a)－g(b)］ =2g(b)＞0，∴f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) 同理可證 f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) 答案 A 2 解析 ①②③不滿(mǎn)足均值不等式的使用條件“正、定、等” ④式 |x－y|=|(x－2)－(y－2)|≤|(x－2

13、)－(y－2)|≤|x－2|+|y－2|＜ε+ε=2ε 答案 ④ 3 解析 由已知y1=；y2=0 8x(x為倉(cāng)庫(kù)與車(chē)站距離) 費(fèi)用之和y=y1+y2=0 8x+ ≥2=8 當(dāng)且僅當(dāng)0 8x=即x=5時(shí)“=”成立 答案 5公里處 4 證明 (1)設(shè)g(x)=f(x)－x=ax2+(b－1)x+1，且x＞0 ∵x1＜2＜x2＜4，∴(x1－2)(x2－2)＜0，即x1x2＜2(x1+x2)－4， (2)解 由方程g(x)=ax2+(b－1)x+1=0可知x1·x2=＞0，所以x1，x2同號(hào) 1°若0＜x1＜2，則x2－x1=2，∴x2=x1+2＞2， ∴g(2)＜0，即4a+2b－1＜0 ① 又(x2－x1)2= ∴2a+1= (∵a＞0)代入①式得， 2＜3－2b ② 解②得b＜ 2°若 －2＜x1＜0，則x2=－2+x1＜－2 ∴g(－2)＜0，即4a－2b+3＜0 ③ 又2a+1=，代入③式得 2＜2b－1 ④ 解④得b＞ 綜上，當(dāng)0＜x1＜2時(shí)，b＜，當(dāng)－2＜x1＜0時(shí)，b＞